《2017-2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人教a版选修1-1（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数主题题 函数的最值值1.观观察图图中在a,b上函数y=f(x)的图图象,找出它们们的极大值值和极小值值.提示:f(c),f(e)是函数y=f(x)的极小值,f(d),f(g)是函数y=f(x)的极大值.2.观观察1中函数y=f(x)的图图象,你能找出函数f(x)在区间间a,b上的最大值值、最小值吗值吗 ?若将区间间改为为(a,b),f(x)在(a,b)上还还有最值吗值吗 ?提示:函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是f(g),最小值是f(b).若区间改为(a,b),则f(x)有最大值f(g),无最小值.3.观观察如图图所示函数y=f(x)的图图象,该该函数
2、有最大值值吗吗?提示:由图可见在最高点处图象是间断的,因此该函数没有最大值.结论结论 :函数有最值值的条件如果在闭闭区间间a,b上函数y=f(x)的图图象是一条连续连续不断的曲线线,那么它必有最大值值和最小值值.【微思考】1.函数在某一区间间上的最大值值一定是这这个区间间上所有函数值值中的最大值吗值吗 ?提示:是.2.极值值能在区间间端点处处取得吗吗?最值值呢?提示:极值只能在区间内取得,但是最值可以在区间端点处取得.3.函数最值值和“恒成立”问题问题 有什么联联系?提示:解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)0恒成立,只要f(x)的最小值大于0即可.对含参不等式恒成立问
3、题,求参数范围时,可先分离参数.【预习预习 自测测】1.下列说说法正确的是 ( )A.函数在其定义义域内若有最值值与极值值,则则其极大值值便是最大值值,极小值值便是最小值值B.闭闭区间间上的连续连续 函数一定有最值值,也一定有极值值C.若函数在其定义义域上有最值值,则则一定有极值值;反之,若有极值值,则则一定有最值值D.若函数在给给定区间间上有最值值,则则有且仅仅有一个最大值值,一个最小值值,但若有极值值,则则可有多个极值值【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.2.连续连续 函数f(x)在(a,b)上有最大值值是有极大值值的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分
4、也不必要条件【解析】选A.因为区间(a,b)为开区间,所以连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出函数有极大值,但有极大值函数不一定有最大值.3.函数f(x)=x2-4x+1在1,5上的最小值值和最大值为值为 ( )A.-2,6B.-3,-2C.2,6D.-3,6【解析】选D.f(x)=2x-4.当x(1,2)时,f(x)0,又因为f(1)=12-41+1=-2,f(5)=52-45+1=6.所以f(x)=x2-4x+1在1,5上的最小值为f(2)=22-42+1=-3,最大值为6.4.下列是函数f(x)在a,b上的图图象,则则f(x)在(a,b)上无最大值值的是 ( )【解析】选D.在开
5、区间(a,b)上,只有D选项所示函数f(x)无最大值.5.已知函数y=-x2-2x+3在区间间a,2上的最大值为值为 ,则则a等于_.【解析】当a 时,y0,所以y在 上为增函数,因此,函数y在-2,+)上只有最小值-28 ,无最大值.【方法总结总结 】闭闭区间间a,b上连续连续 的函数f(x)必有最值值(1)给给定的区间间必须须是闭闭区间间,f(x)在开区间间上虽虽然连连续续但不能保证证有最大值值或最小值值.如f(x)= ,x(0,1),f(x)在区间间(0,1)连续连续 ,但没有最大值值和最小值值(如图图).(2)在闭闭区间间上的每一点必须连续须连续 ,即在闭闭区间间上有间间断点,也不能保
6、证证f(x)有最大值值和最小值值,如函数f(x)= 在-1,1上有间间断点,没有最小值值(如图图).(3)若连续连续 函数在区间间(a,b)内只有一个极值值,那么极大值值就是最大值值,极小值值就是最小值值.【巩固训练训练 】函数y= 在0,2上的最大值值是 ( )A.当x=1时时,y= B.当x=2时时,y= C.当x=0时时,y=0D.当x= 时时,y= 【解析】选A.y= 令y=0,得x=1.因为x=0时,y=0,x=1时,y= ,x=2时,y= ,所以最大值为 (x=1时取得).类类型二 与参数有关的最值问题值问题【典例2】(1)已知函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值值
