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1、WtuWgifWtuWgif14.概率与统计概率与统计1.某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在 8.0 米(四舍五入，精确到 0.1 米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第 6 小组的频数是 7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在 810 米之间，乙成绩均匀分布在 9.510.5 米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙远的概率.解 (1)第 6 小组的频率为 1(0.040.100.140.280.30)0.14，所以总人
2、数为50.70.14所以第 4，5，6 组成绩均进入决赛，人数为(0.280.300.14)5036，即进入决赛的人数为 36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为 x，y 米，则基本事件满足的区域为Error!Error!事件 A“甲比乙远”的概率满足的区域为 xy，如图阴影部分所示.所以由几何概型 P(A)，1212121 2116WtuWgifWtuWgif2即甲比乙远的概率为.1162.(2017湖南永州一模)某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边 A，B 两个路口进行了 8 天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数(如茎叶图所示)，且 A路口数据的平均数比 B 路口
3、数据的平均数小 2.(1)求出 A 路口 8 个数据中的中位数和茎叶图中 m 的值；(2)在 B 路口的数据中任取大于 35 的 2 个数据，求所抽取的 2 个数据中至少有一个不小于40 的概率.解 (1)A 路口 8 个数据的中位数为34.5.34352因为 A 路口 8 个数据的平均数为34，21303134353537498所以 B 路口 8 个数据的平均数为 36，所以36，2432363738424530m8m4.(2)在 B 路口的数据中任取 2 个大于 35 的数据，有如下 10 种可能结果：(36，37)，(36，38)，(36，42)，(36，45)，(37，38)，(37，
4、42)，(37，45)，(38，42)，(38，45)，(42，45).其中“至少有一个抽取的数据不小于 40”的情况有如下 7 种：(36，42)，(36，45)，(37，42)，(37，45)，(38，42)，(38，45)，(42，45).故所求的概率为 P.710WtuWgifWtuWgif33.(2017云南昆明摸底)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200 元/次收费，并注册成为会员， 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次5 次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中， 随机抽取了 1
5、00 位进行统计， 得到统计数据如下：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次频数60201055假设汽车美容一次， 公司成本为 150 元， 根据所给数据， 解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次， 求这两次消费中， 公司获得的平均利润；(3)设该公司从至少消费两次的会员中按消费次数用分层抽样方法抽出 8 人， 再从这 8 人中抽出 2 人发放纪念品， 求抽出 2 人中恰有 1 人消费两次的概率.解 (1)100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 人，所以估计一位会员至少消费两次的概率为 P0.4.40100(2)该会员第 1
6、次消费时，公司获得利润为 20015050(元)，第 2 次消费时，公司获得利润为 2000.9515040(元)，所以公司这两次服务的平均利润为45(元).50402(3)至少消费两次的会员中，消费次数分别为 2，3，4，5 的比例为2010554211，所以抽出的 8 人中，消费 2 次的有 4 人，设为 A1，A2，A3，A4，消费 3 次的有 2 人，设为B1，B2，消费 4 次和 5 次的各有 1 人，分别设为 C，D，从中抽出 2 人，取到 A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，WtuWgifWtuWgif4共 7 种；去掉 A1后，取到 A2的
7、有 A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共 6 种；去掉 A1，A2，A3，A4，B1，B2后，取到 C 的有 CD，共 1 种，总的取法有 n765432128(种)，其中恰有 1 人消费两次的取法共有 m444416(种)，所以抽出 2 人中恰有 1 人消费两次的概率为 P .mn1628474.(2017全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尽寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929
8、.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得i9.97，s0.212，18.439x11616 i1x11616 i1xix211616 i1x2 i16x216 i1i8.52，(xi)(i8.5)2.78，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸，i1，2，16.16i1x(1)求(xi，i)(i1，2，16)的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检
9、零件中，如果出现了尺寸在WtuWgifWtuWgif5(3s，3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，xx需对当天的生产过程进行检查.从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？在(3s，3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的xx零件尺寸的均值与标准差.(精确到 0.01)附：样本(xi，yi)(i1，2，n)的相关系数 r，0.09.n i1xixyiyn i1xix2n i1yiy20.008解 (1)由样本数据得(xi，i)(i1，2，16)的相关系数 r16 i1xi xi8.516 i1xi x216 i1i8.5
10、20.18，2.784 0.212 18.439由于|r|0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)由于9.97，s0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在x(3s，3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查.xx剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02，115因此这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.02.160.2122169.9721 591.134，16 i1x 2 i剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为WtuWgifWtuWgif6(1 591.1349
11、.2221510.022)0.008，115因此这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09.0.0085.(2017湖北恩施模拟)某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩(满分 120 分)的频率分布直方图如下，已知分数在 100110 的学生有 21 人.(1)求总人数 N 和分数在 110115 的人数 n；(2)现准备从分数在 110115 的 n 名学生中任选 2 人，求其中恰好有一名女生的概(女生占13)率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前 7 次考试的数学成绩 x(满分 150 分)，物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考
12、试的成绩.数学888311792108100112物理949110896104101106已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到 130 分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归线 x 的斜率和截距的yab最小二乘估计分别为， .bn i1xixyiyn i1xix2aybxWtuWgifWtuWgif7解 (1)分数在 100110 内的学生的频率为 P1(0.040.03)50.35，所以该班总人数 N60，210.35分数在 110115 内的学生的频率为 P21(0.010.040.0
13、50.040.030.01)50.1，分数在 110115 内的人数 n600.16.(2)由(1)可知，分数在 110115 内有 6 名学生，其中女生有 2 名，男生有 4 名，设男生为 A1，A2，A3，A4，女生为 B1，B2，从 6 名学生中选出 2 人的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共 15 个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，
14、B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共 8 个，所以所求的概率为 P.815(3) 100100，x12171788127100100.y69844167由于 x 与 y 之间具有线性相关关系，根据公式得到 0.5， 1000.510050，b497994a所以线性回归方程为 0.5x50，y所以当 x130 时， 115.y所以他的物理成绩的估计值是 115 分.6.(2017 届河北沧州模拟)为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了 100 名考生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行统计制表，其中成
15、绩不WtuWgifWtuWgif8低于 80 分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题.分组频数频率50，60)50.0560，70)a0.2070，80)35b80，90)250.2590，100150.15合计1001.00(1)求 a，b 的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；(2)按成绩采用分层抽样抽取 20 人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；(3)在第(2)问抽取的优秀生中指派 2 名学生担任负责人，求至少一人的成绩在90，100的概率.解 (1)a20，b0.35，由频率分布表可得所求的概率为 P0.250.150.4.(2)按成绩分层抽样抽取 20 人时，优秀生应抽取 8 人.(3)8 人中，5 人成绩在80，90)内，3 人成绩在90，100内，从 8 个人中选 2 个人，共有 28 种选法，其中至少有一人成绩在90，100内的情况有 2 种：有 1 人成绩在90，100内，有 2 人成绩在90，100内，所以共有 5
