高数一 重点及难度

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1、高数一高数一 重点及难度重点及难度高数一 重点及难度.txt自考高数一名师与你探讨四月考试重点及难度主持人：各位网友大家好！欢迎大家光临腾讯嘉宾聊天室，四月自考迫在眉睫，很多网友都希望在最后阶段希望得到老师的点拨，所以我们腾讯网和华夏大地邀请到高等数学一的著名老师苏永美，为大家在线解答问题。请有问题的朋友，可以在聊天室聊天。我们苏老师会给大家一一做解答。苏老师您好。 苏永美：各位网友下午好，很高兴跟大家进行交流。 主持人：我们针对 4 月自考的一些情况，请您讲解一下知识点和复习方法。 苏永美：同学们好，各位网友好，我相信同学们现在已经把高等数学（一）学的差不多了，4 月份的考试马上要开始了，在

2、这儿之前有机会和大家一起交流一下，怎么样来复习这门考试。在交流考试之前，我们简单把教材说一下。可能有的考生已经考过了几次，也知道现在已经用了新教材。新教材上把以前有的无穷级数判别法，把无穷幂级数去掉了，只留下了可非模变量的方程，这样我们复习起来就简单一下了。下面我们把考试复习这一块简单说一下。有很多网友会问，整个高等数学（一）重点在哪里，其实从高等数学（一）这个名字上也可以清楚，高等数学（一）也叫做微积分，重点就是微分和积分，我们说微分和积分，就是函数的微分和积分，所以我们在复习的时候要抓重点，也要兼顾各个知识点。重点是微分、积分、函数，所以我们一开始就要把函数搞清楚。微分和积分是在连续函数的

3、基础上，所以我们要把连续函数的定义、性质、连续函数的求极限的性质搞清楚。整个高等数学（一）考察重点有一部分的内容就是极限的求法，可以联系函数和运算，当把整个高等数学（一）学完之后，后面的知识也可以拿过来帮助我们求极限，求极限包括数列极限和函数极限，我在串讲当中把这些求极限都总结出来了，并且有一些例题，如果大家有机会的话可以看一下串讲部分的内容。下面我们再来看一下微分和积分。微分、积分，包括一元函数微分、积分，也包括多元函数微分、积分。这里面一元函数重点，我们首先回顾一下一元函数的微分学，首先我们要知道它的定义，然后要学会计算，再就是它的应用。定义当中，包括导数的定义和微分的定义，我们要搞清楚导

4、数的定义，然后通过导数定义解决一些实际问题，这是考试当中经常考察我们的一部分内容。在导数定义知道之后，我们要学会怎样来求导数，要求导数，前提就是我们要把常数和另外五大类的基本初等函数的求导公式搞清楚，就是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，把这五大类基本初等函数，求导公式记下来之后，我们再掌握四则运算求导法则和复合函数求导法则以及隐函数的求导法则。求导过程当中，大家要注意密致函数求导，我们可以采用对数求导，这是很好的方法。学会了求导之后，求微分就是公式转变一下。下面还有导数、微分的应用，导数可以研究函数的性态，另一方面我们可以利用导数研究经济，所有的研究基础就是微分定理，我们把这

5、个微分定理条件、调整搞清楚。在这两个定理基础上，我们研究导数的应用，导数在函数性态方面的应用，我们可以研究函数的单调性、安普性、极值和最值。这是研究函数性态方面的应用。这里面有一个求最值的问题，这个最值问题经常会和实际问题联系起来。这个实际问题往往要把目标函数求出来，有同学反应，目标函数是很难列出来的，实际上目标函数列出来的时候要注意，他问你什么，要你求哪个量的最大值、最小值，那么这个量就是我们要建立的目标函数。关于目标函数也是考试当中在后面出的一道最大应用题。这是导数在研究函数性态方面的应用。 除此之外，导数还帮助我们在经济学当中应用，包括弹性函数、遍及函数。包关于弹性函数和遍及函数不会有很

6、难得题，但有一些概念题。同时导数还有一个非常大的应用，就是洛比达法则，帮助我们来求函数的极限。我在前面串讲当中求函数极限的方法里面给同学们总结了，有机会一定要去看一下。这是导数和微分的内容，各个知识点我们简单回顾一下，同学们自己回去针对各个知识点一定要各个击破，这是重点。微分学是一个重点。 另外，函数的积分学。我们还是先说一元函数的积分学，我们要学会计算，包括不定积分计算、定积分计算，还有积分的应用。这是两大块的内容。在不定积分计算当中，同学们要特别注意，它的方法看起来好像非常多，没法掌握，但是我们理顺一下，会发现不定积分计算也是有规律可循的，不定积分其实就是求倍极函数的元函数，就是求导的逆运

