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1、摘要早在1 7 世纪， 荷兰著名学者C h r i s t i a a n H u y g e n s 第一个观察并描述了 钟摆的同步现象。 1 9 6 3 年， L o r e n : 发表了 他那篇发现奇怪吸引子的著名工作。 1 9 9 0 年， L . M . P e c o r a和T . L . C a r r e l 提出了一个关于混沌同 步的模型， 使得同步的研究翻开了 新的一页。 一 几年来， 混沌同步的研究不断深入， 各种不同形式的同步现象不断被认识 发 现和研究应用 其中 包括完全同 步( c o m p le t e s y n c h r o n i z a t i o
2、 n ) 、 相同 步( p h a s e s y n c h r o n iz a t i o n ) 、 广 义同 步( g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ) , 滞后同 步( la g s y n c h r o n i z a t io n ) , 部 分同 步 ( p a r t ia l s y n c h r o n i z a t i o n ) 、 以 及哈密 顿系 统的 测 度同 步( m e a s u r e s y n c h r o n i z a t i o n ) 等 等。 其在激光动力学系
3、统、 生物系统等实际系统中的应用价值和应用前景也逐渐显露出来， 特别是种种基于混沌同步理论所提出 保密通信方案更是引起了人们的极大兴趣， 很多应用方案都被希望建立在更为复杂的系统之上。 由 于延时动力学系统具有非常高的维数，其动力学行为更是十分复杂， 所以 关于延时系统本身以及祸合延时系统的同 步问 题也成为当今同步研究领域中 个不小的热点。本论文第一章为引言， 土要列出 我的工作所基于的基础理论， 其中包括动力学系统及其刻画， 定态解及其稳定性分析， 渐近行为等内容。 而后是有关于混沌系统、 混沌系统的完全同步、 混沌系统的) 一 义同步更加详细的介绍。第二章介绍近年来有关延时动力学系统中广
4、义同步研究的具体情况。 作为无穷维系统，带有延时项的微分动力学系统本身就是用来研究复杂动力学行为的热点模型， M a c k e y - G l a s s ( M G ) 模型 更 是 其中 的 代表。 基于高维混 沌系 统间的 同 步 行 为 所提出 保密通信方案促使人们对驱动响应下M G系统间的广义同步的临界驱动强度作了研究， 发现了一些参数共振区间。最初， 我们的工作目 的曾是试图利用不稳定周期轨道在广义同步中所起的作用来探讨M G系统间广义同步的临界驱动强度的参数共振现象。 而实际上， 在M G系统中，一些看起来很重要的周期轨道全部塌缩掉了， 而不稳定定态解x二0在广义同步的发生中起
5、着重要的作用， 于是， 我们发 现了M G系统中更多的不同的吸引子 通过构造P o i n c a r e 截面: x =0 , d 叮d t 0 , 入 : 。 ， 表示从定态解附 近的任意一个点出发， 随着时问的 演化， 演化轨道和定态解之间的差距在两个木征方向 上都要增加， 也就是说定态解在两个木征方向上都是不稳定的， 定态解称为不稳定结点:若八 1 0 , A 2 0 ， 使得 x n + N = x 二 对一 切 二 都成立) ， 则x叫做系统的周期解， 其对应的轨道叫做周期轨道， 或闭轨。 孤立的闭轨叫做极限环。和定态解类似， 从极限环附近的点出发， 随时间的演化轨道也可能靠近极限
