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1、 中学数学课堂如何开展开放式教学中学数学课堂如何开展开放式教学-以点到直线距离公式教学为例以点到直线距离公式教学为例案例案例点到直线的距离公式是解析几何的一个重要公式，已往的教学中不少教师采用教师在黑板上讲解推导过程得出公式，然后重在运用公式。事实上，本课题的内涵丰富，涉及到许多数学知识，且具有开放性和可演算的特点，是开展数学开放式教学的好素材，开放程度可依学生的数学素养而定，它留给学生的空间很大，极具启发性。【课堂实录课堂实录】师：今天我们共同探索点到直线的距离公式（幻灯片出示问题） 。问题：已知点 P（x0,y0）是直线 l：Ax + By + C = 0 外一点，求点P 到直线 l 的距
2、离？（问题提在学生的最近发展区，让学生能亲近问题，同时解决问题又需努力）师：请大家认真思考，仔细推算，不拘一格地解决这个问题！（只有在民主和谐的课堂氛围中，学生的思维才能活跃起来，思维活起来后就不时的迸出创新的火花，同时要留给学生充足的思考时空及创新的机会）生 1：（反应快的）我的思路是先由方程思想求出过点 P 向直线 l作垂线时垂足 Q 的坐标，再根据两点间的距离公式求|PQ|（得意地坐下） 。师：很好，这种求法思路自然简单，你算出了最后的公式吗？（解题思路得出是解题成功的一半，但解析几何的题目有时思路正确，但不一定能算出最终结果，其中最主要的是过运算关，同时教学中也要努力克服学生眼高手低的
3、不良现象。 ）生 1：（坐在座位的他摇摇头）没有！生 2：算起来太麻烦了，我算了许久都没有得到最后结果！师：大家都有来思考一下这种思路，让这种思路走出困境（教师是学生思维保持的维护者，同时也是学生学习的合作者与引导者） 。生 3：当 A0 时，设点 Q(m,n)，由 Q 点在直线 l 上和直线 PQ直线 l 得：Am + Bn + C = 0 A(ny0)B(mx0) = 0 注意到 P、Q 两点间的距离 d = ，发现垂(mx0)2 + (ny0)2足 Q 的坐标没有必要计算出来，只需计算出(ny0)和(mx0)即可，但是式中没有这两个式子，所以生 2：有了，从式中构造出一个 A(mx0)
4、+ B(ny0) = (Ax0 + By0 + C)，由式变形得 B(mx0)A(ny0)= 0，将(mx0)与(ny0)看成整体，用加减消元即得 mx0 = (Ax0 + By0 + A A2 + B2C)； ny0 = (Ax0 + By0 + C)B A2 + B2将其代入得 d = |PQ| = ；当 A = 0 时，可以验证公式仍然成立。师：太妙了，以上运算巧妙地避开了计算垂足 Q 点的坐标而直达目的，运算过程启迪我们在进行运算时目标意识要强一些，这种整体代换思想在解析几何中是一种重要的思想方法。生 4：我还有一种求法：利用等积法求|PQ| 。师：我们一起来分享他的成果（将生 4 的
5、解答放在视频展示台上投影）当 A、B 都不为 0 时，过点 P 分别作 x 轴、y 轴平行线 PR、PS 交直线 l 于 R(xR,y0)、S(x0,ys)两点，如图 1，由 R、S 在直线 l 上得AxR + By0 + C = 0 ，Ax0 + ByS + C = 0 ，从而解得 xR = ，yS = By0C AAx0C B |PR| = |x0xR| = | Ax0 + By0 + C A|PS| = |y0yS| = | Ax0 + By0 + C B|SR| = = |Ax0 + By0 + C|PR2 + PS2从三角面积公式可知 d|SR| = |PR|PS| ，所以 d =
6、当 A = 0 或 B = 0 时，可验证公式仍然成立。师：请你讲一下是如何找到这个思路的？（旨在暴露学生的思维过程）生 4：类比联想到两点间距离公式的推导方法，那里是用构造直角三角形求长度，这里也是类似的。师：善用类比，妙构直角三角形，化繁为简，是一种极好的求法，课本中推导两点间距离公式的方法是一个很好的启示，因此要重视QPRXyO图 1课本的学习与运用。生 5：我利用直线的方向向量，同时受前面两位同学的启发，得到如下求法。 （教师要努力创造机会让学生交流与合作，在交流与合作中学习，在交流与合作中思维互相启迪，互相碰撞，不时地产生创新的火花。 ）过点 P 作 PQ直线 l，垂足为 Q(m,n
7、)，则直线 l 的一个方向向量为v = (B,A)，PQv，PQ = (mx0,ny0)，由 PQv 和 Q 点在直线 l 上得Am + Bn+ C = 0 A(ny0)B(mx0) = 0联想到所求距离公式将方程组变形为： B(ny0) + A(mx0)= (Ax0 + By0 + C)A(ny0)B(mx0) = 0将 ny0 和 mx0 视为整体，求得 mx0 = (Ax0 + By0 + A A2 + B2C)ny0 = (Ax0 + By0 + C)B A2 + B2将其代入得 d = |PQ| = 师：用直线与向量的关系来解决是一个不错的想法，有效地将向量与解析几何结合。生 6：受
