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1、关注发展 关注过程-一道几何题教学案例分析江北区江花小学 邵陈标此文发表于此文发表于 2000 年年小学数学教师小学数学教师第第 9 期期在大力提倡培养学生创新意识与实践能力的今天，数学教学如何走出一题一例，简单模仿的误区？下面一个教学片断或许能给我们提供一些有益的启示。这是一堂圆的面积的练习课。一位教师出示下题：在一块直径为 4 分米的圆形铁片中，剪下一个最大的正方形，四周的废料面积是多少平方分米？师：同学们，这是个实际问题，你可以先怎么办？(学生大都认为先画个图)那么，请你想办法画出一个示意图。学生拿圆规在纸上先画了个圆，怎样画一个最大的正方形呢？不少学生脸上现出困惑的神情，也有部分学生尝
2、试着画画改改。不一会儿，有几位学生举起了手。生 1：我是这样画的，我觉得圆的直径应该是正方形的对角线，这样画出来的正方形才是最大的。 （教师投影出示学生画的图）生 2：我先画了两条互相垂直的直径，再把圆上的四个点连起来就成了。生 3：我觉得要使画出来的正方形最大，正方形的 4 个顶点应在圆上，并且相邻两点间距离要相等。至于为什么，我说不明白。大部分学生点头赞同。师：说得有道理。这三位同学画出来的确实是这个圆内最大的正方形。至于为什么，到中学再去研究。那么，四周废料的面积该怎么求？（师投影出示阴影部分，如图 1）学生独立思考后，小组讨论交流，各抒己见， （图 1）气氛热烈，组织汇报。 4生 4：
3、求阴影部分面积，应该用圆的面积减去正方形的面积。要求正方形面积，应该先知道它的边长，但是边长不知道，所以面积无法求。生 5：正方形面积虽然不能直接求出来，但既然一条直径把正方形分成了两个相等的三角形，我们只要求出三角形面积就可以了。三角形的底是 4 分米，高呢？我又画了一条高。 （如图 2）这条高就是圆的半径。所以圆面积3.14（42）212.56（平方分米）， 正方形面积24228（平方分米）， （图 2） 4阴影部分面积=12.5684.56(平方分米)。生 6：我们组把正方形分成 4 个小三角形。 （如图 3）小三角形的底和高都是 2 分米，所以阴影部分面积是 3.14222224=4.
4、56(平方分米)。生 7：我根据前一位同学的方法，发现只要先求出一个阴影部分面积就可以了，列式：（3.14224222）44.56（平方分米）。生 8：我用半圆的面积减去一个三角形面积再乘以 2，列式：（3.14222242）24.56（平方分米） 4师：同学们真会动脑筋，想出了这么多办法。这几 （图 3）种解法有什么共同的地方呢？学生又以小组为单位展开讨论。有的说，一般情况下求正方形面积都要先知道边长，但这题没有告诉边长，就要换个角度去思考；有的说，我们发现正方形面积不好直接求，把它转化为求三角形面积就容易了；还有的说，这几种解法都是用大的部分减去小的部分。师：你还能发现这个最大的正方形和圆
5、有什么关系呢？（学生沉默了一会儿，纷纷举手）。有的说，这个正方形把圆分成了 4 块相等的阴影部分，真奇妙；有的说，圆的直径正好是大三角形的底，半径是三角形的高；有的说圆和正方形可以对折后完全重合，是对称图形，很好看；有一学生说：我发现正方形面积是圆面积的教师对此大为赞赏：你的发现很有创造性！又有一学生补充说：阴影部分面积是圆面积的36.3%。师追问：如果把圆的直径改为 10 分米，5 分米，还有这样的关系吗？学生动手计算验证，纷纷举手说：仍是 63.7% %7 .631571002 214. 32242以上教学过程，学生学得积极主动，时时闪烁着创新思维的火花。反思整个教学过程，笔者认为数学教学
6、要关注学生的发展，关注学生的学习过程，才能改变“模仿数学” ，才能充分发挥习题的潜在功能，实现数学教学的最大价值。1.1.数学教育首先应该关注学生的发展。数学教育首先应该关注学生的发展。国家数学课程标准 （征求意见稿）提出：“作为教育内容的数学，有着自身的特点与规律，它的基本出发点是促进学生的发展。 ”因此，新课程标准在目标体系中首先列出的是发展性领域的目标（包括对数学的认识、情感体验、思维能力、解决问题四个部分） ，首先关注的是每一个学生在情感态度、思维能力等多方面的进步和发展。在上述教学过程中，教师创造了一个有利于学生生动活泼、主动发展的教育环境，提供给学生充分发展的时间和空间。我们不难看