6、环， 或远离极限环。 那么， 如果存在包含极限环的环形域U ， 使得从U内 任意一点出发的轨道当t 、+ 0 0( 对应的离散系统是 。、+ 0 0 ) 时都渐近的接近极限环， 则称这个极限环为稳定的: 反之， 极限环为不稳定的。 而有的极限环在不同方向上的稳定情况有所差别， 有可能存在这样的 情况， 从极限环内任意一 点 出发的轨道在t - , + 0 0 ( n - , + o 0 )时， 会渐近的接近极限环， 从极限环外任意一点出发的轨道在t - , + o o ( 二一 + 二)时， 会渐近的远离极限环， 这种极限环被称为半稳定的， 或双重极限 环。 在高维的系统中， f R 有可能的
7、情况是从某几个方向 看来， 极限环是稳定的， 从另几 个方向看来， 极限环是不稳定的， 这使得系统具有了更多的复杂性， 产生了 更复杂的轨 道。 其实， 每一条演化轨道都可以 谈稳定性的问题， 这比定态解或极限环的稳定性问 题更加复杂， 通常妇. 1动 力学系统 及其稳定性采用L y a p u n o v 指数进行分 析。 以 下以一维离散系统为 例对L y a p u n o v 指 数的 意义 做说明， 更为复杂的情况将在后而一节中有所介绍。有一个一维迭代:7 - a + 1 “f ( 二 : : )( 1 . 1 . 1 1 )讨论初始状态为 ， 。 的演化轨道的稳定性问题 就要选择x
8、 o 附近的任意一个点( x (, +b x o ) ( b x o 是小量) : 分析从这个点出发的轨道是 逐渐接近原轨道. 还是逐渐远离。 记演化到第， * 步两条轨道之间的差距为6 x , ， 那么:b x 。 二f( 二 。 +6 x) 一f 0 ( x o )( 1 . 1 . 1 2 )以 一个指数A ( n , b x o ) 来表示6 x ,。 的演 化Ib x .卜 Ib x , I e a n ,a s ) n( 1 . 1 . 1 3 )那么人 ( ， : b x o )=叫lli=D三 In生 In王 ，nf , ( 二 。 +b x o ) 一f “ ( x o )b
9、 x o 4 M x ) 二 _ 二 。 1 df (x)dx ，一 df (x )d x 。一 ( 1 . 1 . 1 4 )如果X ( n , b x o ) 。 ， 新轨道的 演化与原轨道越来越远， 原 轨 道越来越 近。 如 果先 对 双 n , b x o ) 取 b x o - 0 的 极限，以讨论其整体的行为。反之， 表示新轨道的演化与再取? ， 、 土 0 a的极限， 就可1 井、 I d f ( T ) 、入=I n n i l m AI r e , o x o l=I n n _ l l m一 7 . I I I ! I = 二 二 .11 讨 十 戈 响- 11 -+ r
10、o e x p - . U 祝裔( I T( 1 . 1 . 1 5 )A 就是这条轨道的L v a p u n o v 指数， 久 0 表示这条轨道是稳定的， 反之表示这条轨道是 不 稳定的。2 1 1第一章 引言如果相空间存在 个子集合A ， 从这个集合内任意一 点 出发的轨道都仍然在这个集合内， 那么这个集合被称为不变集。 例如任何的定态解都是不变集， 闭轨也是不变集。若一个封闭的不变集有临域fl, 刘于U内任意一 点出发的轨道当t - t o o 离散系统是7 1 - , + 0 0 ) 时的极限都是这个不变集， 则这个不变集是一个吸引子， 所有满足这个条件的临域的A集是这个吸fil
11、l 子的吸引域， 也称为吸引盆。X 1 . 2 混沌和混沌同 步盯. 2 . 1 混沌现象当 人 们 谈 起 混 沌 时 ， 通 常会 提到 1 9 6 3 年 E d L o r e n z 发 现的 那个 奇 怪吸引 子2 2 ,现在， 它被称为L o r e n z 吸引子， 这个系统被称为L o r e n z 系统， 描述系统的方程被称作L o r e n z 方程， 是根据气象学中大气流体力学的N a v i e r 一 S t o k e s 方程经过简化得到的，其具体形式为x二 二- ( y 一a . )-xz+ , . X一 y ,x y一b z ,( 1 .2 . 1 )其
