排列组合和排列组合计算公式[1]

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1、排列组合公式排列组合公式/ /排列组合计算公式排列组合计算公式排列排列 P-和顺序有关和顺序有关组合组合 C -不牵涉到顺序的问题不牵涉到顺序的问题排列分顺序排列分顺序,组合不分组合不分例如例如 把把 5 本不同的书分给本不同的书分给 3 个人个人,有几种分法有几种分法. “排列排列“把把 5 5 本书分给本书分给 3 3 个人个人, ,有几种分法有几种分法 “ “组合组合“ “1排列及计算公式排列及计算公式 从从 n 个不同元素中，任取个不同元素中，任取 m(mn)个元素按照一定的顺序排成个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从一列，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个

2、排列；从个元素的一个排列；从 n个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定规定 0!=1). 2组合及计算公式组合及计算公式 从从 n 个不同元素中，任取个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取个不同元素中取出出

3、 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中个不同元素中取出取出 m 个元素的组合数个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3其他排列与组合公式其他排列与组合公式 从从 n 个元素中取出个元素中取出 r 个元素的循环排列数个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成个元素被分成 k 类，每类的个数分别是类，每类的个数分别是 n1,n2,.nk 这这 n 个元个元素的全排列数为素的全排列数为 n!/(n1!*

4、n2!*.*nk!). k 类元素类元素,每类的个数无限每类的个数无限,从中取出从中取出 m 个元素的组合数为个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（排列（Pnm(n 为下标，为下标，m 为上标为上标)） Pnm=n（n-1）.（n-m+1）；）；Pnm=n！/（n-m）！（注：）！（注：！是阶乘符号）；！是阶乘符号）；Pnn（两个（两个 n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n！；！；0！=1；Pn1（n 为下标为下标 1 为上标）为上标）=n 组合（组合（Cnm(n 为下标，为下标，m 为上标为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（！（n-m）！；）！；Cnn

5、（两个（两个 n分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n 为下标为下标 1 为上标）为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-082008-07-08 13:3013:30公式公式 P P 是指排列，从是指排列，从 N N 个元素取个元素取 R R 个进行排列。个进行排列。公式公式 C C 是指组合，从是指组合，从 N N 个元素取个元素取 R R 个，不进行排列。个，不进行排列。N-N-元素的总个数元素的总个数 R R 参与选择的元素个数参与选择的元素个数 ！- -阶乘阶乘 ，如，如 9 9！9*8*7*6*5*4*3*2*19*8*7*6*5*4*3*2*1从从 N

6、 N 倒数倒数 r r 个，表达式应该为个，表达式应该为 n*n*（n-1)*(n-2).(n-r+1);n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从因为从 n n 到（到（n-r+1)n-r+1)个数为个数为 n n（n-r+1)n-r+1)r r举例：举例：Q1:Q1: 有从有从 1 1 到到 9 9 共计共计 9 9 个号码球，请问，可以组成多少个三个号码球，请问，可以组成多少个三位数？位数？A1:A1: 123123 和和 213213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于求的，既属于“排列排列 P”P”计算范畴。计算范畴。上问题中，任何

7、一个号码只能用一次，显然不会出现上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997988,997 之类的组合，之类的组合， 我们可以这么看，百位数有我们可以这么看，百位数有 9 9 种可能，种可能，十位数则应该有十位数则应该有 9-19-1 种可能，个位数则应该只有种可能，个位数则应该只有 9-1-19-1-1 种可能，种可能，最终共有最终共有 9*8*79*8*7 个三位数。计算公式个三位数。计算公式P P（3 3，9)9)9*8*7,(9*8*7,(从从 9 9倒数倒数 3 3 个的乘积）个的乘积）Q2:Q2: 有从有从 1 1 到到 9 9 共计共计 9 9 个号码球，请问，如

8、果三个一组，代个号码球，请问，如果三个一组，代表表“三国联盟三国联盟”，可以组合成多少个，可以组合成多少个“三国联盟三国联盟”？A2:A2: 213213 组合和组合和 312312 组合，代表同一个组合，只要有三个组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合组合 C”C”计算范计算范畴。畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型

