参数估计和假设检验

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1、参数估计和假设检验参数估计和假设检验一一参数估计参数估计估计的原理：估计的原理：在前面我们已经得到样本统计量的如下分布：在前面我们已经得到样本统计量的如下分布：（1）X:2 ( ,)n（2） 2 2 (1)2nns:（3） p( ,)pqpn:（4）22 12 1212 12()(,)XXnn:（5）1 122 1212 12()(,)p qp qppppnn:（6）2 1 2 1212 2 2 2(1,1)sF nns:（7）当总体的方差）当总体的方差未知时，未知时，2(1)nxts n:对于事先确定的置信概率，我们可以构造一个不等式区间，利对于事先确定的置信概率，我们可以构造一个不等式区间

2、，利用这一不等式区间来进行估计，例如已知样本容量和样本均值以及用这一不等式区间来进行估计，例如已知样本容量和样本均值以及总体的方差，要求以总体的方差，要求以 95的置信概率来估计总体的均值，利用统计的置信概率来估计总体的均值，利用统计量量，则我们知道，则我们知道落入落入1.96 这一区间的概率是这一区间的概率是X:2 ( ,)nXn95，也就是，也就是这一不等式成立的概率是这一不等式成立的概率是1.961.96Xnn95，由于在这一不等式中，由于在这一不等式中、n 为以知，故可得出：为以知，故可得出：X1.961.96XXnn则估计完毕。则估计完毕。同样在知道样本容量及样本方差的情况下可以利用

3、同样在知道样本容量及样本方差的情况下可以利用来对总体的方差进行估计来对总体的方差进行估计2 2 (1)2nns:在知道样本容量和样本比例的情况下利用在知道样本容量和样本比例的情况下利用来对总体来对总体p( ,)pqpn:比例进行估计比例进行估计利用利用来估计来估计22 12 1212 12()(,)XXnn:12利用利用来估计来估计1 122 1212 12()(,)p qp qppppnn:12pp利用利用来估计来估计2 1 2 1212 2 2 2(1,1)sF nns:2 1 2 2 在总体的方差在总体的方差未知时，利用未知时，利用来估计来估计2(1)nxts n:利用匹配样本来估计两个

4、总体均值的差：见书利用匹配样本来估计两个总体均值的差：见书 P194 页页样本容量的确定：样本容量的确定：在估计总体的均值、比例和两个总体的均值之差和比例之差时，在估计总体的均值、比例和两个总体的均值之差和比例之差时，估计的误差估计的误差 E，主要由置信概率所决定的区间长度确定的，例如在，主要由置信概率所决定的区间长度确定的，例如在利用样本均值来估计总体均值时，假设置信概率为利用样本均值来估计总体均值时，假设置信概率为 95，则，则 E=1.96，n利用这一等式，显然在利用这一等式，显然在 E、确定时，也就可以计算出确定时，也就可以计算出 n。在估计总体的比例和两个总体的均值之差和比例之差时，

5、样本容在估计总体的比例和两个总体的均值之差和比例之差时，样本容量的确定也可以以此类推。量的确定也可以以此类推。二二.假设检验假设检验 假设的建立：我们将希望出现的结果作为备择假设假设的建立：我们将希望出现的结果作为备择假设,而将与备择而将与备择1H假设对立的结果作为原假设假设对立的结果作为原假设。0H假设检验的原理：从证实的角度看要证明备择假设假设检验的原理：从证实的角度看要证明备择假设是很困难的，是很困难的，1H而一旦原假设而一旦原假设成立，则成立，则就肯定不会成立，但如果就肯定不会成立，但如果不成立，不成立，0H1H0H也并不意味着也并不意味着就肯定会成立，在这种情况下，我们只能说就肯定会

6、成立，在这种情况下，我们只能说可可1H1H能会成立。因此我们是通过检验原假设能会成立。因此我们是通过检验原假设来对备择假设的命题是来对备择假设的命题是0H否成立进行检验。否成立进行检验。检验的方法：首先是利用原假设检验的方法：首先是利用原假设确定总体的参数服从某一分布，确定总体的参数服从某一分布，0H然后在假定总体的参数服从这一分布的情况下，利用上面的然后在假定总体的参数服从这一分布的情况下，利用上面的（1）（）（7）个统计量求样本出现的概率，如果样本落在大概率）个统计量求样本出现的概率，如果样本落在大概率区间，则接受原假设，备择假设肯定不成立，如果样本落在小概区间，则接受原假设，备择假设肯定

7、不成立，如果样本落在小概率区间就拒绝原假设，则备择假设有成立的可能性。率区间就拒绝原假设，则备择假设有成立的可能性。检验一个假设：一枚硬币是均匀的，采用如下的决策规则：检验一个假设：一枚硬币是均匀的，采用如下的决策规则：（1）如果在投掷）如果在投掷 100 次的一个样本中，正面出现的次数在次的一个样本中，正面出现的次数在 40-60之间，就接受假设，之间，就接受假设， （2）否则，就拒绝假设）否则，就拒绝假设求：求：A.当假设正确时，拒绝假设的概率？当假设正确时，拒绝假设的概率？B.用图形解释决策规则，和用图形解释决策规则，和 A 中的结果中的结果C如果在如果在 100 次的投掷中，产生了次的

