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1、第 1 页 共 8 页从近几年高考谈解几从近几年高考谈解几“范围范围”问题的求解策略问题的求解策略江苏省宜兴市丁蜀高级中学 汤文兵 黎明 邮编 214221解析几何中的“范围”问题一直是高考中的难点和热点。难在它综合性强、灵活性高，热的是它融众多知识和技巧于一体，深得命题者偏爱。据笔者不完全统计，近十年的全国高考中, 此类问题（包含最值）每年不少于 10 题，2013 年多达 19 题，更有不少省份每年以这类问题为压轴题。但教学中我们也发现有相当一部分学生因这类题目条件隐晦、变数较多、关系复杂、计算繁琐，往往感到心中无数，甚至有些不知所措，有的学生还由此产生恐惧情绪，造成解题的心理障碍。下面将
2、通过近几年相关高考题的分析来说明，解析几何中“范围”问题的求解其实也是有规可寻、有据可依的。一、构造有关量的不等式一、构造有关量的不等式, 通过解不等式求范围通过解不等式求范围解几中的范围问题很多是转化为不等式来处理的，常规思路是看到“范围” ，马上联想“不等式” ， “不等式”从何而来？其依据是什么？由此可知解题的关键是寻找“不等源” 。12013新课标全国卷新课标全国卷 已知点 A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线 yaxb(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )A(0，1) B. C . D.(122，12)(122，1313，12)解析解析 ：易得
3、ABC 面积为 1，) 1 , 0(b1）当直线 yaxb 分别交边 AB、BC 于 D、E 时，由得21BDES baxy1yx，1abay又 yaxb 与 x 轴交于，结合图形与，)0 ,(ab21)1 (121, 0ab abaa .a0，0b .故选 B.22a1 31 3a21 32、2007 全国 2 理在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切xOyO34xy（1）求圆的方程；O（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求OxAB，PPAPOPB，的取值范围PBPA 解：（1）224xy（2）不妨设由即得1212(0)(0)A xB xxx，24x ( 2 0)(2 0)AB
4、，设，由成等比数列，得()P xy，PAPOPB，即222222(2)(2)xyxyxyg222xy) 1(24),2)(,2(PA222yyxyxyxPB由于点在圆内，故 由此得PO222242.xyxy，21y 所以的取值范围为PBPA 2 0) ，点评：点评：按常规思路求得的表达式后需知的范围， “圆内的动点”就成了“不PBPAyP等源” 。3、2009 全国卷理 如图，已知抛物线2:E yx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个 点。（I）求r得取值范围；解：解：（I）将抛物线2:E yx与圆222:(4)(0)Mxyrr的方程联立，消去2y，整理得227160xx
5、r （）由题意，方程（）有两个不相等的正根即可.第 3 页 共 8 页故易得15(,4)2r. 016070)16(472 212122rxxxxr点评：点评：本题通过联立方程得一新的一元二次方程，由对称性知抛物线与圆相交于四个点等价于该方程有两个不等正根，故两不等正根就是本题的“不等源” 。二、构造有关量的函数式二、构造有关量的函数式, 转化为求函数的值域转化为求函数的值域相当一部分的解几范围问题是转化为求函数的值域，目标函数的得出是关键。4、2011 上海文上海文已知椭圆（常数） ，是曲线上的动点，是曲线2 2 2:1xCym1m PCM上的右顶点，定点的坐标为CA(2,0)（1）若与重合
6、，求曲线的焦点坐标；MAC（2）若，求的最大值与最小值；3m PA（3）若的最小值为，求实数的取值范围.PAMAm解： ，椭圆方程为，2m 2 214xy4 13c 左、右焦点坐标为。(3,0),( 3,0) ，椭圆方程为，设，则3m 2 219xy( , )P x y2 22222891|(2)(2)1()( 33)9942xPAxyxxx 时； 时。9 4x min2|2PA3x max|5PA 设动点，则( , )P x y2222 22222 222124|(2)(2)1()5()11xmmmPAxyxxmxmmmmm ，又当时，取最小值， ，1m 2210m mxm|PAMA222
7、1mmm解得。112m 点评：点评：本题的（2） 、 （3）两小题都是用距离公式建立的PA目标函数，再用配方求最值来处理。5、2011 浙江理浙江理如图，P 是抛物线 C：y=21x2上一点，直线 l（第 21 题图）第 4 页 共 8 页过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q，若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求| | SQST SPST的取值范围.解：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，依题意 x10，y10，y20.设直线 l:y=kx+b，依题意 k0，b0，则 T(0，b).分别过 P、Q 作 PPx 轴，QQy 轴，垂足分别为 P、Q，则|