7、-37,求a的值值,并求f(x)在-2,2上的最大值值.(2)(2017秦皇岛岛高二检测检测 )设设函数f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b,0f(2)f(-2),所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37,得a=3.所以当x=0时,f(x)max=3.(2)f(x)=-x2+4ax-3a2.令f(x)=0,解得x=a或x=3a,x0,3a,列表如下:x0(0,a)a(a,3a)3af(x)-0+0f(x)b递减- a3+b递增b由表知:当x(0,a)时,函数f(x)为减函数;当x(a,3a)时,函数f(x)为增函数.所以当x=a时,f(x)的最小值为- a3+b;当x=0或x=
8、3a时,f(x)的最大值为b.【方法总结总结 】已知函数最值值求参数的步骤骤(1)求出函数在给给定区间间上的极值值及函数在区间间端点处处的函数值值.(2)通过过比较较它们们的大小,判断出哪个是最大值值,哪个是最小值值.(3)结结合已知求出参数,进进而使问题问题 得以解决.【巩固训练训练 】(2017包头头模拟拟)若函数f(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)的图图象关于x=0对对称,则则f(x)的最小值值为为 ( )【解析】选C.因为函数f(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)的图象关于x=0对称,所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),即-2(1-a+b)=0,0=4
9、(4+2a+b),求得b=-2,a=-1,所以f(x)=(x-1)(x+2)(x2-x-2)=x4-5x2+4,所以f(x)=4x3-10x=2x(2x2-5)= 显然,在 上,f(x)0,f(x)为增函数,故当x=- 时,y=-当x= 时,y=- 所以函数f(x)取最小值- .类类型三 与最值值有关的恒成立问题问题【典例3】(2017潍潍坊高二检测检测 )已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1处处都取得极值值.(1)求a,b的值值及函数f(x)的单调单调 区间间.(2)若对对x-1,2,不等式f(x)f(2)=2+c,解得c2.【延伸探究】1.若典例(1)中条件不变变,问
10、问法改为为求函数f(x)在区间间-1,2上的最值值,结结果如何.x-1-1(1,2)2f(x)+0-0+f(x)+c单调 递增 +c单调 递减- +c单调 递增2+c【解析】f(x)=(3x+2)(x-1),当x变化时,f(x),f(x)变化情况如表:由于 所以f(x)在区间-1,2上的最大值为2+c,最小值为- +c.2.若典例(2)中条件不变变,问问法“若对对x-1,2,不等式f(x)c- ,所以f(1)=c- 为最小值.因为存在x-1,2,不等式f(x)f(1)=c- ,解得cR.【方法总结总结 】1.证证明不等式,研究方程根的个数、两函数图图象的交点个数、图图象的分布范围围等问题问题
11、,导导数和数形结结合是一种很有效的工具,经经常通过过分析函数的变变化情况,结结合图图形分析求解.2.恒成立问题问题 向最值转值转 化也是一种常见题见题 型(1)要使不等式f(x)f(x)max,则则上面的不等式恒成立.(2)要使不等式f(x)h在区间间m,n上恒成立,可先在区间间m,n上求出函数f(x)的最小值值f(x)min,只要f(x)minh,则则不等式f(x)h恒成立.【补偿训练补偿训练 】设设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时时取得极值值.(1)求a,b的值值.(2)若对对于任意的x0,3,都有f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0.所以,当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.所以当x0,3时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x0,3,都有f(x)9.因此c的取值范围为(-,-1)(9,+).【课课堂小结结】1.知识总结识总结2.方法总结总结求最值值的方法(1)极值值法:对对开区间间上的连续连续 函数,最值值一定是其极值值.(2)比较较法:对对于闭闭区间间上的连续连续 函数,通过过比较较极值值与端点的函数值值的大小求最值值.
