《思科数学第10讲对数与对数函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《思科数学第10讲对数与对数函数（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 10 讲 对数与对数函数基础梳理 1对数 (1)对数的概念 如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，就是 abN，那么，数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记 作 logaNb，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数 (2)常用对数 通常将 log10N 叫做常用对数，记作 lg_N. 自然对数：通常将以无理数 e2.718 28 为底的对数叫做自然对数，记作 ln_N. (3)对数的性质 零和负数没有对数；loga10(a0，且 a1)； logaa1(a0，且 a1)；alogaNN(a0，且 a1，N0)logaamm(a0，a1) 2对数的运算性质 如果 a0，a1，M
2、0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；MN(3)logaMnnlogaM(nR)；(4)logaM(c0，且 c1)logcMlogca 3对数函数的图象与性质关于对数的底数和真数 从对数的实质看：如果 abN(a0 且 a1)，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，即 blogaN.它 是知道底数和幂求指数的过程底数 a 从定义中已知其大于 0 且不等式 1；N 在对数式中叫 真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于 0 的 对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 ylogax(a0，且 a
3、1)的定义域应为 x|x0，对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 0a1 和 a1 进行分类讨论 双基自测1函数 y的定义域是_log0.54x23x解析 由题意知，log0.5(4x23x)0log0.51， 由于 00.51，所以Error!从而可得函数的定义域为.14，0) (34，1答案 14，0) (34，1 2(2011泰州市学情调查)若函数 f(x)Error! 则 f(log43)_. 解析 f(log43)4log433. 答案 3 3(2011盐城市检测)已知 f(x)lg(x28x7)在(m，m1)上是增函数，则 m 的取值范 围是_ 解
4、析 由x28x70，得 x28x70，解得 1x7.又由x28x7(x28x) 7(x4)29，得 f(x)的增区间为(1,4，于是有(m，m1)(1,4，所以 1m3. 答案 1,3 4(2011盐城市检测)已知 f(x)log3x2(x1,9)，则函数 yf(x)2f(x2)的最大值是 _ 解析 f(x)log3x2(x1,9)，yf(x)2f(x2)中 x 满足 1x9 且 1x29.1x3，0log3x1. 所以 yf(x)2f(x2)(log3x2)2log3x22(log3x)26log3x6(log3x3)23. 所以当 x3 时，ymax13. 答案 13 5函数 yloga(
5、x1)2(a0，a1)的图象恒过一定点是_ 答案 (2,2) 考向一 对数式的化简与求值【例 1】(1)计算；lg 2lg 5lg 8lg50lg40(2)设 3a4b36，求 的值2a1b 审题视点 (1)利用对数的运算法则； (2)将指数转化为对数，利用换底公式即可解 (1)1.lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40lg 2 58lg 5040lg 54lg 54 (2)由 3a36,4b36 得 alog 336，blog436.由换底公式得： log363， log364，1a1b 2log363log364log36361.2a1b(1)利用换底公式及 logamNn loga
6、N(a0，a1，N0)，尽量转化为同底的和、差、nm 积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算 【训练 1】 计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2； (2)(log32log92)(log43log83) 解 (1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52 (lg 2lg 51)lg 22lg 5 (11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式(lg 2lg 3lg 2lg 9) (lg 3lg 4lg 3lg 8)(lg 2lg 3lg 22lg 3) (lg 32lg 2lg 33lg
7、2) .3lg 22lg 35lg 36lg 254 考向二 对数函数图象及其应用 【例 2】已知函数 f(x)|log2x|，正实数 m，n 满足 mn 且 f(m)f(n)，若 f(x)在区间 m2，n上的最大值为 2，则 m，n 的值分别为_ 审题视点 画图象求解，由图可先确定 m 与 n 的取值范围解析 yf(x)|log2x|的图象如图所示，于是由 0mn 时，f(m)f(n)，得 0m1n，又由 f(m)f(n)，得|log2m|log2n|，即log2mlog2n，log2(mn)0，所以 mn1.因为 0m2m1，且 f(x)在(0,1)上单调递减，所以 f(x)在m2，n上的
8、最大值为 f(m2)|log2m2|2log 2，解得 m ，从而 n2，故 m ，n2.m 21212答案 212数形结合是解函数问题的基本方法之一，将函数部分项加上绝对值，通过分类讨 论或图象法求解往往较为方便 【训练 2】 (2011泰州学情调查)已知函数 f(x)|lg x|，若 0ab，且 f(a)f(b)，则 a2b 的取值范围是_解析 由题意，知 0a1b，于是由|lg a|lg b|，得lg alg b，所以 lg ab0，ab1，所以 a2ba ，可判断此函数在(0,1)上为减函数，所以 a2b3.2a 答案 (3，) 考向三 对数函数的单调性及其应用【例 3】(2011南京
9、模拟)已知 f(x)loga(a0，a1)是奇函数1mxx1 (1)求 m 的值； (2)讨论 f(x)的单调性 审题视点 (1)利用奇函数的定义有 f(x)f(x)0，可求 m；(2)可采用导数讨论 解 (1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)logalogaloga0 对定义域内的任意 x 恒成立，1mxx11mxx11m2x21x21，1m2x21x2(m21)x20，m1.当 m1 时，1，函数无意义，m1.1mxx1(2)由(1)知 f(x)loga，x1x1 定义域为(，1)(1，)，设 tg(x)1.x1x12x1 当 a1 时，f(t)logat 在(0，)上为增函数， g(x
10、)在(，1)与(1，)上为减函数， f(x)在(，1)与(1，)上是减函数； 当 0a1 时，f(t)logat 在(0，)上为减函数，g(x)在( ，1)与(1，)上为 减函数，f(x)在(，1)与(1，)上是增函数研究与对数函数有关的复合函数的单调性时，一种方法是利用导数，这时应注意 正确地进行求导运算，另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判 断，对于含有参数的函数，必须进行分类讨论 【训练 3】 已知函数 f(x)logax(a0，a1)对任意的 x2，)，恒有|f(x)|1 成立， 则 a 的取值范围是_解析 若 0a1 则 x2，)时，f(x)logax0，所以|
11、f(x)|f(x)logax 在2，)上是 增函数，因此由|f(x)|1 对任意 x2，)恒成立，得 loga21，解得 1a2. 若 0a1，则 x2，)时，f(x)logax0，所以|f(x)|f(x)logax 在2，)上是增 函数，因此由|f(x)|1 对任意 x2，)恒成立，得loga21，解得 a1.12综上，得 1a2 或 a1.12答案 (1,2 12，1)难点突破 6与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道填空题，考查其 图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨 论 一、与对数函数有关的求值问题 【示例】 (2011陕西卷)设 f(x)Error!则 f(f(2)_.二、与对数函数有关的解不等式问题 【示例】 (2011辽宁卷改编)设函数 f(x)Error! 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_
