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1、空空间间解析几何与向量代数解析几何与向量代数一、向量代数（）有关空间直角坐标系下点坐标的问题。 1 （4）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A) (B) (C) (D) ），（432 ），（432），（432），（432 解：（A） （B） （C） （D）2 （6）若，则中点坐标为， 5 .)0, 3, 1 (),3, 1, 1 (BAAB3(1,1, )2 | AB3.（7）求点关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点坐标。),(cba解：（1）( , ,),(, , ),( , )xoya bcyoza b c xozab c （2）( ,),(, ,),(, )
2、xabcya bc zab c （3）(0,0,0)(,)oabc 4 （4）若点的坐标为，则向径用坐标可表示为或.M),(zyxOM( , , )x y z, ,x y z5 （8）一边长为的立方体放置在面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点axoy 在轴和轴上，求它各顶点的坐标。xy解：),22, 0(), 0 ,22(),0 ,22, 0(),0 , 0 ,22(aaaaaa6 （7）已知，且，求（1） ；（2）线段的中点)4, 2, 1(A), 2, 6(tB9|ABtAB坐标。解：108020655（） 或， （2）（，）或（，）22 （）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。7
3、 （8）设已知两点和，计算的模、方向余弦、方向角) 1,2, 4(1M)2, 0, 3(2M21MM及单位向量。解：（1）模 2， （2）12 123 222343（，），（3）12 1121 222222（，）或（，）8 （6）若为向量的方向角，则 1 ；,av222coscoscos2 .222sinsinsin9.（6）设，和，求向量在轴）（8, 5, 3mv）（7, 4, 2nv）（4, 1, 5pvpnmavvrv34x上的投影及在轴上的分向量。y解：（1）13， （2） (7 jr Q)4, 1 , 5()7, 4, 2(3)8 , 5 , 3(434pnmavvrv(13,7,1
4、5)10 （6）已知点的向径为单位向量，且与轴的夹角为，另外两个方向角相等，POPz6求点的坐标。P解：113(,)22 22 211.（6）已知向量与各坐标轴成相等的锐角，若，求的坐标。av32|avav解：因为，所以33cos1cos3223332cosaaxr同理，故2zyaa)2 , 2 , 2(ar（）向量的数量积与向量积及其坐标运算。12 （4）下列关系式错误的是-（ D ）(A) (B) (C) (D) abbavvvvabbavvvv22| aavv0aavv13 （7）设，求与）（2 , 1, 3 av）（1, 2 , 1bvbavv. bavv解： ， 1bavv7 , 5
5、 , 3bavv14.（7）设，求) 3, 0, 1 (),2, 1, 1(),2, 3, 2(cbavvv.)(cbavvv解：11 301211232 )( cbavvv（）用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影。 15确定下列各组向量间的位置关系：（1） （4）与 )2, 1 , 1 (av)4 , 2, 2(bvar br（2） （4）与 ) 1 , 3, 2( av)2, 2 , 4(bvba 16 （7）求向量在向量上的投影。)4 , 3, 4( av) 1 , 2 , 2(bv解：236),cos(b bab baaabaaaprjb（）用向量积来计
6、算有关平行四边形和三角形的面积问题。17 （7）已知：，求的面积。kiOAvv3kjOBvv3OAB解：219 21OBOAS18 （7）三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为，ABC),(),(),(332211yxCyxByxA则如何用向量积的方法来求出的面积？ABC解：11121332211yxyxyxSABC19 （7）试找出一个与同时垂直的向量。) 1 , 1 , 0(),1 , 2 , 1 (bavv解：=)(ba) 1 , 1, 1 (110121kjirrr、综合应用题型： （）涉及到代数向量（即用坐标表达式表示的具体向量）的综合计算问题。20 （10）已知三点， （1）求；)2
7、 , 1 , 2(),1 , 1 , 1 (),1 , 2 , 2(321MMM321MMM（2）求与同时垂直的单位向量。3221,MMMM解：（1） ，2123(1,1,0)(1,0,1)M MM Muuuuuu ruuuuuu r21),cos(3212MMMM故 3321MMM（2）)31,31,31()(32213221 MMMMMMMM21 （8）已知，试在轴上求一点，使的面积最小。) 1 , 2 , 0(),0 , 0 , 1 (BAzCABC解：设， ), 0 , 0(zC)525(4122zzA51z二、平面方程（）三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置。26
