斐波那契与黄金分割

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1、斐波那契 比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175 年-1250 年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写 数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。目 录1 人物背景1. 1.1 家庭 2. 1.2 学习 3. 1.3 成就2 数列3 质数4 重要作品1 人物背景家庭列奥纳多的父亲 Guilielmo（威廉），外号 Bonacci（意即好、自然或简单）。因 此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即 filius Bonacci，Bonacci 之子）。 威廉是商人，在北非一带工

2、作（今阿尔及利亚 Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经 开始协助父亲工作。于是他就学会了阿拉伯数字。学习有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，列奥纳多前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数 学家学习，约于 1200 年回国。1202 年，27 岁的他将其所学写进计算之书（Liber Abaci）。 这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价 值。这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不 流行。（例子：1482 年，Ptolemaeus 世界地图 ，Lienhart Holle 在 Ulm 印制）成就列奥纳多曾成为热爱数学和

3、科学的腓特烈二世 (神圣罗马帝国）的坐上客。 欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到 12 世纪才有复苏的迹象。这种复苏 开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。对希腊与东方古典数学成就的发掘、探 讨，最终导致了文艺复兴时期（1516 世纪）欧洲数学的高涨。文艺复兴的前哨意大利， 由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。意大利学者早在 1213 世纪就 开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐 波那契（约 11751240），其拉丁文代表著作算经、几何实践等也是根据阿拉伯 文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Le

4、onardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成算经 （Liber Abac1202，亦译作算盘书）。算经最大的功绩是系统介绍印度记数法， 影响并改变了欧洲数学的面貌。现传算经是 1228 年的修订版，其中还引进了著名的 “斐波那契数列”。几何实践（Practica Geometriae， 1220）则着重叙述希腊几何 与三角术。斐波那契其他数学著作还有平方数书 VLiberQuadratorum， 1225）、花朵 （Flos， 1225）等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克（Frederick）二 世宫廷数学竞赛问题，其中

5、包含一个三次方程/十 2x2 十 10x20 求解，斐波那契论证其 根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近 似解（J 一 1 36880810785）。微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后 欧洲近代数学的兴起。微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中 国和印度人的著作。在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。 在这个酝酿时期对微积分有直接贡献的先驱者包括开普勒、卡瓦列里、费马、笛卡）U、沃 利斯和巴罗（1Barrow，16301677）等一大批数学家。2 数列斐波那契在算盘书中提出了一个有趣的兔子问题

6、： 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。 如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔总数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对； 依次类推可以列出下表：经过月数0123456 7 8 9 1011 12幼仔对数1011235 8 13213455 89成兔对数0112358 1321345589 144总体对数1123581321345589144233表中数字 1，1，2，3，5，8构成了一个

7、序列。这个数列有关十分明显的特点，那是： 前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在算盘书中提出的，这个级数的通项公式， 除了具有 an+2=an+an+1 的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/5 （1/2+5/2） n-（1/2-5/2）n(n=1,2,3.）（5 表示根号 5）这个通项公式中虽然所有的 an 都是正整数，可是它们却是由一 些无理数表示出来的。 即在较高的序列，两个连续的“斐波纳契数”的序列相互分割 将接近黄金比例（1.618:1 或 1:0.618）。 例如：233/144，987/610、 斐波那契数列还有两个有趣的性质 斐波那契数列中

8、任一项的平方数都等于 兔子问题跟它相邻的前后两项的乘积加 1 或减 1; 任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两边两数之积（外积）相差 1. 同样我们还可以有 t 阶斐波那契数列，通过递推数列 a(n+t)=a(n+t-1）+a(n+t-2） +.+a(n），其中 a=a=1，以及对于 3-t=n=0，有 a(n)=0. 给出了 t 阶斐波那契数列的通项公式： r(n-1）（r-1）/(t+1）r-2t)，其中 r 是方程 xt+1-2xt+1=0 的唯一一个大于 1 的 正数根（可以看出 r 非常接近 2）3 质数斐波那契质数由斐波那契序列中的质数组成，是整数质数序列. 第一组质

9、数序列是：2,3,5,13,89,233,1597,28657,514229,433494437,2971215073,.4 重要作品Liber Abaci（算盘全书，1202 年）。 Practica Geometriae（1220 年），几何学和三角学概论 Flos（1225 年），Johannes of Palermo 提出的问题的答案 Liber quadratorum，关于丢番图方程的问题 on Diophantine problems,that is,problems involving Diophantine equations. Di minor guisa（关于商业运算；己佚

10、） 几何原本第十卷的注释（已佚） 华罗庚的优选法优选法,是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法。例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。 实际工作中的优选问题 ，即最优化问

11、题，大体上有两类：一类是求函数的极值；另一类是求泛函的极值。如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）；如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。 优选法是尽可能少做试验，尽快地找到生产和科研的最优方案的方法,优选法的应用在我国从 70 年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用,优选法也叫最优化方法。黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大 部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为 10.618 或 0.61

12、81，即长 段为全段的 0.618。0.618 被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的 美感的比例，因此被称为黄金分割。概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值 是（5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美 丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以 0.618 来 近似，通过简单的计算就可以发现： 10.6181.618 或 （1-0.618）0.6180.618 或 11+0.6180.6185 或开平方根之后减一的差除以二 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、

13、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工 程设计等方面也有着不可忽视的作用。在我们生活中比比皆是。2 历史毕达哥拉斯由于公元前 5 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代 数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。1：0.618 就是黄金分割。 这是一个伟大的发现！ 公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 他认为所谓黄金分割，指的是把长为 L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比， 等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，.第

14、二位起相邻两数之比，即 2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,.的 近似值。 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金 法“，17 世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法“。这种算法在 印度称之为“三率法“或“三数法则“，也就是我们常说的比例方法。 公元前 300 年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系 统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利将中末比为神圣比例，并专 门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 其实有关“黄

15、金分割“，中国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是中国古代数学家独立 创造的，后来传入了印度。经考证，欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入 欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 到 19 世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际 应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或 0.618 法，是由美国数学家基 弗 于 1953 年首先提出的，70 年代由华罗庚提倡在中国推广。 黄金比例1.618：1 其性质是与它的倒数比值正好相差 1。3 起源关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走 在街上，在经过铁匠铺前他听

16、到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打 铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来，被应用在很多领 域。后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”。在金字 塔建成 1000 年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在。只是不知这个谜底。4 详细内容无限不循环小数a，ba:b=(a+b):a 通常用希腊字母 表示这个值。 确切值为（5-1）/2(x2+x-1=0 的一个根） 黄金分割数前面的 32 位为：0.6180339887 4989484820 458683436565黄金分割三角形正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成 与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用 5 个而不是 4 个与其本身全 等的三角形来生成与其本身相