7、算。我们前面学完导数之后，就是求不定积分的过程。我们要注意是求所有元函数加常数。既然求不定积分是求导的逆运算，我们有一个基本公式的表，我们还有一个基本的积分表，利用这个基本的积分表，就可以把倍极函数的元函数算出来。在此基础上，我们还可以利用加减运算，把很多个函数的积分转化成个别函数积分，这就叫做加减运算法，这也是在间接地使用基本积分表。同时还有不定积分换元法，一种是第一换元法，还有一种第二换元法。第一换元法，我们也成为凑微分法，其实就是复合函数的求导，怎么来凑出来呢？前提是一定对复合函数求导脑子要比较清楚，当然凑微分法也有它的一些规律。我们在串讲当中以及精讲当中都有这个规律，如果同学们头脑当中

8、掌握不了这些规律的话，再抓时间回去好好复习一下这块内容。这是第一换元法。还有一种方法，叫做第二换原法，有同学反应第二换原法不是特别好掌握，其实第二换原法，比较固定，我们掌握起来也不是很难，主要是掌握一种三角代换还有根式代换。同时还有分数积分法，就是把原来不好算的积分转化成好算的积分。不定积分就是这样几种方法，或者通过不定积分，或者通过换原等等。同时我们还有定积分的计算。就是采用一个基本的公式，我们叫做微积分的基本公式，实际就是我们把原函数算出来，然后把积分上下限算进去，怎样把原函数算出来呢，前面不定积分我们已经会原函数了，根据这个算出来。不定积分采用的方法都可以移植到定积分上面来，不同的是定积

9、分有上下限，我们使用的时候就是把上下限换过来。同时还有一个变相线函数，这一块可以在求极限当中体现出来。同时定积分还有一个应用，我们可以计算平面图形的面积和一个旋转体的体积，这些都是有公式，也同学反应这方面可能不是很好做，其实平面图形的面积，要看清楚平面图形的时候，一般情况下我们可以分成在X 等于 A 或者是等于 B 之间的两条曲线包一块图形，这个时候我们就可以选择以 X 做积分变量做积分。如果用 Y 等于 C，Y 等于 D，包的一个平面图形，我们就可以以 Y 自己积分变量，如果这样讲大家不清楚的话，在串讲当中我画了很好的图，大家可以看一下。 同时我们还有求旋转体的体积，我们的公式是一个平面图形

10、绕着一个直线旋转，你要搞清楚是什么图形转出来的，你会计算一种了，其他就会做了。所以要抓住重点，遇到稍微不同的我们也可以灵活地应对了。刚才我们讲了一元函数的微分和积分，也是高等数学（一）的重点。我们知道一元函数的微分、积分之后，我们还可以学习多元函数的微分和积分。在多元函数里面，同学们要注意，对多元函数，我们要求它的偏导数、全微分，实际上只要会求这些，也就差不多了。怎么来求偏导数呢？一元函数的导数会求了，求多元函数偏导数，就是对其他函数当做一个常数，然后来求导。我们把各个偏导数算出来就是全微分，把偏导数计算和全微分计算的公式记住就可以了。同时还有一个二重积分的计算，对同学们来说，可能是一个难点，

11、因为是在一个平面图形上来计算，在平面图形上计算二重积分，就牵扯到怎么表示这个图形，这比表示一个区间要难一点了。这个时候我们需要对平面图形进行分类，可以分成 X 型、Y 型，教材上没有专门点出来，X 型的区域就是用 X，用上下线是常数的线来表示 X 的范围，Y 的范围用 X 的函数来表示。这叫做 X 型区域。Y型区域，就是用常数上下线表示 Y 的范围，X 的范围用 Y 的函数来表示。把区域表示出来之后，我们就可以把二重积分转化成关于 X或者是 Y 的二次定积分。我这样说同学们可能一下子反应不过来，我在串讲当中举了很好的例题，同一道例题，我们既可以看成 X 型的，也可以看成 Y 型的，所以一道题用