7、到，教师只提出几个大问题，引导学生进行探索性的活动。如：开始提出：你能不能想个办法画个示意图？最后问：这个正方形与圆有什么关系？在这里，教师成为学生学习的组织者、引导者、合作者，而并非是知识的灌输者，学生真正成为数学学习的主人，成为课堂教学的主体。示意图是学生自己尝试画出来的，解题思路是学生自主探索出来的，解题规律由学生发现、总结出来的。学生在此过程中，不仅仅是学会了解题，而且更大程度上通过尝试画图、合理猜测、独立思考、与人合作讨论交流和比较探索等，在思维能力、空间观念、兴趣与动机、自信与意志、态度和习惯等方面获得充分的发展，实现了数学教学的最大功能。经常进行这样的训练，就能为学生未来终身可持
8、续发展奠定良好的基础。2.2.数学教育必须关注学生学习数学的过程。数学教育必须关注学生学习数学的过程。新课程标准的一个显著特点是提出了过程性目标，用“经历” “体验” “探索”等词加以描述。 “数学是人们在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用的过程，这一过程充满着探索与创造。观察、实验、模拟、猜测、矫正和调控等等，如今已经成为人们发展数学、应用数学的重要策略。 ”因此，作为现代数学教学应致力于弥补传统教学的不足，关注学生已有的生活经验和知识背景，关注学生的自主探索和合作交流，关注学生数学情感和情绪体验，使学生投入到丰富多彩、充满活力的数学学习过程中去，
9、使数学学习具有价值，富于意义。反思传统的数学教学，就题论题，搞大量的题海战术，被动应付考试，很少对学生学习的情感、态度及个体差异的关注，这样学生的创新精神和实践能力何以得到培养？而在上述教学片断中，我们可以发现，教师十分关注学生的学习过程，让学生进行数学的“再创造” ，体现出问题解决的一般过程。首先创设问题情境：怎样在直径 4 分米的圆内画一个最大的正方形？这一操作性的问题情境，激起学生对知识的探求欲望。学生独立尝试、比较，凭借直觉的探索，找到各自的画法：有的认为在圆上找等分的四点连接，有的认为画出两条互相垂直的直径，有的直觉到直径是正方形的对角线。通过学生的猜测、尝试等实践活动，自己构建了解
10、决实际问题的数学模型，从而为解题找到了明确的方向，把实际问题数学化了。至于为什么画出的正方形为最大，在小学阶段不需要学生严格的证明，只要能猜测出来就行了。在此基础上，根据每个学生不同的生活现实和知识能力背景，放手让学生进行独立思考，自主探索，合作学习，怎样求阴影部分的面积？因为学生的独立思考，自主探索，合作交流应该是学习数学的重要方式。也正是在学生共同经历了寻找解决问题的突破口，探索不同解法，交流解题经验的相互碰撞中获得了数学活动失败的教训和成功的体验，从而增强数学学习的动机，磨炼克服困难的意志，建立起学习自信心。然后，教师又不失时机地引导学生反思自己的思维过程，比较不同解法的共同特点。反思能
11、力是建构主义学习的一个核心特征，这意味着学习者必须从事自我监控、自我测试、自我检查等活动，以诊断和判断他们在学习中所追求的是否是自己设置的目标。通过反思，让学生把解题的思维过程上升到一定的高度，形成一定的认知策略，学到数学思想方法，从而提高元认知能力。教学并未就此停止，教师让学生进一步观察，你还能发现最大正方形与圆有什么关系？这一开放性的问题再次激起学生探索的欲望，不同层次的学生会有不同的发现。显然，学生从各自的视角表达对此图形的感受，有的为两者之间有如此奇妙的关系而惊讶，有的为发现两个对称而又统一的图形而赞叹，有的为发现它们之间的内在联系而满足。教师又为学生的发现而赞美，使学生在更大程度上获得情感的愉悦和审美的体验。教师的最后追问更高层次激起学生内心新的不平衡，学生乐此不疲地去探究其中新的奥妙。在这样教学过程中，数学不再是抽象、枯燥的课本知识，而是充满魅力和灵性，与现实生活息息相关的活动，数学教学给学生带来的不是知识的灌输， “题海”大战之后的厌倦，而是讨论、钻研和发现之余的喜悦和无穷的求知欲。
