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1、 厂商研发的非合作和合作博弈模型分析厂商研发的非合作和合作博弈模型分析1 引言 研发对一个公司来说至关重要，它是公司能够持续发展的关键因素。只有通过研发，公司才能推出新产品来保持和提高自己的市场份额。因此几乎每个公司都对研发投入了大量资金，并且研发经费占公司利润的比例有不断提高的趋势。但是，对每个公司来说，公司间的研发竞赛是次优的，这主要表现在：从社会经济总体发展来看，由于公司间研发的保密而使很多经费进行同样的研发，从而使社会资源产生浪费。从单个公司来说，研发间的竞争导致了公司财务的沉重负担，甚至有的公司不堪重负而破产。因此，公司间研发的合作是非常重要的，这不仅仅表现在社会资源的有效利用，而且
2、表现在这种合作是一种双赢的结果。本文通过一些合理的假设探讨了两个相同公司间研发的非合作和合作博弈模型，并分析这种现象给出评价标准来进行对比分析。 2 非合作博弈模型 本模型是 Cournot 模型的一种推广，文中的许多假设和 Cournot 模型相同，所不同的是 Cournot 模型是一种完全信息静态博弈模型，而本文所给出的模型是一种两阶段博弈模型，即在 Cournot 模型的基础上加进了公司的研发投入阶段。 模型的若干假设：一个经济系统中只有两个相同的公司，也可以说这两个公司是对称的，即一个公司是另一个公司的复制，两个公司在投入成本，产出水平，以及发展战略上都是相同的，并设两个公司的初始单位
3、成本为 c，即没有进行研发时的成本，两公司所进行的两阶段博弈模型如下：在第一阶段，两个公司同时选择研发投入经费 x1,x2 后进行研发过程；在第二阶段，两个公司注意到研发投入经费 x1,x2，生产出产品后在产品市场上进行竞争。 由于混合策略在公司进行决策时过于麻烦，并且公司的研发对于一个公司来说至关重要，有的研发一旦确定，就需要相当长的时间去完成，中途更改的机会成本很高，因此，本文只讨论纯策略时的情况，并且讨论的是一个一次博弈模型，而不考虑重复博弈时的公司行为，所以本文过多地关注纯策略子博弈完备均衡就不足为奇了。 在这里，假设两公司进行研发后，能够有效地降低其单位产品生产成本，而不是推出新产品
4、，即我们的注意力放在研发对技术的贡献上。假设一单位的研发投入能够降低单位产品生产成本为 f（x1）,f（x2）,其中 f（x）=（0 i（xi,xj,qi,qj）=qi（p-）c-f）xi）-xo =qi（a-（qi+qj）-c+f（xi）-xi 采用倒推法可以求得纯策略子博弈完备均衡，由于这两个阶段对两个公司来说都是公共知识，我们先假设在第二阶段两公司在产品市场进行竞争时，使得对方已达到均衡数量时使自己的收益达到最大，同样地，在求得第二阶段的均衡收益时可以以这个均衡为基础求出第一阶段的均衡收益，这就是所要求的纯策略子博弈完备均衡的收益值。其具体过程如下： 在第二阶段有=0 =0 由于两个公司
5、是对称的，可解得： q=，q= 即在第二阶段两公司得收益为： *9 仔(x1,x2,q,q)=-x1 *9 仔(x1,x2,q,q)=-x2 由于两个公司在第二阶段都达到了预期的水平，在第一阶段两个公司也同样有这样的动机来达到这种情况，即假设另一个公司已经达到最优水平的情况下使自己的收益达到最大，这主要是建立在两个阶段都具有充分的共同知识的基础上。第一阶段的解为： =0 =0 解得：x=x=32r(a-c)2，并且 *9 仔(x1,x2,q,q)=9(a-c)2-x *9 仔(x1,x2,q,q)=9(a-c)2-x 由于所讨论的是两个同样的公司，所以本博弈模型的均衡为对称解，从上面的均衡可以
