整除与拓展(家庭版)

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1、主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址： 08 年秋五年级龙虎提高班教师版年秋五年级龙虎提高班教师版提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：010-62636115,62556159010-62636115,62556159 学知轩：学知轩：010-62920324,62923545010-62920324,62923545 1 1 / / 5 5第一讲第一讲 整除与拓展整除与拓展(家庭版家庭版)【例题 1】 【分析与解分析与解】其中 1985，1990，1995，2000，2005 含有因数 5 分别有 1，1，1，

2、3，1 个，所以共有 l+1+1+3+1=7 个因数 5；其中 1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004 含有因数 2，分别有 1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2 个，所以共有 1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25 个因数 2 其中因数 5 较少，含有 7 个，所以题中 25 个数的乘积末尾连续的 0 的个数为 7 【评注评注】多数情况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续 0 的个数因为因数 2 的个数远多于因数 5 的个数，所以只考虑因数 5 的个数即可 【例题 2】【分析与解分析与解

3、】如下图，我们在图中标出每个数含有质因数 2、5 的个数，除第一行外，每个数都是上一 行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数 2、5 的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数 2、5 个数的和所以，最后一行的一个数含有 10 个质因数 2，15 个质因数 5而一个数末尾含有连续 0 的个数决定于质 因数 2、5 个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾含有 10 个连续的 0【例题 1】【例题 2】主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址： 08 年秋五年级龙虎提高班教师版年秋五年级龙虎提高班教师版提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：提高考试成绩与学习能力

4、的最佳培训学校！保福寺：010-62636115,62556159010-62636115,62556159 学知轩：学知轩：010-62920324,62923545010-62920324,62923545 2 2 / / 5 5【例题 3】【例题 4】主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址： 08 年秋五年级龙虎提高班教师版年秋五年级龙虎提高班教师版提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：010-62636115,62556159010-62636115,62556159 学知轩：学知轩：010-62920324

5、,62923545010-62920324,62923545 3 3 / / 5 5【例题 5】【教材方法教材方法】 我们知道这样的六位数一定能整除 7、11、13；下面就可用这个性质来试着求解：abcabc由上知的末 6 位数 999999 必定整除 7；2055555L1 4 2 4 3 个W2099999L1 4 2 4 3 个 有=1000000+999999；于是只用考察：2055555L1 4 2 4 3 个W2099999L1 4 2 4 3 个2055555L1 4 2 4 3 个W1499999L1 4 2 4 3 个 1000000，又因为 1000000，7 互质，所以

6、1000000 对整除 7 没有影响，所2055555L1 4 2 4 3 个W1499999L1 4 2 4 3 个 以要求一定是 7 的倍数注意到，实际上我们已经将末尾的 6 个 9 除去；2055555L1 4 2 4 3 个W1499999L1 4 2 4 3 个这样，我们将数字 9、5 均 6 个一组除去，最后剩下的数为口，即 55 口 99(20 3 6)555 L14 2 4 3 个(20 3 6)999 L14 2 4 3 个我们只用计算 55 口 99 当“口”取何值时能被 7 整除，有口为 6 时满足. 【胡先友老师建议方法】用 3 位 1 格的方法，再奇位和偶位和以大减小

7、，详情见老师课堂分析。评注：评注：对于含有类似的多位数，考察其整除 7、11、13 情况时，可以将一组一nabcabcabcabcabcabcLLL1 4 4 44 2 4 4 4 4 3 个abcabc组的除去，直接考察剩下的数【例题 1】【分析与解分析与解】 方法一方法一：利用整除特征 因为这个数能被 5 整除，所以末位只能是 0 或 5，又能被 2 整除，所以其末位为偶数，所以只能是 0 在满足以上条件的情况下，还能被 4 整除，那么末两位只能是 20、40、60 或 80 又因为还能同时被 9 整除，所以这个数的数字和也应该是 9 的倍数，主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优

