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1、兰州大学硕士学位论文一类带有一阶项的奇异椭圆问题姓名：欧阳资考申请学位级别：硕士专业：数学 基础数学指导教师：赵培浩20060501本文考虑问题 摘要寄( z ，V u ) + 雠i nQi nQ其中i 2 C _ R “( n 3 ) 是研，或是包含原点的具有光滑边界的有界开集，后一种情况补充零边界条件 ，o 是实参数，：豫+ 一R + 是连续函数运用山路引理和P o h o z a e v 恒等式，在，满足适当的假设下，证明了r = 7 题在( a ，A ) 满足 ( 口，A ) ：2 一n 岩j ) 时局部非平凡弱解( 非平凡的非常弱解) 的不存在性进一步，在( ，A ) 满足( ( 。
2、，A ) ：A 一墨)b ym o u n t a i np a s sl e m m aa n dP o h o z a e vi d e n t i t yM o r e o v e r ，t h ee x i s t e n c eo fn o n t f i v i a lr a d i a ls o l u t i o n st ot h ep r o b l e m si nt h er e g i o n “o ，A ) ：A 一一，、，L原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点
3、等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：磊叁塑鏊蕉日期：妒I s 。哆关于学位论文使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。本人完全了解兰，I 1 大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅：本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后
4、发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第署名单位仍然为兰州大学。保密论文在解密后应遵守此规定。论文作者签名：礁塑盈笛师期：翌：皇主第一章引言本文研究如下形式的半线性椭圆问题( 11 )的解的存在性和不存在性，其中n 时( n 3 ) 是R “，或是包含原点的具有光滑边界的有界开集， 丹是实参数，R + 一R + 是连续函数由于( 11 ) 中一阶项昀系数在原点附近无界，故该问题称为奇异椭圆问题如果n 是有界区域，我们对问题( 11 ) 补充D i r i c h l e t 边界条件u200 7 2 执2( 1 2 )问题( 1 1 ) 可化为一d i v ( I x 1 可
5、u ) = A - a ，( u )( 1 3 )这是一个更一般的半线性退化椭圆方程定义1 _ 1 设n 是有界开集，称非负函数“础 ( n ) 为D i r i c h l e t 问题( 11 ) ( 12 )的弱解，如果I z3 V u V e d z = I 。1 1 一。，( u ) d z JS2J i 对V ( E 瑶 ( n ) 均成立其中硪 ( n ) = u ，| z 1 让2 出 一一u，J(、l兰州大学2 0 0 6 届硕士学位论文：一类带有一阶项的奇异椭圆问题2的非负解婶23 ) 问题；其中g 表示L a p l a c e B e l t r a m i 算子我们假
6、定( M ，g ) = ( 即，d ) ，度量g 是保形平坦的，例如g = p 4d ，P = p ( 。) 0 ，则岭南塞蠢c 儡”毒( 其中I g l 是( 职，) 的行列式，( g ”) = ( 吼。) 一1 ) u 是( 14 ) 的非负解的充要条件是u 满足： ：一；V p ，V u ) 2l z I 一4 p ( 。) J i 乌，( u ：c ts ，如果我们取p ( 。) = Iz I ，则得到 j - 一融，孔) 讣r 氆m mQ ， ( 16 ) I “三ui nQ记a = 口一墨，则( 16 ) 就是( 1 1 )则问题( 1 1 ) 变为”n ( 17 ) i nn 其
7、中 c = c ( n A ) = 一； A + 2 ( n 一2 ) 】( 18 )t事实上，问题的这种新形式被认为是保形的L a p l a c e B e l t r a m i 算子的等价形式( 见文章 3 或见文章f 2 1 ) 对于 ( e ( e n ) ，o ) ，这个系数c ( 如( L 8 ) 所定义的) 满足0 一一“，0L兰州大学2 0 0 6 届硕士学位论文：一类带有一阶项的奇异椭圆问题3将D i d i e rS n e t s 和A l b e r t o t e s e i 的文章 5 】中纯指数，( u ) = u P l 的情形推广到为连续函数的情形，得到了
8、相应的结论本文分五个部分，安排如下：第二章，主要结果在这一章给出了问题( 11 ) 的弱解与非常弱解的定义，D i r i c h l e t 问题非平凡弱解的不存在性定理，即定理2 2 和定理2 3D i r i c h l e t 问题非平凡的非常弱解的不存在性定理，即定理2 6 和定理21 1D i r i c h l e t 问题非平凡的弱解的存在性定理，即定理27 以及问题( 1 _ 1 ) 非平凡径向解的存在性定理，即定理28第三章，解的存在性和D i r i c h l e t 问题这一章是利用P o h o z e v 等式证明了定理22 和定理23 ，以及运用山路引理证明了定
