高等数学(ⅰ)

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1、高等数学高等数学()()最具挑战性的挑战莫过于提升自我。迈克尔斯特利 高 等 数 学（）Higher Mathematics课程编号： 10021001学时： 192 学分： 12课程性质： 必修 选课对象： 全校所有工科专业内容概要： 本课程主要包含微积分、空间解析几何和常微分程三个部分，介绍一元及多元微积分等方面的基本概念、基本理论、基本方法和基本应用，培养学生的数学基本能力以及综合运用所学知识解决实际问题的能力。建议选用教材：高等数学 （上、下册）合肥工业大学数学教研室编，安徽科技出版社。主要参考书：高等数学 （第四版） （上、下册）同济大学数学教室编，高等教育出版社。高等数学 （）教学

2、大纲学时 192，学分 12教学大纲说明一、 课程的目的和任务高等数学课程是高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的.通过本课程的学习，要求学生获得：1. 一元函数微积分学2. 向量代数和空间解析几何3. 多元函数微积分学4. 无穷级数（包括傅里叶级数）5. 常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间抽象能力以及自学能力，特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题以及创新能力.二、 课程的基本要求课程各部分内容的要求、重点及说明本

3、门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次：A：牢固掌握、熟练使用，其中，概念、理论用“理解“一词表达；方法、运算用“掌握“一词表达.B：教学要求上低于前者，其中概念、理论用“了解“一词表达；方法、运算用“会“或“了解“表达.（一） 函数、极限、连续1. 理解函数的概念2. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性3. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念4. 掌握基本初等的性质及其图形5. 会建立简单实际问题中的函数关系式6. 理解极限的概念（对极限的-，-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求或不作过高要求.）7. 掌握极限的四则运算准则8. 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准

4、则） ，会用两个重要极限求极限.9. 了解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限.10. 理解函数在一点连续的概念11. 了解间断点的概念，并会判别间断点的类型12. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）重点：函数概念，极限概念，极限的四则运算法则，函数的连续性难点：复合函数，极限的定义，建立实际问题中的函数关系式.（二） 一元函数微分学1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可等性与连续性之间的关系.2. 会用导数描述一些物理量3. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数，了解微分的四则运

5、算法则和一阶微分形式不变性.4. 了解高阶导数概念5. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法6. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数.7. 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理8. 了解柯西（Canchy）定理和泰勒（Talyor）定理9. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐近线） ，会求简单的最大和最小值的应用问题.11. 会用洛必塔（LHospital）法则求不定式的极限12. 了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径.13

6、. 了解求方程近似解的二分法和切线法重点：1. 导数、微分概念，导数的几何意义，初等函数，导数求法（一阶及二阶）2. 罗尔定理，拉格朗日定理，洛必塔法则，用导数判断函数的单调性及极值难点：1. 复合函数、隐函数、参数方程求导，最大值、最小值应用.2. 拉格朗日定理，泰勒定理.（三） 一元函数积分学1. 理解不定积分和定积分的概念及性质2. 掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法.3. 会求简单的有理函数的积分4. 理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）-莱不尼茨（Leibniz）公式.5. 了解广义积分的概念6. 了解定积分的近似计算法（梯形

7、法和抛物线法）7. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法最具挑战性的挑战莫过于提升自我。迈克尔斯特利 重点：不定积分，定积分概念，基本积分公式，积分换元法，分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿-莱不尼茨公式，微元法.难点：定积分概念，变上限函数及其导函数，微元法.（四） 向量代数与空间解析几何理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2. 掌握向量的运算（线性运算，点乘法，叉乘法） ，了解两向量垂直、平行的条件.掌握单位向量，方向余弦，向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法.3. 掌握平面的方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问

8、题.4. 理解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转 5. 曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.6. 了解空间曲线的参数方程和一般方程7. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影重点：向量代数，空间直线方程，平面的方程，曲面方程概念.（五） 多元函数微分学1 理解多元函数的概念2. 了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件.4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法5. 掌握复合函数的一、二阶偏导数的求法6. 会求隐函数（包括两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数7. 了解曲线的