8、投掷中，产生了 53 次正面、次正面、60 次正面，次正面，是否支持原假设？是否支持原假设？D.在在 C 中，你的结论会犯错误吗？请解释中，你的结论会犯错误吗？请解释E如果真实情况是正面出现的概率为如果真实情况是正面出现的概率为 0.7 时，接受硬币是均时，接受硬币是均匀的这一假设的概率是多少？匀的这一假设的概率是多少？应用范围：可以检验总体的均值、总体的方差、总体的比例、两应用范围：可以检验总体的均值、总体的方差、总体的比例、两个总体的均值之差、两个总体的比例之差、两个总体的方差比。个总体的均值之差、两个总体的比例之差、两个总体的方差比。两类错误与两类错误与的确定：在假设检验中存在着两个类型

9、的错误，弃的确定：在假设检验中存在着两个类型的错误，弃真和取伪（见书真和取伪（见书 P214 页）页） ，如果要减少弃真错误，就要增加大概，如果要减少弃真错误，就要增加大概率区间率区间，而增加大概率区间也就增加了取伪错误，因此要减，而增加大概率区间也就增加了取伪错误，因此要减1少一种类型的错误，势必要增加另一种类型的错误，一般的原则少一种类型的错误，势必要增加另一种类型的错误，一般的原则是首先控制犯是首先控制犯错误的概率。错误的概率。单侧检验和双侧检验：要根据备择假设的形式来确定，单侧检验和双侧检验：要根据备择假设的形式来确定，可以是可以是1H不等于、大于、小于，而相应的就是双侧、左侧、右侧检

10、验。不等于、大于、小于，而相应的就是双侧、左侧、右侧检验。匹配样本的检验：见书匹配样本的检验：见书 P238 页页两个总体比例之差检验中，原假设的差异所带来的检验方法的差两个总体比例之差检验中，原假设的差异所带来的检验方法的差异：见书异：见书 P235 页页练习：练习：1在测量反映时间中，一位心理学家估计的标准差是在测量反映时间中，一位心理学家估计的标准差是 0.05 秒，秒，他必须取多大容量的样本才能保证以他必须取多大容量的样本才能保证以 95%的置信水平使他的置信水平使他的反应时间的均值的估计误差不超过的反应时间的均值的估计误差不超过 0.01 秒秒2一个球的直径的一个球的直径的 10 个

11、测量样本给出的均值为个测量样本给出的均值为 4.38 厘米，样厘米，样本的标准差为本的标准差为 0.06 厘米，求实际直径的厘米，求实际直径的 95%的置信区间的置信区间3在一个社区中，随机选择在一个社区中，随机选择 100 个投票者，发现有个投票者，发现有 55%是支是支持特定候选人的，求全体投票者支持该候选人的持特定候选人的，求全体投票者支持该候选人的 95%的置的置信区间信区间4在看某一个电视节目的在看某一个电视节目的 400 个成年人和个成年人和 600 个青少年的随个青少年的随机样本里，发现有机样本里，发现有 100 个成年人和个成年人和 300 个青少年表明喜欢，个青少年表明喜欢，

12、以以 95%的置信概率求青少年和成年人喜欢该电视节目的比的置信概率求青少年和成年人喜欢该电视节目的比例之差。例之差。5某校有某校有 100 个男生，从中随机挑选个男生，从中随机挑选 16 个男生，其身高的标个男生，其身高的标准差为准差为 2.4 厘米，要求以厘米，要求以 95%的置信概率求该校男生身高的置信概率求该校男生身高标准差的置信区间。标准差的置信区间。6一种专利药物的制造者宣称在一种专利药物的制造者宣称在 8 小时内该药物减轻病情的小时内该药物减轻病情的有效率为有效率为 90%，今以，今以 200 个病人为样本，发现该药对个病人为样本，发现该药对 160人有效，要求以人有效，要求以 0

13、.01 的显著性水平检验厂商的说法是否正的显著性水平检验厂商的说法是否正确确7两个班分别有两个班分别有 40 和和 50 个学生，进行一场测验，第一班平个学生，进行一场测验，第一班平均成绩为均成绩为 74 分，标准差为分，标准差为 8，第二班的平均成绩为，第二班的平均成绩为 78 分，分，标准差为标准差为 7，要求以，要求以 0.05 的显著性水平检验这两个班的成的显著性水平检验这两个班的成绩是否有显著的差异绩是否有显著的差异8A、B 两群人，每群各有两群人，每群各有 100 个病人，给个病人，给 A 群一种药，而不群一种药，而不给给 B 群，其他处理两群完全一样，今发现群，其他处理两群完全一样，今发现 A 群和群和 B 群分别群分别有有 75 人和人和 65 人痊愈，要求以人痊愈，要求以 0.05 的显著性水平检验该药的显著性水平检验该药的有效性。的有效性。9一台机器装一种重量为一台机器装一种重量为 40 公斤的口袋，已知其标准差为公斤的口袋，已知其标准差为0.25 公斤，现取公斤，现取 20 袋作为一个随机样本，样本的标准差为袋作为一个随机样本，样本的标准差为0.32 公斤，要求以公斤，要求以 0.05 的显著性水平检验机器的稳定性是的显著性水平检验机器的稳定性是否出现问题。否出现问题。