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1、八年级学生从实验几何过渡到论证几何的困难分析八年级学生从实验几何过渡到论证几何的困难分析摘要 平面几何的教学内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位,有着重要的教育价值,如:有助于锻炼和培养学生的逻辑推理能力;有助于学生形成空间观念;有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。 论证几何,乃是平面几何学习的关键。从实验几何进入到论证几何,不仅需要从“形”的思维向“质”的思维转变,需要熟练进行文字语言,符号语言和图形语言之间的转换,更需要思维层次从形象思维,直觉思维向逻辑思维的飞跃,思维水平需要上升的一个新的高度。在所有国家的中小学数学课程中,论证几何均处核心的地位。 因此,本文以处
2、于这个过渡阶段的八年级学生作为对象,采用文献研究、问卷调查及访谈相结合的方法展开研究。主要通过阅读大量文献,在调查问卷及访谈的基础上,主要围绕两个问题展开研究: 一是学生对于几何证明内涵理解程度的研究; 二是对学生几何基本图形的画图、识图能力的分析。 根据分析结果总结了八年级学生从实验几何向论证几何过渡中面对的主要困难以及需要克服的障碍是: 1、消极对待几何;2、对几何的抽象和形式化不适应; 3、对于几何的概念理解不透彻;4、几何语言运用的不规范;5、逻辑思维能力的欠缺;6、最大的困难是:对几何证明技能的理解和应用。 最后,本文从几方面给出了一些解决这些问题的相关策略: 1、转变学生的几何学习
3、观; 2、加深对于概念的理解和应用; 3、借助“思路概念图”分析题目; 4、借助“导学提纲”,引导学生说过程、谈推理; 5、一题多变、一题多解,拓视野,扩思维。关键词:实验几何 论证几何 困难分析- - III III - -ABSTRACTPlane geometry, which plays an important role in the mathematics curricula in junior schools, could help to cultivate the students abilities of mathematics reasoning and form an i
4、dea of space concept. Meantime, it can also make the students to learn how to solve problems in a mathematic way in order to develop the attitudes in various aspectsThe proving geometry is the key of geometry learning. Changes from the experimental geometry to the proving one require not only a para
5、digm shift from “formal thinking” to “essential thinking”, together with skilled maths language as well as the smooth transition between symbolic language and graphic language, but also some changes in imaginative power, even the leap from intuitive thinking to logical thinking, arousing the level r
6、ising to a new heightAmong all the mathematics curriculum of elementary or middle schools from different countries, the proving geometry leads the core positionTherefore, focused on the eighth grade students as an object in this transitional phase, the thesis mainly aims at discussing the issues on
7、the studentsdifficulties in learning how to prove geometry from the experimental geometry, revealing their obstacles in the geometric transition by the means of literature study, questionnaire survey and a large amount of talking with the students and teachersAs a result, the thesis concludes severa
8、l solutions to the related proposals KEY WORDS: experimental geometry, proving geometry, - - IV IV - -目 录 第一章 引言. 1 1.1 研究的缘起 1 1.2 研究的必要性. 8 1.3 研究的意义 11 第二章研究的理论基础. 12 2.1 实验到证明:从实验几何到论证几何 12 2.1.1 实验几何的特征 12 2.1.2 几何证明的特征 12 2.1.3 实验几何和几何证明的区别. 20 2.2 从实验几何到论证几何的过渡 22 2.2.1 从具体到抽象 22 2.2.2 从“外部行为