8、| SQST SPST | | | |21yb yb QQOT PPOT. 由 消去 x，得 y22(k2+b)y+b2=0. bkxyx221y则 y1+y2=2(k2+b)， y1y2=b2. 方法一： | | SQST SPST|b|(2111 yy)2|b|211 yy=2|b|21 b=2.y1、y2可取一切不相等的正数，| | SQST SPST的取值范围是（2，+）. 方法二：| | SQST SPST=|b|2121 yyyy =|b|22)(2 bbk .当 b0 时，| | SQST SPST=b22)(2 bbk =bbk)(22=bk22+22；当 b0，于是 k2+2
9、b0，即 k22b.所以| | SQST SPSTbbb )2(2=2.当 b0 时，bk22可取一切正数，| | SQST SPST的取值范围是（2，+）. 方法三：由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP，第 5 页 共 8 页即22 xby =11 xby .则 x1y2bx1=x2y1bx2，即 b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是 b=122 212 1221 21xxxxxx =21x1x2.| | SQST SPST=| |21yb yb=1|21|21xx +1|21|21xx =|12 xx+|21 xx2.|12 xx可取一切不等于 1 的正数，| | SQST S
10、PST的取值范围是（2，+）. 点评：点评：本题首先用相似三角形性质将转化为，方法一直接利用基SPSTSQST)11(21yyb本不等式显得简捷明了，相比之下方法二和方法三则繁了不少。解题时如何选择合适的方法，这取决于各人的领悟和喜好，但多做、多练多订正，纠时反思、错中悟理是必须的，解题能力的形成就是在失败中总结、在挫折中提高的过程。6、2007 辽宁理已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，OAB22yxO设圆是的内接圆（点为圆心）COABC（I）求圆的方程；C（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作M22(47cos )(7cos )1xyMP圆的两条切线，切点为，求的最大值
11、和最小值CPEPF，EF，CFCE解：（I）圆的方程为 （过程略）C22(4)16xy（II）设，则2ECFa=CFCECE16cos322cos162cos2CF在中，由圆的几何性质得RtPCE4cos|x PCPC，| | 17PCMC 18 | | 17 16PCMC 所以，由此可得12cos23916CE8CF则的最大值为，最小值为CFCE16 98第 6 页 共 8 页点评：点评：考虑到 CE=CF=4，用数量积的定义将转化为是比较自然CFCE16cos322的，波及到圆上动点引入辅助角也是常规之举三、根据几何直观建立不等关系三、根据几何直观建立不等关系解几问题本质是一个几何问题，只
12、不过处理问题的手段不同罢了。因此将解析几何中的“范围”问题回归到几何中借助图形直观，采用数形结合是一种积极的思维方法。对于圆、椭圆、双曲线、抛物线等它们的自身都包含了一些不等关系。如椭圆的长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长；它们的离心率都有一定的范围；对于椭圆、抛物线，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。另外，圆锥曲线上的点的横坐标或纵坐标是有界的，因而也可以根据它的有界性建立不等关系。72007 江西已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，1F2F0MF21MFM则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D(0,1)1(0, 22(0,)22,1)
13、2解：由已知，以 F1F2为直径的圆在椭圆内部，故，从而，bc 2222cabc，即，故选 C。2122 2ace22e 点评：点评：这里充分利用了圆和椭圆的几何特征，由知点 M 在以 F1F2为直径0MF21MF的圆上，总在椭圆内部表明圆半径小于椭圆上的点到原点的最小值：即。Mbc 8、2009 重庆卷理已知以4T 为周期的函数21,( 1,1( )12 ,(1,3mxxf xxx ，其中0m 。若方程3 ( )f xx恰有 5 个实数解，则m的取值范围为（ ） A15 8(, )33B15(, 7)3C4 8( , )3 3D4( , 7)3【解析】因为当( 1,1x 时，将函数化为方程2
14、 2 21(0)yxym，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3x得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3xy 与第二个椭圆第 7 页 共 8 页2 2 2(4)1(0)yxym相交，而与第三个半椭圆2 2 2(4)1(0)yxym无公共点时，方程恰有 5 个实数解，将3xy 代入2 2 2(4)1(0)yxym得2222(91)721350,mxm xm令229(0)(1)8150tm ttxtxt则由2215(8 )4 15 (1)0,15,915,03tt ttmmm 得由且得同样由3xy 与第二个椭圆2 2 2(8)1(0)yxym由0 可计算得7m 综上知15(, 7)3m点评：点评：本题看似分段函数题，实质是解几问题。利用图形直观，一目了然。9、2010 江苏卷江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆上有且仅有四个点到直422 yx线 12x-5y+c
