分解质因数28952

《分解质因数28952》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分解质因数28952（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、172.质数、质因数和互质数有什么区别？质数、质因数和互质数这三个术语的概念极易混淆，因为它们都有“质”和“数”两 个字。正确地区分这几个概念，对掌握数的整除性这部分基础知识，有着极其重要的意义。（1）质数：一个自然数，如果只有 1 和它本身两个约数，这个数叫做质数（也称素数） 。例如：1 的约数有：1；2 的约数有：1，2；3 的约数有：1，3；4 的约数有：1，2，4；6 的约数有：1，2，3，6；7 的约数有：1，7；12 的约数有：1，2，3，4，6，12；从上面各数的约数个数中可以看到：一个自然数的约数个数有三种情况：只有一个约数的，如 1。因此，1 不是质数，也不是合数。只有两个约

2、数的（1 和它本身） ，如 2，3，7有两个以上约数的，如 4，6，12属于第种情况的，叫做质数。属于第种情况的，即：除了 1 和本身以外，还有别 的约数，这样的数叫做合数。（2）质因数：一般地说，一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数。例如：18=233这里的 2、3、3 都是 18 的因数，而 2 和 3 本身又都是质数，于是我们就把 2、3、3 叫 做 18 的质因数。这里需要注意的是：18 也可以写成 3 与 6 的乘积，即：18=36，无疑 3和 6 都是 18 的因数，但 3 本身是质数，可以称做 18 的质因数，而 6 是合数，则不能称做 18 的质因数。（3）互质数：两个或几

3、个自然数，当它们的最大公约数是 1 的时候，这两个或几个数， 就叫做互质数（也叫互素数） 。例如：5 和 7，4 和 11，8 和 9，7、11 和 15，12、20 和 35。上述这几组数，它们的最大公约数都是 1，因此，它们都是互质数。在以上两个互质 数中，如 7、11 和 15 这三个数，7 和 11 是互质数，11 和 15 是互质数，7 和 15 也是互质 数。这类情况，我们就叫做这三个数“两两互质” 。但 12、20 和 35 这组数中，虽然它们也 是互质数，但不是两两互质，因为 12 和 35 是互质数，至于 12 和 20、20 和 35 都不是互质 数。需要注意的是：不管两个

4、数互质或者两个的数以上互质，这些数本身却不一定是质数， 如 5 和 7 是互质数，它们本身都是质数；4 和 11 是互质数，其中 4 并不是质数；8 和 9 是 互质数，但 8 和 9 本身都不是质数。总之，质数是指一个数。譬如说：“2 是质数，11 是质数”等等。质因数虽然也是指 一个数，但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5 是 35 的质因数。 ”如果离开 35，孤 立地说：“5 是质因数。 ”则是不妥当的。因此，质因数具有双重身份：第一必须是个质数； 第二必须是另一个数的因数。互质数同质数、质因数都不同，它不是指一个数，而是指除了 1 以外，再没有其他公 约数的两个或两个以上的数。由

5、此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念，其中质数是基础，这三者 之间既有联系，又有区别，要透彻理解和正确区分，才能防止混淆。小学应用题解题方法之三十一-分解质因数法 一、分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数 法。分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、 解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法， 有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。例 1 一块正方体木块，体积是 1331 立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适 于六年级程度）解：把 1331 分

6、解质因数：1331=111111 答：这块正方体木块的棱长是 11 厘米。例 2 一个数的平方等于 324，求这个数。 （适于六年级程度）解：把 324 分解质因数： 324= 223333 =（233）（233） =1818 答：这个数是 18。例 3 相邻两个自然数的最小公倍数是 462，求这两个数。 （适于六年级程度） 解：把 462 分解质因数： 462=23711 =（37）（211） =2122 答：这两个数是 21 和 22。*例 4 ABCD=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D 代表不同的数字，ABC 是一个三 位数。求 ABC 代表什么数？（适于六年级程度） 解：因为

7、 ABCD=1673，ABC 是一个三位数，所以可把 1673 分解质因数，然后把质因数 组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是 ABC 所代表的数。 1673=2397 答：ABC 代表 239。例 5 一块正方形田地，面积是 2304 平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程 度）解：先把 2304 分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因 数的积就是正方形的边长。 2304=2222222233 =（22223）（22223） =4848 正方形的边长是 48 米。 这块田地的周长是：484=192（米） 答略。*例 6 有 3250 个桔子