12、中。 , r , b 是二个参数， 分别叫做普朗特常数、 瑞利常数和方向比。当这三个参数选取合适的时候， 混沌吸引子就会出现，图1 . 1 是选取a =1 0, r =3 5 , b =8 / 3时的L o r e n z 吸引子， 其中图( d ) 所展示的两条轨道的初始值在x , y , z三个方向上各差5 x1 0 - ， 而随时间的演化出现很大差异。后来， 有人在谐振子的基础上人为的设计出 一个更为简单但能产生混沌吸引子的模型， 被称为 R o s s le r 系 统， 或R o s s le r 振子2 3 ， 方程为:r=-w? I一 zY = wx+a y( 1 . 2 . 2
13、 )二 b 十城 二 一约w , a , b , 为系统的参 数， 、对应谐振子中的频率， 而被称为R o s s l e r 振子的自 然频 1 2混沌和混沌同步图 1 . 1 : L o r e n z 吸引子 引子在二 一 y, i 一: 、 ” 分离的情况其参数选取为二 :平面的投影.=1 0、 r =3 5 , b =8 / 3 . ( a ) , ( b ) , ( c ) 图分别表示这个吸 ( d ) 图展示了初始差异很小的两条轨道随时间演化而逐渐率 要想得到混沌吸弓 子， 也需要对参数作一个适当的选择， 图1 .2 是选取参数。二1 ,a =0 . 1 5 , b =0 . 2
14、 , c =1 0 时R o s s l e : 吸引子在x 一y 平面的投影。事实上， “ 非线性效应” 是产生混沌现象的基础， 而耗散结构并不是。 在保守系统中仍然有出 现混沌的可能。 在古老的三体问题中， 由 于不存在和自由 度数目 一样多的守 恒量， 就会产生混沌。 在保守系统中， 不存在吸引子的概念， 更谈不到混沌吸引子;所以不能认为 拥有混沌吸引子的系统才是混沌系统。 本文研究的混沌系统都是混沌的耗散系统， 一定拥有混沌吸引子， 而在这里对于保守系统的混沌就不再赘述了。关于混沌， 至今没有个使所有人都满意的定义， 但有个并不严格但为 大家所愿意接受的说法 混沌就是系 统表现出对初值
15、的敏感依赖。 人们用混沌来描述气象学、生物学、 经济学等领域内的 诸多现象， 井开发应用， 使其更好的为人类服务。 甚至在统计物理学的基本问题的研究中， 混沌也发挥了巨大的作用。 虽然没有一个明确的定义， 但人们还是要尽力的 应用各种办法和手段来刻画混沌。第一章 引 言1 0卜一 1 02 0 2 0一 1 01 02 0图1 . 2 : R o s s C r 吸引 子 在 x 一 、 平 面 的 投 影 其 参 数选 取为 、 = 1 , a 二 。 . 1 5 , 6 = 0 .2 , 。 二1 0L y a p u n o v 指数谱是其中 种很常用而F l 非常有效的手段， 它是通过
16、对一条轨道的稳定性的描述来刻画系统是否处于混沌态的。 一 条轨道的L y a p u n o v指数的个数就是 这个系统的维数， 对于一个n 维系统， 记 L y a p u n o v 指数为 a , , i =1 , 2 ， 二 ， n ， 通常 将它们山 大到小排列A i A 2 一A, A ; 称为最大L y a p u n o v 指数， 所有的L y a p u n o v指数 A i 构成轨道的L y a p u n o v 指数谱。很多时候， 最大L y a p u n o v 指数A ， 具有非 常重要的意义， 就像前一节所提到的 一维离散系统的L y a p u n o v 指数一样， 他描述的 是轨道附 近任意一条轨道与其差距的民时演化情况， 其定义为:给定 一 条轨道X ( t ) ， 初始条 件为 X ( 0 ) ， 任 取临 近 一 点 X ( 0 ) 演化出 轨道 X ( t ) , 定 义 日 X ( t ) ll = IIX I ( t ) 一 X