8、（7）求过三点的平面方程。)3 , 2 , 0(),2, 3 , 1(),4 , 1, 2(321MMM若不共线，你能给出过此三点的平面方程吗？),(),(),(333222111zyxCzyxBzyxA解： 因为平面的法向量为 ) 1, 9 ,14(1326433121kjiMMMMnrrr故 . 0)3()2(9)0(14zzyx015914zyx0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx27指出下列平面方程的位置特点，并作示意图：（1） （5）； （2） （5）； （3） （5）03 y023 zy. 0832zyx解：（1）过点且平行于坐标面的平面。)0 ,
9、 3 , 0(xoz过轴且垂直于坐标面的平面。)2(xyoz（3）截距分别为的平面。38, 4, 8 （）二平面垂直与平行的判定。 28判定下列两平面之间的位置关系：（1） （4）与 042zyx. 1842zyx（2） （4）与132zyx. 423 zx解 （1）平行； （2）垂直 （）二平面夹角的计算（夹角规定为0,） 。229 （4）求两平面和的夹角。062zyx052zyx解：， 故 21 6366121 ) 1(21cos3（）点到平面距离的计算。30 （4）点到平面的距离)3 , 2 , 1 (0121243zyx1 131312431236832222 d31 （7）求与之间的
10、距离。01DCzByAx02DCzByAx解： 在上取一点，01DCzByAx), 0 , 0(1 CD由点到平面的距离公式得 222122222100CBADDCBADCDC d （）用点法式方程建立与已知平面有关的未知平面方程 32求满足下列条件的平面方程：（1） （7）平行轴，且过点和y) 1 , 5, 1 ( P).1, 2 , 3(Q解： 设所求平面为 ，将代入得0DCzAxQP,2,2DCDA故所求平面为 02 zx（2） （7）过点且平行于平面)3 , 2 , 1 (. 0522zyx解： ，0)3(2)2() 1(2zyx即 01022zyx（3） （7）过点和且垂直于平面)
11、1 , 1 , 1 (1M) 1, 1 , 0(2M. 0zyx解：所求平面为，于是有0DCzByAx0CBA，0DCBA0DCB解得，BACBD2002BzByBx即02zyx三、直线方程（）两点式直线方程的计算。33 （4）过点的直线方程为 ),(,(2222)1111zyxMzyxM121121121 zzzz yyyy xxxx （）一般式方程转化为对称式方程。34 （7）用对称式方程及参数式方程表示直线 . 0432, 01 zyxzyx解：，取 得)3, 1, 4(312111kjisrrr1, 0yx45z故直线的对称式方程为 34511 4 zyx直线参数式方程为 45314t
12、ztytx（）两直平行或垂直的判定。 35. 判别下列各直线之间的位置关系：（1） （4）与31 211:1zyxL . 3,2,21 :2 ztytx L解：，)3 , 2 , 1(1s)0 , 1 , 2(2s021ss所以 21LL （2） （4）与32:1zyxL . 023, 012:2zxyxL解：，)3 , 2 , 1(1s)3 , 2 , 1()3, 2, 1 (1030122kjisrrr所以 1L2L（）点到直线距离的计算*36 （7）求原点到的距离。23221zyx解：方法（1）化为参数方程23221zyx32212tztytx点（0，0，0）到直线上任意点的距离为（参数
13、为 的点）t222)32()2() 12()(ttttd142092tt)910(326 910014910014)910(92tt方法（2）过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为0)0(2)0()0(2zyx将直线化为参数式方程为代入直线的垂面方程，得L 32212tztytx L910t所以（0，0，0）在直线上的垂足为L)97,98,911(所求距离为910014)97()98()911(222d326四、平面与直线综合题（）直线与平面的交点计算。38 （5）求直线与平面的交点。2432zyx062zyx解：（1）令tzyx2432代入平面得 ，06)42()3()2(2ttt1t所求交点为 )2 , 2 , 1 (（）已知点在已知平面的投影计算。39 （7）求点在平面上的投影。)3, 0 , 5(M012:zyx解：过且与垂直的直线方程为)3, 0 , 5(M012:zyxtzyx 23 115代入得201)32(25tttt，1, 2, 3zyx故在平面上的投影为012:zyx) 1 , 2, 3( （）直线与平面特殊位置关系的判定。40 （4）设与，则-（ C