8、学生 5 的启发，我利用直线的法向量。由已知可得直线 l 的法向量 n = (A,B)当 B0 时，直线 l 与 y 轴交点 M 的坐标为(0, )，则 MP = C B(x0,y0 + )。根据向量数量积的几何意义知距离 d = = C B|nMP| |n|当 B = 0 时，容易验证公式仍成立。师：运用直线法向量及数量积求距离，推导过程十分简洁，充分发挥了向量的几何作用，这种方法我们以后还会遇到。 （说明：在学完直线方程后，我们介绍了直线的点向式方程）生 7：我用距离的定义，即点 P 到直线 l 的距离是 P 点到直线 l 上任意一点 R 的距离|PR|的最小值，设 R(x,y)当 B0
9、时，y = x 则 |PR|2 = (x0x)2 + (y0y)2 = A BC B(x0x)2 + (y0 + x + )2 = (1 + )x2 + 2 (y0 + )x0x A BC BA2 B2A BC B+ x02 + (y0 + )2C B上式可看成一个关于 x 的二次函数，其最小值为|PR|2min = = = = (Ax0 + By0 + C)2 A2 + B2d = |PR|min = 当 B = 0 时，容易验证公式仍然成立。师：返蹼归真，虽然运算复杂了一些，但思路简单自然，将几何中的距离问题转化为代数问题，体现了数形结合的思想，这也是解析几何一种重要的思想方法。生 8：学
10、生 7 的运算用换元要简单些，令 t = ，s = y0 + A B（具体计算略）C B生 9：生 1 提出求点坐标我推导出来了！Am + Bn+ C = 0 Am + Bn+ C = 0 A(ny0)B(mx0) = 0 Bm + AnAy0 + Bx0 = 0 解得 m = ，n = 代入两点的B2x0ABy0 + AC A2 + B2A2y0ABx0BC A2 + B2距离公式得d = 师：坚持就是胜利，敢于挑战，了不起！小结：本节课由同学们的积极参与，相互交流与合作，获得了推导点到直线距离公式的多种方法，这是大家创新的具体表现，也是集体智慧的结晶！问题：问题：1 1：数学课堂为何要开展
11、开放式教学？：数学课堂为何要开展开放式教学？2 2：数学课堂如何设计开放式教学？：数学课堂如何设计开放式教学？案例分析案例分析突出探索与开放是新课程标准的重点之一，因而我们应尽可能的将课堂设计为探索型、开放的课堂，努力让例题、习题尽可能的设计为开放题型，让学生的思维、联想等开阔，让数学课堂成为学生思维翱翔的“天空” ，智慧游弋的“海洋” 。现在数学开放题已经进入了中考和高考，而且这是今后发展的一个趋势。因而我们的平时教学不能仅仅满足于开放题的分析和讲解，而应更进一步将教材中的具有典型性的例题和习题，甚至是公式、性质改造成开放性问题，让学生在这样的学习中不自觉的学会处理开放性问题。在数学课堂教学
12、及教材编写中对于数学公式、性质、定理常以封闭式出现，如果像点到直线的距离公式一样将封闭总是改变为开放性问题，打破旧的教学模式，隐去结论，寻求多种解法，多个思维角度。通过引导学生设计解决问题的方案和思路，让学生主动探究，亲身体验问题。旨在解决问题的过程，突出问题解决的发散性。这也是深化课程改革的一个重要方面，体现了知识的“网络化” ，典型题型的“变化” ，思路方法的“优化” ，引导问题解决的“内化” ，思想方法的“点化” 。在教学中我们不应追求任何一种强制的统一，每个学生在学习过程中都应具有一定的自主性，允许学生在学习的过程中存在一定的“路径差” ，有的学生善于运算推导，如学生 7；有的善于提出
13、分析路径，如学生 1；有的追求新意，如学生 6；有的善于类比，如学生 4。应给不同意见的同学以充分表达机会，包括让其他学生对所说的不同看法能有一个理解评价的机会，即在教学中应允许学生在学习过程中表现出一定的“时间差” 。同时，教师还应当积极地去拓宽学生的“学习空间” ，给学生留下充分的自由度，让学生因时而相互讨论和独立思考，或相互启发，使学生在辩论中不断完善解决问题。“条条道路通罗马”是方法开放的真实写照，每个学生各有不同的生活背景和个性特征，因而面对同一个开放性问题，不同的学生可能会有不同的解法。构建方法开放性问题旨在使学生思维发散力的发展，促使学生用已有的知识背景，通过教师的引导或学生之间的互动、交流完成学习的全过程，从而培养学生思维的灵活性和批判性，培养学生的合作能力，提倡了独创精神。与此同时，教师应积极引导学生对做出多种不同解答进一步的比较和评价，通过比较和评价去发现各种不同解法之间可能存在的逻辑联系，对于各种解答的准确性和有效性做出判断并加以总结。