8、教育 网址：网址： 08 年秋五年级龙虎提高班教师版年秋五年级龙虎提高班教师版提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：010-62636115,62556159010-62636115,62556159 学知轩：学知轩：010-62920324,62923545010-62920324,62923545 4 4 / / 5 5，的数字和分别为 24+A，26+B，28+C，30+D，对应的1993A201993B401993C601993D80A、B、C、D 只能是 3，1，8，6即末三位可能是 320，140，860，680 而只有 320

9、，680 是 8 的倍数，再验证只有 1993320，1993680 中只有 1993320 是 7 的倍数 因为有同时能被 2，4，5，7，8，9 整除的数，一定能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 这几个数整除， 所以 1993320 为所求的这个数 显然，其末三位依次为 3，2，0 方法二：方法二：采用试除法一个数能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被57=8957=2520 整除3223用 1993000 试除，19930002520=7902200，余 2200 可以看成不足 2520-2200=320，所以在末三位的 方格

10、内填入 320 即可【例题 2】 【分析与解分析与解】方法一方法一：利用整除特征 注意能被 9，11，6 整除的数的特征： 能被 9 整除的数，其数字和是 9 的倍数；能被 11 整除的数，其和与的差为 11 的倍数；或将其后三位与前隔开，奇数位数字和偶数位数字和将新组成的两个数作差，将是 11 的倍数； 能被 6 整除的数，其数字和是 3 的倍数，且末位为 0，2，4，6，8 的其中之一. 1+7+3=ll，当口内填入 7 时，1735 的数字和为 18，为 9 的倍数，所以当口内填 7 所组成的数为 9 的倍数；173 口的奇数位数字和为 7+口，偶位数数字和为 1+3=4，所以当口内填

11、11+4-7=8 时，和与的差为 11，所组成的数为 11 的倍数；奇数位数字和22偶数位数字和1+7+3=11，当口内填入 l，4，7 时，为 3 的倍数，但只有 4 为偶数，所以当口内填入 4 组成的数为 6 的 倍数 所以，这三种情况下填人口内的数字的和为 7+8+4=19 方法二：方法二：采用试除法 用 1730 试除，17309=1922，17301l=1573，17306=2882 所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4 后得到的 1737、1738、1734 依次能被 9、11、6 整除 所以，这三种情况下填入口内的数字的和为 7+8+4=19【例题 3】【

12、分析与解分析与解】 因为 105=375，所以这个六位数同时满足能被 3、7、5 整除的数的特征即可 而能被 7 整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是 7 的倍数； 能被 5 整数的数，其末位只能是 0 或 5 方法一方法一：利用整除特征 末位只能为 0 或 5 如果末位填入 0，那么数字和为 1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是 3 的倍数，所以口可以为主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址： 08 年秋五年级龙虎提高班教师版年秋五年级龙虎提高班教师版提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福寺：提高考试成绩与学习能力的最佳培训学校！保福

13、寺：010-62636115,62556159010-62636115,62556159 学知轩：学知轩：010-62920324,62923545010-62920324,62923545 5 5 / / 5 50，3，6，9，验证均不是 200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有 9l 是 7 的倍 数，即 199290 是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为 90如果末位填入 5，同上解法，验证没有数同时满足能被 3、7、5 整除的特征所以，题中数的末两位只能是 90 方法二：方法二：采用试除法 用 199200 试除，199200105=189715，余 15 可以看成不足(105-15=)90所以补上 90，即在末 两位的方格内填人 90 即可【练 1】 【分析与解分析与解】 975 含有 2 个质因数 5，935 含有 1 个质因数 5，972 含有 2 个质因数 2而 975935972口的乘积最后 4 个数都是 0那么，至少需要 4 个质因数 5，4 个质因数 2所以，口至 少含有 1 个质因数 5，2 个质因数 2，即最小为 522=20【练 2】【练 3】【练 4】 【解】8【练 5】 【解】27 个。