12、两种方法来计算，可能对同学们理解二重积分很有帮助。关于多元函数微分学，同学们掌握偏导数计算、全微分计算、二重积分的计算就应该差不多了。 这样我们把高等数学（一）重点内容，包括微分和积分，分一元函数和多元函数两种情况复习了一下，希望同学们回去再做做题。这些是重点部分，当然我们在复习的时候，除了重点其他各个地方还有知识点，我们也要兼顾到。希望每个知识点，我们都不要把分漏掉。其他知识点方面，还有函数，这也是很重要的概念，所以同学们要对函数的特性，包括单调性、奇偶性，以及地域性都要搞清楚。同时还有复合函数的形式怎么来做，也需要搞清楚。另外，还有微分方程，只剩下可分离变相的微分方程，还有一线微分方程（音

13、）了，所以拿过来就可以想，就是这两种，所以非常好判断，因此在复习的时候，只要把这两种方程的类型、方法掌握住了，就可以套这些方法。 通过我刚才的介绍，也就相当于我把整个高等数学（一）的知识点给同学们回顾了一下。在这个基础上，同学们再去复习。当然离考试的时间不多了，如果我们在回去把书看一遍，可能时间上有点来不及了，如果你现在已经把整个精讲内容学习完了，那么在考前，我们要重点地进行总结，把知识点总结出来，然后系统地做一下题，有时间的话，最好题一下串讲。串讲内容我是根据整个高等数学（一）的内容，把它分成各个部分，包括基础部分、积分部分、微分部分，以及微分和积分的应用，分条列了出来，把例题也分别举了出来

14、。串讲的东西，如果搞清楚了，在考前再做一些模拟题，包括以往各年的考题，这样子你熟悉了题型，进入了一种状态，当你真正进入考场的时候，可能延续平时考试的状态，就能考出很好的成绩。我就简单回顾到这里。 主持人：非常感谢苏老师的精彩讲解。大家如果还想了解苏老师关于高等数学（一）的一些讲解，可以随时关注腾讯教育频道和华夏大地网在 3 月 26 号到 4 月 5 号这段时间，会推出一个高等数学（一）的免费串讲课程，大家可以过去听。同时还有大学语文和法基，登陆腾讯教育网就可以查看相关信息。 网友：高等数学（一）这门课非常的难，过这门课程非常不容易，怎样学习积分这一章呢？ 主持人：其实这个内容，刚才也有涉及到

15、。 网友：历年高等数学（一）的考试难度怎么样？ 苏永美：同学们可以看一下历年的考题，其实它的难度是适中的，也是相当的，基本题目总是要占到 75%的样子，所以考试的时候，包括复习的时候，抓基本是我们复习的重点。当然在学习教材的时候，会发现教材上有些例题难度比较大，教材课题也有一些难度比较大，有余力的话可以做这些题，没有余力就抓基本，我们搞清楚了基本，再做一些有难度的，也许我们也会做出来，主要还是抓基本。 网友：证明的是不等式，这类题一般都会用到什么方法呢？ 苏永美：这个问题比较典型。我们高等数学（一）当中，会经常让你来证明不等式，证明不等式，对我们来说首选的方法就是利用函数的单调性。我们把不等式

16、两边移到一边去，那么就把不等式变成大于 0 或者小于 0 的形式，我们移到一边的函数求导，同时跟函数的端点比较一下，端点值大于 0 小于 0 或者是等于 0，就可以求出来了，就是把不等式移到一边去，转化函数，利用函数的单调性来求它。这个内容我在串讲当中也有涉及，希望同学们看一下。 网友：求极限有哪些主要的方法？ 苏永美：这个问题非常好。其实在高等数学（一）当中，求极限是非常重要的一部分内容，也是经常考察大家的一个重要知识点。关于求极限，我们高等数学（一）求下来之后，我们发现有很多方法。首先可以利用连续函数求极限，还可以利用四则运算求极限，第一章当中还有两个重点极限，也可以利用这个。同时还有等价无穷小，可以利用等价无穷小的代换，同时还有洛比达法则。这些都是比较重要的方法。具体方法怎么使用，我在这里条件有限，没有办法给大家演示了，在串讲当中，每一种方法我都给大家举了一些重要例题，包括重要极限怎样使用，变形是什么样的，等价无穷小怎样使用，等价无穷小是什么样的，包括罗比达法则，这也是可以求导的，结合起罗比达法则求极限。还是希望大家看串讲，我花了很大心思来给同学们准备例题。 网友：在最后的一