9、例题分析排列、组合的概念和公式典型例题分析 例例 1 1 设有设有 3 3 名学生和名学生和 4 4 个课外小组（个课外小组（1 1）每名学生都）每名学生都 只参加一个课外小组；（只参加一个课外小组；（2 2）每名学生都只参加一个课外小组，）每名学生都只参加一个课外小组， 而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？ 解（解（1 1）由于每名学生都可以参加）由于每名学生都可以参加 4 4 个课外小组中的任何个课外小组中的任何 一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法种不同方法 （2

10、2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个 小组至多有一名学生参加，因此共有小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法种不同方法 点评点评 由于要让由于要让 3 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用名学生逐个选择课外小组，故两问都用 乘法原理进行计算乘法原理进行计算 例例 2 2 排成一行，其中排成一行，其中 不排第一，不排第一， 不排第二，不排第二， 不排第三，不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？不排第四的不同排法共有多少种？ 解解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的中的 某一个，共

11、某一个，共 3 3 类，每一类中不同排法可采用画类，每一类中不同排法可采用画“树图树图”的方式的方式 逐一排出：逐一排出： 符合题意的不同排法共有符合题意的不同排法共有 9 9 种种 点评点评 按照分按照分“类类”的思路，本题应用了加法原理为把的思路，本题应用了加法原理为把 握不同排法的规律，握不同排法的规律，“树图树图”是一种具有直观形象的有效做法，是一种具有直观形象的有效做法， 也是解决计数问题的一种数学模型也是解决计数问题的一种数学模型 例例 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出 结果结果 （1 1）高三年级学生会有）高三年级学生会有

12、1111 人：人：每两人互通一封信，共每两人互通一封信，共 通了多少封信？通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2 2）高二年级数学课外小组共）高二年级数学课外小组共 1010 人：人：从中选一名正组从中选一名正组 长和一名副组长，共有多少种不同的选法？长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选从中选 2 2 名参加名参加 省数学竞赛，有多少种不同的选法？省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3 3）有）有 2 2，3 3，5 5，7 7，1111，1313，1717，1919 八个质数：八个质数：从中从中 任取两个数求它们的商可以有多少种不

13、同的商？任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两从中任取两 个求它的积，可以得到多少个不同的积？个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4 4）有）有 8 8 盆花：盆花：从中选出从中选出 2 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，盆分别给甲乙两人每人一盆， 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？从中选出从中选出 2 2 盆放在教室有多少种不同盆放在教室有多少种不同的选法？的选法？ 分析分析 （1 1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲 的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人由于每两人 互握

14、一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序 无关，所以是组合问题其他类似分析无关，所以是组合问题其他类似分析 （1 1）是排列问题，共用了是排列问题，共用了 封信；封信；是组合问题，共需是组合问题，共需 握手握手 （次）（次） （2 2）是排列问题，共有是排列问题，共有 （种）不同的选法；（种）不同的选法；是组合是组合 问题，共有问题，共有 种不同的选法种不同的选法 （3 3）是排列问题，共有是排列问题，共有 种不同的商；种不同的商；是组合问题，是组合问题， 共有共有 种不同的积种不同的积 （4 4）是排列问题，共有是排列问题，共有

15、 种不同的选法；种不同的选法；是组合问题，是组合问题， 共有共有 种不同的选法种不同的选法 例例 证明证明 证明证明 左式左式 右式右式 等式成立等式成立 点评点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的 形式，并利用阶乘的性质形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化，可使变形过程得以简化 例例 5 5 化简化简 解法一解法一 原式原式 解法二解法二 原式原式 点评点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以 简化简化 例例 6 6 解方程：（解方程：（1 1） ；（；（2 2） 解解 （1 1）原方程）原方程 解得解得 （2 2）原方程可变为）原方程可变为 ， ， 原方程可化为原方程可化为 即即 ，解得，解得