《2018届高考数学文科二轮复习：第二篇 第28练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学文科二轮复习：第二篇 第28练（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、WtuWgifWtuWgif1第第 28 练练 不等式选讲不等式选讲明考情不等式选讲是每年的高考必考题，以选做题的形式呈现，主要考查基本运算能力和推理论证能力，中低档难度.知考向1.绝对值不等式的解法.2.不等式的证明.3.不等式的应用.考点一考点一 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法方法技巧 |xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.1.已知函数 f(x)|xa|，其中 a1.(1)当 a2
2、时，求不等式 f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求 a 的值.解 (1)当 a2 时，f(x)|x4|Error!Error!当 x2 时，由 f(x)4|x4|，得2x64，解得 x1；当 2x4 时，由 f(x)4|x4|，得 24，无解；当 x4 时，由 f(x)4|x4|，得 2x64，解得 x5.所以 f(x)4|x4|的解集为x|x1 或 x5.WtuWgifWtuWgif2(2)记 h(x)f(2xa)2f(x)，则 h(x)Error!Error!由|h(x)|2，解得x.a12a12又已知|h(x)|2 的
3、解集为x|1x2，所以Error!Error!于是 a3.2.(2017全国)已知函数 f(x)|x1|x2|.(1)求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围.解 (1)f(x)Error!Error!当 x1 时，f(x)1 无解；当1x2 时，由 f(x)1，得 2x11，解得 1x2；当 x2 时，由 f(x)1，解得 x2.所以 f(x)1 的解集为x|x1.(2)由 f(x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x，而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2 ，(|x|32)5454当且仅当 x 时，|x1|x2|x2x .3
4、254故 m 的取值范围是.(，543.(2016全国)已知函数 f(x)|2xa|a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1|，当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值范围.解 (1)当 a2 时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.WtuWgifWtuWgif3因此 f(x)6 的解集为x|1x3.(2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当 x 时等号成立，12所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3.当 a1 时，等价于 1aa3，无解；当 a1 时，等价于
5、 a1a3，解得 a2.所以 a 的取值范围是2，).4.已知函数 f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意的 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围.解 (1)由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x1|3，可得不等式的解集为(2，4).(2)因为对任意 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x).又 f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得 a1 或 a5，所以实数 a 的取值范围为(，51，)
6、.考点二考点二 不等式的证明不等式的证明要点重组 (1)含绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.(2)算术几何平均不等式.如果 a1，a2，an为 n 个正数，则，当且仅当 a1a2an时，等号成立.a1a2annna1a2anWtuWgifWtuWgif4(3)柯西不等式设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立.设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a a a )(b b b )2 12 22 n2 12 22 n(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得
7、aikbi(i1，2，n)时，等号成立.5.已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1，1.(1)求 m 的值；(2)若 a，b，cR，且 m，求证：a2b3c9.1a12b13c(1)解 因为 f(x2)m|x|，所以 f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm.又 f(x2)0 的解集为1，1，故 m1.(2)证明 由(1)知 1，1a12b13c又 a，b，cR，由柯西不等式，得 a2b3c(a2b3c)(1a12b13c)29.(a1a 2b12b 3c13c)当且仅当 a2b3c 时，等号成立.所以 a2b3c9.6.(201
8、7全国)已知 a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.WtuWgifWtuWgif5(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，3ab243ab34所以(ab)38，因此 ab2.7.已知定义在 R 上的函数 f(x)|x1|x2|的最小值为 a.(1)求 a 的值；(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 pqra，求证：p2q2r23.(1)解 因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当
9、且仅当1x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.(2)证明 由(1)知 pqr3，又因为 p，q，r 是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即 p2q2r23，当且仅当 pqr1 时取等号.8.已知 ab0，且 ma.1abb(1)试利用基本不等式求 m 的最小值 t；(2)若实数 x，y，z 满足 x24y2z2t，求证：|x2yz|3.(1)解 由三个数的基本不等式，得m(ab)b331abb3abb1abb(当且仅当 abb，即 b1，a2 时取“”号)，故有 t3.1ab(2)证明 x24y2z23，由柯西不等式，得x2(
10、2y)2z2(121212)(x2yz)2，当且仅当 1，即 xz1，y 时x12y1z112取“”号.WtuWgifWtuWgif6整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.考点三考点三 不等式的应用不等式的应用方法技巧 利用不等式的性质和结论可以求函数的最值，解决一些参数范围问题，恒成立问题，解题中要注意问题的转化.9.已知函数 f(x)|x1|x2|，不等式 tf(x)在 R 上恒成立.(1)求 t 的取值范围；(2)记 t 的最大值为 T，若正实数 a，b，c 满足 a2b2c2T，求 a2bc 的最大值.解 (1)因为 f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以 f(x)min
11、3.因为不等式 tf(x)在 R 上恒成立，所以 tf(x)min3，t 的取值范围为(，3.(2)由(1)得 Ttmax3，由柯西不等式，得(a2bc)2(122212)(a2b2c2)18，所以 a2bc3.2当且仅当 ，即 a，b，c时，a2bc 的最大值为 3.a1b2c122222210.已知 a22b23c26，若存在实数 a，b，c，使得不等式 a2b3c|x1|成立，求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知，12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2，23232233即 6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26，66(a2b3c)2，WtuWgif
12、WtuWgif76a2b3c6.存在实数 a，b，c，使得不等式 a2b3c|x1|成立，|x1|0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.解 (1)当 a1 时，WtuWgifWtuWgif8f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当10，解得 0，解得 1x1 的解集为Error!Error!.(2)由题设可得 f(x)Error!Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A，B(2a1，0)，(2a13，0)C(a，a1)，
13、ABC 的面积为 (a1)2.23由题设得 (a1)26，故 a2.23所以 a 的取值范围为(2，).例 (10 分)已知函数 f(x)|3x2|.(1)解不等式 f(x)4|x1|；(2)已知 mn1(m，n0)，若|xa|f(x) (a0)对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的1m1n取值范围.审题路线图(1)整理得绝对值不等式零点分段法求解WtuWgifWtuWgif9(2)|xa|fx 1m1n恒成立|xa|fx (1m1n)min利用基本不等式|xa|fx 4恒成立求gx|xa|fx的最大值规范解答评分标准解 (1)不等式 f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4，当 x 时，不等式可化为3x2x14，23解得 x ；1 分5423当 x1 时，不等式可化为 3x2x14，23解得 x ；2 分2312当 x1 时，不等式可化为 3x2x14，无解3 分综上所述，不等式的解集为.4 分(54，12)(2) (mn)11 4，1m1n(1m1n)nmmn当且仅当 mn 时，等号成立.5 分12令 g(x)|xa|f(x)|xa