6、算出消费者剩余S： S=1/2b(q+q)2=2() 3 合作博弈模型 合作是指两个公司为了共同的目的而进行的一种妥协，两公司间研发的合作主要涉及的是双方对研发的投入与其所得之间的问题，可是在合作博弈中这并不能简单的解决这个问题，很有可能当两个公司由于研发费用的分担和收益的获得不平等的时候，这种合作就有破裂的危险，也就是说合作博弈所寻找的是让两个公司从根本上认识到这种合作对任何一方来说没有偏袒，所以这里主要解决的是两个公司如何分担费用和收益的问题。在这里我们依然沿用非合作博弈的框架来表述两个公司在研发方面的合作，只不过在合作博弈的第一阶段，两公司所进行的是研发费用的共同分担和研发的共同获益，并
7、且研发费用的总和比非合作情况下要少很多，从这方面讲，研发的合作比不合作要好。两公司进行合作时，依然会出现利益冲突，因为一方的投入增加会导致另一方的投入会慢慢地减少，从而减少的一方会从中获得更多的好处，并且由于两个公司可能对研发的要求不一样而导致合作研发是否好的问题，在这里不考虑这种情况，公司所要求的只是按照博弈规则进行。为了反映双方的费用和收益之间的关系，在这里给出合作博弈的基本框架，并给出合作博弈的均衡解，从以下结果中可以看到这个均衡是唯一存在的。 在这里，合作博弈是从非合作博弈的基础上进行一种变换而来的，即其基本框架依然是非合作博弈，只不过我们寻找的是变换后的博弈模型的均衡解。设*9 祝=
8、（1，2，C1，C2，u1,u2）是一个博弈， 是一个合作变换，则 （*9 祝）就为另一个博弈。在这里主要讨论的是一种两人讨价还价博弈模型(F,v)。设F=（u1（)，u2（）|（C），（C）为 C=（C1，C2），为上的一个概率分布。在这里可以看出，F 是非合作博弈情况下的解的可行集，对这个集合进行一些限制条件后就构成了合作博弈的解的可行集,即 F（x1,x2）|x1v1,x2v2，这里 F（x1,x2）|x1v1,x2v2，这里是非空有界的， v 是不一致同意点，也即他们不进行合作也可以达到的点。其中非空有界集说明存在某个可行配置对两个局中人来说至少与不一致同意点一样好，但不可能出现超过不
9、一致同意点的无界收益。对两个局中人来说，仅当 F中 至少存在一个配置 y。都严格好于不一致同意配置 v 时，我们才称这个两人讨价还价问题（F,v）是实质上的，也就是这个可行集中至少存在一个均衡值。可以看出我们所讨论的合作博弈模型是实质上的。 设*9 准（F，V）为 R2 中的某个配置向量，它是当 F 为可行配置集且 v 是不一致同意的配置下的讨价还价的结果。设*9 准 i（F，V）表示*9 准（F，V）的第 I 个分量，即*9 准（F，V）=*9 准 1（F，V）,*9 准2（F，V），则对任一个讨价还价问题(F,v)，纳什讨价还价解的公理可表示如下： (1)强有效性。*9 准（F，V）是 F
10、 中的一个配置，x*9 准（F，V）且对 F 中的任一个 x，则 x=*9 准（F，V）。即解是可行的且是帕累托有效的。 (2)弱有效性公理。*9 准（F，V）=F 且 F 中不存在任何 y，使得 y*9 准（F，V）。 (3)个人理性。*9 准（F，V）V 即配置会越来越好。 (4)尺度协变性。对任意 10,20,r1r2,若 G=(1x1+r1,2x2+r2)|(x1,x2)F且w=(1v1+r1,2v2+r2)，则*9 准(G,w)=(1*9 准 1(F,v)+r1, 2*9 准 2(F,v)+r2)即(F,v)的任何仿射变换不会影响效用函数的决策性质。 (5)无选择的独立性公理。对任一