9、切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程.8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，会求多元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值应用问题.重点：偏导数与全微分的概念，多元函数概念，偏导数的计算，多元函数的极值和条件极值（拉 格朗日乘数法）.难点：复合函数、隐函数的一、二阶偏导数求解.（六） 多元函数积分学1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质.2. 掌握二重积分的计算方法直角坐标、极坐标） ，了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）.3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.会计算两类

10、 n 曲线积分4. 掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件.5. 了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，并会计算两类曲面积分.6. 了解散度、旋度的概念及其度计算方法. 会用重积分，曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、 质量、重心、转动惯量、引力、功等）.重点：两类曲线积分的概念及计算，二重积分的计算方法，格林公式.难点：第二类曲线，曲面积分，高斯公式.（七） 无穷级数1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件.2. 掌握几何级数和 P-级数的收敛性3. 了解正项级数

11、的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法.4. 了解交错级数的莱不尼茨定理，会估计交错级数的截断误差.5. 了解无穷级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系.6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7. 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法.8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质.9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10. 会利用,和的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函 数间接展开成幂级数.11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用.12. 了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在（,）和（,）上的函

12、数展开为傅里叶级数，并会将在（）上函数展开为正弦或余弦级数.重点：无穷级数收敛、发散的概念，正项级数的比值判别法，幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式，函数的傅里叶级数，函数的傅里叶正弦和余弦级数.难点：正项级数的比较审敛法，用间接法展函数为泰勒级数.（八） 常微分方程1. 了解微分方程，解，通解，初始条件和特解等概念.2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法.3. 会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程.4. 会用降阶法解下列方程：,和.5. 理解二阶线性微分方程解的结构.6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，

13、并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解 法.7. 会求自由项形如：,的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题.重点：1.可分离变量及一阶线性微分方程解法.2.理解二阶线性微分方程解的结构.3.二阶常系数齐次微分方程解法.难点：建立微分方程，确定初始条件.三、 与其主课程的联系与分工本课程不但为学习大学数学的其主要课程（如线性代数，概率论与数理统计等） ，而且也为学习其它课程（如大学物理等）奠定必要的数学基础.1. 若学生不具备本课程所需的中学数学知识，应另持安排时间进行补习.2. 作为数学概念中、引例及应用中所涉及到物理力学概念（如质量、流量、振动、转动

14、惯量等） ，可根据专业需要选讲.3. 根据教学计划，各专业讲授普通物理和理论力学时间不同，需用到的常微分方程和向量代数等内容，可根据实际情况提前讲授.四、 教学形式和学时分配:章 次内 容总学时数课程讲授学时数习题时数一函数与极限18162二导数与微分16124三导数的应用18162四不定积分14104五定积分及其应用16124六向量代数与空间解析几何16142七多元函数微分学及其应用20164八重积分14122九曲线积分与曲面积分24204十无穷级数20164十一常微分方程16142合计19215834五、 本课程的性质及适应对象工科类各专业必修最具挑战性的挑战莫过于提升自我。迈克尔斯特利

15、教学大纲内容一、函数、极限、连续1. 函数：函数的定义（函数的表示，显函数与反函数，基本初等函数）及其图形，复合函数，初等函数，分段函数，双曲函数与反双曲函数，函数的特性.2. 极限：数列极限的“-“定义，数列收敛的条件（必要、充分、重要） ，函数极限的“-“定义，函数的左右极限，无穷小与无穷大的定义，无穷小的性质，无穷小 与极限的关系，同号性，极限的四则运算存在两准则和两个重要极限，无穷小比较，无穷小代换.3. 函数的连续性，连续的定义，间断点及其分类，连续运算性，连续函数的反函数连续性，连续函数的复合函数连续性，基本初等函数和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理

16、.教学提示：本章的重点要求理解函数概念、极限概念，熟练掌握求极限的一些基本方法， 同时注意函数尤其是连续函数是高等数学的研究的主要对象，因此注意培养建立实际问题中的函数关系式的能力二、 导数与微分1. 导数：导数的定义（导数作为变化率、几何、物理意义，可导性与连续之间关系） ，函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，反函数的导数，基本初等函数的导数公式，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数的导数，对数求导法，由参数方程给出的函数的导数极坐标下曲线与极径的夹角.2. 微分：微分的定义（微分与增量关系，微分几何意义） ，微分的运算法则，微分形式不变性，微分在近似计算及误差估计中的应用.教学提示：本章的