8、，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下 10 个。已知每一名小朋友分 得的桔子数接近 40 个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）解：3250-10=3240（个）把 3240 分解质因数： 3240=23345 接近 40 的数有 36、37、38、39 这些数中 36=2232，所以只有 36 是 3240 的约数。23345（2232） =2325 =90 答：这个幼儿园有 90 名小朋友。*例 7 105 的约数共有几个？（适于六年级程度）解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两 个质数、三个质数的乘积逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。

9、 因为，105=357， 所以，含有一个质数的约数有 1、3、5、7 共 4 个； 含有两个质数的乘积的约数有 35、37、57 共 3 个； 含有三个质数的乘积的约数有 357 共 1 个。 所以，105 的约数共有 4+3+1=8 个。 答略。*例 8 把 15、22、30、35、39、44、52、77、91 这九个数平均分成三组，使每组三个数的 乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度） 解：将这九个数分别分解质因数： 15=35 22=211 30=235 35=57 39=313 44=2211 52=2213 77=711 91=713 观察上面九个数的质因数，不难看出，九

10、个数的质因数中共有六个 2，三个 3，三个 5，三 个 7，三个 11，三个 13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个 2，一个 3，一个 5，一 个 7，一个 11 和一个 13。由以上观察分析可得这三组数分别是： 15、52 和 77； 22、30 和 91； 35、39 和 44。答略。*例 9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是 5040。 四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度） 解：把 5040 分解质因数： 5040=22223357 由于四个学生的年龄一个比一个大 1 岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个 质因数表示四个连续自然数

11、是：7，222，33，25 即四个学生的年龄分别是 7 岁、8 岁、9 岁、10 岁。 答略。*例 10 在等式 35（ ）8127=718（ ）162 的两个括号中，填上适当的 最小的数。 （适于六年级程度） 解：将已知等式的两边分解质因数，得：5377（ ）=22367（ ） 把上面的等式化简，得：15（ ）=4（ ） 所以，在左边的括号内填 4，在右边的括号内填 15。15（4）=4（15）答略。*例 11 把 84 名学生分成人数相等的小组（每组最少 2 人） ，一共有几种分法？（适于六年 级程度） 解：把 84 分解质因数：84=2237 除了 1 和 84 外，84 的约数有： 2

12、，3，7，22=4，23=6，27=14，37=21，223=12，227=28，237=42 。下面可根据不同的约数进行分组。842=42（组） ，843=28（组） ，844=21（组） ，846=14（组） ，847=12（组） ，8412=7（组） ，8414=6（组） ，8421=4（组） ， 8428=3（组） ，8442=2（组） 。因此每组 2 人分 42 组；每组 3 人分 28 组；每组 4 人分 21 组；每组 6 人分 14 组；每组 7 人分 12 组；每组 12 人分 7 组；每组 14 人分 6 组；每组 21 人分 4 组；每组 28 人分 3 组； 每组 42

13、 人分 2 组。一共有 10 种分法。 答略。*例 12 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 这八个数分成两组，每组四个数，要 使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。 （适于六年级程度）解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因 数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。 14=27 143=1113 30=235 169=1313 33=311 4445=57127 75=355 4953=313127 在上面的质因式中，质因数 2、7、11、127 各有 2 个，质因数 3、5、13 各有 4 个。 在

14、把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数 2、7、11、127 各有 1 个，质因数 3、5、13 各有 2 个。 按这个要求每一组四个数的积应是： 271112733551313 因为， （27）（355）（1113）（313127）=14751434953，根据 接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是 14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。 答略。*例 13 一个长方形的面积是 315 平方厘米，长比宽多 6 厘米。求这个长方形的长和宽。 （适于五年级程度） 解：设长方形的宽为 x 厘米，则长为（x+6）厘米。

15、根据题意列方程，得： x（x+6）= 315 x（x+6）=3357 =（35）（37） x（x+6）=1521 x（x+6）=15（15+6） x=15 x+6=21答：这个长方形的长是 21 厘米，宽是 15 厘米。*例 14 已知三个连续自然数的积为 210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度） 解：设这三个连续自然数分别是 x-1，x，x+1，根据题意列方程，得： （x-1）x（x+1） =210 =2110 =3725 =567 比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。 答：这三个连续自然数分别是 5、6、7。*例 15 将 37 分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为 1440，并且甲、乙两 数的积比丙数的 3 倍多 12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度） 解：把 1440 分解质因数： 1440= 121210=22322325 =（222）（33）（225） =8920 如果甲、乙二数分别是 8、9，丙数是 20，则：89=72， 203+12=72 正符合题中条件。 答：甲、乙、丙三个数分别是 8、9、20。*例 16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等 于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“