11、闭凸集，若 G*9 哿 F，且*9 准（F，v）G,则*9 准（G，v）=*9 准（F，v）。即讨价还价解并不会因为剔除那些不被选择的可行对象而改变。 (6)对称性。若 V1=V2 且(X1,X2)|(X1,X2)F=F,则*9 准 1（F，v）=2（F，v）。即若双方是对称的,则解也是对称的。 设讨价还价双方是个人理性的，并且 F 中的一个配置是个人理性的充要条件是 xv。在这里我们关注的是纳什讨价还价解，它由以下定理确定。 定理 1：存在唯一的一个解函数 （，）满足上述公理(1)到(5),对于每个讨价还价问题(F,v)，这个解函数都满足*9 准（F，v）（x1-v1）（x2-v2）。 在进
12、行双方合作时我们注意的是双方的投入与其收益之间的关系，为了解决这个问题，在这里采用平等主义解和功利主义解的概念。平等主义解的意思是双方的投入应该是相等的,特别是对两个相同结构的公司来说，只有这样他们的投入才会在同一个起跑线上；功利主义解是从双方这个整体来考虑的，即在平等主义解的基础上，如果双方所获得的总收益越多，则每一方所获得的就会相应地增加。 平等主义解为 F 中唯一弱有效且满足如下等收益的点 x：x1-v1=x2-v2； 功利主义解为任一解函数，他对每个两人讨价还价问题(F,v)都选择两个配置 x，使得 x1+x2=（y1+y2）。 显然这两个解不满足尺度协变性公理。为了使他们满足这个公理
13、，特做如下修改：给定任意1，2，r1，r2，使得 10，20 令 L(y)=（1y1+r1，2y2+r2），yR2 并且对给定任一两人讨价还价问题（F,v），令 L（y）=L(y)|yF,于是(L(F)，L(v)的平等主义解为 L(x)，其中 x 是 F 中唯一弱有效点，且使得 1(x1-v1)=2(x2-v2)，则称其为(F,v)的 平等主义解，类似的，（L(F),L(v)的功利主义解一定是某个点 L(z)，其中 z 是 F 中的一个点使得 1z1+2z2=（1y1+2y2）。 1，2 称为(F,v)的自然尺度因子，即对任一实质上 =(1，2)的(F,v),存在一个向量使得(0,0)且(F，
14、v)的 平等主义解同时也是(F,v)的 功利主义解，而纳什讨价还价解可以被视为均等收益和最大收益这两个原则的一个自然综合，为了便于计算，以下给出这两种解的等价条件。 定理 2：令(F,v)为一个实质上的两人讨价还价问题，并令 x 为一个满足 xF，且 xv 的配置向量，则x 为(F,v)的纳什讨价还价解的充要条件是，存在严格正的数 1 和 2，使得 1x1-1v1=2x2-2v2及 1x1+2x2=（1y1+2y2）。 有了以上的理论基础，就可以求出合作博弈的纯策略子博弈完备均衡解，这里同样采用的是倒推法进行求解，在第二阶段,同样可以求出 qq,在第二阶段合作博弈的解即为下列优化问题:（x1,
15、x2,qq）-）（x1,x2,qq）-） 解得：x=x=()2 在合作情况下双方的收益为： （x,x,qq）=-x （x,x,qq）=-x 其中新的消费者剩余为： S=1/2（qq）2 通过计算得到一下结论： xx，xx (1) q（x，x）q（x，x） q（x，x）q（x，x）(2) SS(3) 其中：（1）式说明合作情况下的研发投入比非合作情况下的投入要小；（2）式说明合作情况下的产出比非合作情况下的产出要多；（3）式说明合作情况下的消费者剩余比非合作情况下的要大. 4 比较分析 从非合作博弈和合作博弈的结果看，合作博弈的结果都优于非合作博弈的结果，在非合作博弈中，公司为了减少成本所进行的研发是每个公司分别分担的