9、”到“内部操作”. 23 2.2.3 从“情境?经验型”到“方法?观念型”24 第三章 研究方法. 25 3.1 研究样本 25 3.1.1 学生的选择. 25 3.1.2 访谈教师的选择 25 3.2 数据收集的方法 26 3.2.1 测试卷的设计和编制 26 3.2.2 访谈. 27 3.2.3 课堂实录 28 3.3 实施方法 29 第四章 研究分析与讨论 30 4.1 对于几何证明内涵理解程度的分析: 30 4.1.1 测试卷分析(初中生对几何的认识) 30 4.1.2 研究结果 37 4.1.3 困难分析. 39 4.2 对于几何基本图形的画图、识图能力的分析 41 4.2.1 一次
10、考试带给我们的震惊. 41 4.2.2 造成学生识图、画图能力差异的情况分析 42 第五章 研究结果与建议 62 5.1 从实验几何到论证几何过渡的主要困难 62 5.2 针对困难的教学策略. 65 - - 1 1 - -第六章 研究不足. 74 参考文献 75 附录 1:八年级学生对于证明的理解程度的测试卷 77 附录 2:教师访谈表 78 致谢. 80 - - 2 2 - -数学,犹如拼写之于诗歌. 如同诗歌由字符组成一样,数学工作是由证明组成的?阿尔诺德 第一章 引言 1 .1 研究 的缘起 (一)初中学生数学思维的起伏变化要求我们关注直观几何、实验几何和几何证明; 1、六年级部分学生对
11、于直观实验的结论产生了一定的疑惑 上教版六年级上第四章第一节圆的周长一课是一节概念与计算相结合研究几何形体的几何课,它是在学生以前学过的长方形,正方形图形知识基础上进行教学的。教材试图通过测量,计算等实验活动,让学生在观察、分析、归纳中理解圆的周长的含义,经历圆周率的形成过程,推导圆周长的计算方法,为学习圆的面积、圆柱、圆锥等知识打下基础。本节课的重点在于让学生理解圆的周长计算公式,理解计算公式的推导过程及其实践运用,难点在于理解圆周率。如果对于“任何圆的周长都是它的直径的 3 倍多一些”这个问题,学生都能理解,那么圆的周长计算公式的归纳就可以迎刃而解了。 通常大多数老师采取的方法基本上是让学
12、生准备大小不同的圆形物体,先用直尺或者两块三角板测量出圆形物体的直径,然后通过用绳子或者铁丝围绕它一圈的方法,或者在直尺上滚一周的方法测出圆形物体的周长,最后通过计算得出周长是直径的 3 倍多一些。 这个教学设计很好,目的是想通过操作测量,一方面告诉同学们,数学来源于生活,另一方面,让学生体会知识的发生和发展过程。但是在实际课堂中,会出现很多问题。比如,学生如果选择的是一枚硬币,但是选择测量的绳子比较粗,或者有弹性,那么测量的误差会很大,不会像设想的那样“周长是直径的 3倍多” ,有的时候可能是 4 倍多或者只有 2 倍多。当看到自己的实验误差这么大,很多同学会对此都产生疑问,但是因为大多数同
13、学在小学就知道了这个结论,所以通常- - 1 1 - -的情况时,同学们高高兴兴,然后不了了之,老师也就不了了之了。但是这样形式化的实验,表面上热闹的操作达到数学教育真正的目的了吗? 其实,当时部分学生已经不满足于通过做简单的几何实验学习几何知识了,他们渴望知道“事情的真相”,了解这其中蕴含的数学思想。比如在课后,我就吃惊地看到有同学画了张图,来表述了圆周率的产生,其实就是古代数学家刘徽(三国后期人)发明的割圆术。 2、七年级学生不理解有些就是事实,为什么还要去证明? 在上教版七年级下第十三章三角形中,上海市中小学数学课程标准中第一次提到:把握从实验几何逐步过向论证几何过渡的要求,进行逻辑推理
14、的初步训练,认识几何结论严格化的过程和方法,了解数学证明的必要性,奠定推理论证的初步基础上海市中小学数学课程标准.2005,其中第十三章第二节的内容是“三角形的内角和”,它是对图形进一步认识以及规范证明过程的重要内容之一,也是以后学习证明(二) 证明(三)中用以研究角的关系的重要方法之一。 本节课的一个难点就是:引导学生通过:过三角形的一个顶点作对边的平行线,把三角形的内角和转化为一个平角来讨论,为了突破这一难点,同时迎合初一学生好动的特点,大多数教师认为还是采取实验操作的形式作为引入,学生会比较感兴趣,而且这样能让学生对图形的变换有一个感性的认识。但是当我们这样进行教学的时候,发现问题又出现
15、了: 首先是很多同学对问题的探究不感兴趣,不愿意动手,他们认为这个实在太“小儿科”,小学就都知道了,根本没有必要在证明了; 其次,在学生象征性的操作完之后,教师要求他们观察拼合出来的图形,看看能否发现一些特殊位置关系的线。这一环节中,学生反应还是很快的,一下子就看到了两条平行的线,但是对于这一发现和我们要做的证明定理这一目标有什么关系?大多数学生依旧不清楚为什么要验证,难道就是为了得出结论?只有个别基础较好的学生能联系起来,说出证明思路。学生不能把在实验操作中观察到- - 2 2 - -的现象和所学的数学知识联系起来; 第三,有同学剪下三个内角之后,就得到另外三个小三角形,一共出现了 6个角,
16、不知道谁和谁拼在一起,最后连哪个是原来三角形的内角也分不清楚了,更谈不上拼接了。这个失败在于同学们不清楚老师让大家操作的目的是什么。 第四,缺乏自信,不敢肯定自己所得的正确结论。例如:教师演示的是把三角形的两个内角移到第三个角的两侧,而学生把两角移到第三个角的同侧时马上否定了自己的操作。从设计的本意:通过动手操作,形成形象思维,并且体会辅助线的添加。本次课堂实施还是没有达到这种效果。 课后有同学问,如果我把锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,等腰三角形,等边三角形,不等边三角形等所有类别的三角形内角全部量一遍(假设误差为零) ,然后把内角统统加起来是 180 度,用这样的方法证明可以吗? 这位同学提的问题非常好,首先他已经很清楚仅仅量一个或几个三角形,得出结论已经是不可靠的,也就是说直观实验采用了不完全归纳的方法来推断结论,这是不可靠的,因为无限多种不同的几何形态可能蕴含的是同一个几何概念.所有他在“证明”时,选取了有各种各样的三角形。但实际上实验操作仅仅对部分图形进行了验证,不能说明问题,即便是对一些很显然的结论,也不