9、理27第四章，径向解通过变量变换将问题转化为常微分方程，证明了定理2 8 第五章，讨论局部解的不存在性运用J e n s e n 不等式，证明了定理2 6 和定理21 1第二章主要结果问题( 1 1 ) 的解显然与A 和2 一n 的关系密不可分事实上，考虑问题( 1 1 ) 的径向解，即方程( 2 1 ) 之解( 这里r ；，- 未)如果 2 一n ，则算子( 7 n + A - 1 u ) ，在r = 0 处是退化的，在这种情形下，自然要在加权的S o b o l e v 空间上利用变分方法去讨论( 一) A 2 一n 的情形如果n 有界，我们用田 ( n ) 表示H i b e r t 空
10、间，硪 ( Q ) = 扣其范数I M i l 上1 u 2 如c 。，上l z i 、i w l 2 出co 。)( 上3 1 V “i 2 出+ 上l z i l 舻d z ) ( 瑶 ( n ) 是G 铲在范数忆 意义下的完备化空间，G 酽表示在f 2 上具有紧支集的无穷次可微函数全体) ，容易证明，上述范数与忙一( t J ：川1 I W 2 如) i 是等价的如果f 2 竺廿，我们记砩， ( 科) 三明( 眇) ，对p 1 和且R ，我们同样定义圮( n ) ：=护( n ，”d z ) ，即q ( Q ) = ( un _ 琏I 扩z 【“d z 2 7 2 ，称非负函数U 6 硪
11、 ( n ) n 毋一。( n ) 为D r i c h l e t问题( 11 ) 一( 12 ) 的弱解，如果| 。1 1 V u V 。n ，Q 是包含原点的有界星形区域，满足f ( O ) = 0 以及( ) 对口 2 ，不等式0 2那么D i r i c h l e t 问题( 11 ) 一( 12 ) 的任意弱解都是平凡的观察条件( 皿) ，可将其化为1 一( 2 一n ) 一南( n 一2 ) ，记2 + = i 鸶，上式可重写为1 3 一高。，( 22 )其中x ；- ( g ) ：= 筹( n - 2 )( 23 )所以，由定理2 3 可知，对于固定的q 2 和A 2 一n
12、，在( 口，A ) 平面上问题( 11 ) 一( 12 ) 的解的不存在区域的边界是一条端点为( 2 ，2 一n ) 斜率为一南的射线( 见( 22 ) ) 当口。2 4 时，直线A = i 一上q - 生2f 2 ，4 1靠近垂线o = 2 ，而当q 一+ 。时，直线( 2 4 ) 靠近水平线A = 2 一n 因为天( g ) = 一百每 i 一墨时，必有A 2 一n 和条件( 日1 ) 成立，于是得到定理2 3 的一个推论：推论2 4 设n 是关于原点成星形状的有界区域，且，满足( ) ，假定( 凰) 成立， )2 i 一墨那么D i f i c k l e t 问题( 11 ) 一( 1
13、2 ) 的任意弱解都是平凡解推论2 4 是定理23 在O 0 均成立，则称“为问题( 1 i ) 在Q 中个非常弱解定理2 6 设 2 ，A 2札，n 1 n 、其中n l 是包含原点的邻域，是凸函数，且满足：) c l q - 1 f ( t ) c 2 t q ，其中g 2 ，c 1 0 ，c 2 0 为常数那么问题( 11 ) 在n 。中不存在非平凡的非常弱解定理2 7 设2 一n 0( ，4 ) 存在口 2 , M 0 ，使得0 0 ，D i r i c h l e t 问题( 11 ) 一( 12 ) 在n - B n 上存在一个非平凡的径向解，并且其解在原点有界，问题( 11 )
14、不存在非平凡的全局径向解( i i ) 设口 2 ，A 0 , D i r i c h l e t 问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 在Q = B R上存在一个非平凡径向解，且在原点有界此外，问题( 11 ) 存在两个非平凡全局径向解，且它们在原点均为零，当r 一+ o 。时，其中一个有界，另一个发散到正无穷( i I i ) 设。 2 ， 竺i 一鲁，那么对任意的R 0 , D i r i c h l e t 问题( 1 1 ) 一( 12 ) 在n = B R上都不存在非平凡的径向解，问题( 11 ) 存在无穷多个非平凡全局径向解，它们均在原点为零，当r 一+ 。时，其中一个有界，其他
15、的都发散到正无穷兰州大学2 0 0 6 届硕士学位论文：一类带有一阶项的奇异椭圆问题7( i v ) 设x 一墨 0 , D i r i c h l e t 问题( 11 ) ( 12 ) 在n = B R 上不存在非平凡径向解问题( 11 ) 存在两个非平凡全局径向解，它们在原点均为零，在无穷远处均发散正无穷当r O + 时，在定理2 8 中所提到所有解都是有界的，这是因为当 0 足够小时u ( r ) 2u ( o ) + 元：南一“+ 1 2 1口注2 9 当日= ! 警笋时，原点在直线A = A 一尚上注2 1 0 在A 2 一n 情形中，考虑问题( 1 1 ) 的径向解，有与定理28 类似的结果( 见第四章)区域 ( Q ， ) ： 一当 曼2 一n ) 在定理2 8 中没有考虑，对于这个区域中的参数“，A 我们证明了局部解的不存在性结果，即有如下的定理定理2 1 1 设A i 墨! A 2 一n ) ，是凸函数，并且满足条件( ，2 ) ，n l n ，其中n 。包含原点，那么问题( 11 ) 在Q 。上不存在非平凡的非常弱解在定理2 6 和定理21 1 中边界条件( 12 ) 都没有用到，所以问题( 11 ) 中“= ”用“”取代，同样可得到不存在性结果第三章解的存在性
