一个数学家的辩白

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1、1一个数学家的辩白（上）一个数学家的辩白（上）假如真的能把我的雕像塑在伦敦纪念碑上的话，我是希望这座碑高耸入云，以 至人们见不到雕像呢，还是希望纪念碑矮得可以使人们对雕像一目了然呢？我 会选择前一种，而斯诺博士可能会选择后一种。 序 言 我感谢 CD布劳德(Broad)教授和 CP斯诺博士对我提出的许多宝贵的批 评。他们读过我的初稿。我已将他们提出的所有建议的内容实质差不多都写入 了我的书中，同时删除了许多生硬晦涩的词语。 但 是有一种情况我是以不同的方式处理的，那就是28。这一章节是在我的一 篇短文的基础上撰写的。那篇短论文是在年初我投稿到我发现了(此杂志是 由剑桥 阿基米德协会主办的学术刊

2、物)的。对这篇不久前我曾以非常认真的态 度写出的东西加以修改，我的确感到为难。再说，假如真要我设法接受这些批 评(即严肃地看 待这些重要的评论)，那我就只得将这章节大大扩展，直至完全 破坏这篇论文，使其面目全非。鉴于此，我就没改动它，而是把批评家对我论 文所作的评论的要点之 简述以脚注的形式加在文章最后。 GH哈代 1940 年 7 月 l8 日 1 如果一个数学家发现自己在写关于数学的东西，他会感到很忧伤的。因为数学 家的工作是做实事，比如证明新定理，使数学有所发展，而不是谈论自己或别 的数学家干了些什么。 政治家蔑视时事评论家；画家蔑视艺术评论家；生理学家、物理学家或数学家 一般都有类似的

3、感觉。做事者对评论者的蔑视是最深刻的，总的来看也是最合 理的。解释、评论、鉴赏是次等工作。 我曾与豪斯曼(Housman)有过几次认真的交谈，我能记得其中有一次我们争论过 上述看法。豪斯曼在他所作的题为诗歌的名与实的报告中，曾非常坚决 地 否定他是个批评家。而在我看来，他的这种否定方式是异常偏执的。在报告中， 他还表达了对文学批评的赞赏态度。这些都令我大惑不解。 在此报告的开头，他引用了 22 年前在一次演讲中的一段话： 我 不能说文学批评是否为上帝从他的珍宝库中拿出来赐予我们的最好礼物，但 是，好像上帝是这样认为的。因为在赠送这一礼物时，上帝的态度肯定是极为 审慎、郑重 的。与遍地丛生的草莓

4、相比，演说家和诗人是稀罕的；但与哈 雷彗星的回归相比，他们就平常得多。而文学评论家可就不那么平常了。 接着他写道：在这 22 年中，我在一些方面取得了进步，而在另一些方面退步了。 但是，我的进步还没使我达到成为一名文学评论家的程度，而我的退步也没有 使我幻想自己已经成了一名文学评论家。 我 曾认为，一位伟大学者和高雅诗人写出这些话来未免可悲。过了几个星期， 我在餐厅见他就在我身旁时，便大胆地跟他说了自己的想法。我问他，他的意 思是否真的 希望人们非常认真地对待他说的话。我还问他，在他看来评论家与 学者及诗人的生活是否可以相提并论。整个晚餐时间我们都在争论这些问题。2我认为最终他还是赞 成了我的

5、看法。看来对这样一个不再反驳我的人，我没必 要宣扬我所获得的胜辩。但是最后，他对第一个问题的回答是“也许不完全是” ，而对第二个问题的回答则 是“大概不是”。 对豪斯曼的感觉或许尚有令人怀疑之处，而且我也并不希望宣称他是站在我这 边了。然而作为科学家的感觉是毋庸置 疑的，我有着完全一致的感觉。假如那 时我发现自己正在写的不是数学，而是“有关”数学的什么东西，那就是在声 明弱点，为此我理所当然地会受到更年轻、更富 有朝气的数学家的蔑视。现在 我写书来谈论“关于”数学的问题，是因为我也和其他的年过六十岁的数学家 一样，不再有新思想，也不再有精力和耐心来继续有效地 进行自己的专业工作。2 我建议对数

6、学进行辩解。也许有人会跟我说这根本没必要，因为，不论原因如 何，目前还没有哪一种学科被公认为比数学更有用、更值得称颂的。这或许是 真实的。实际上，由于有了爱因斯坦的惊人成就，星体天文学与原子物理学可 能已成为 普遍高度评价的科学。数学家现在不必认为自己在自卫，因为他不会 遭到像布拉德雷(Bradley)在他的值得钦佩的形而? 学辩护词中所描绘的那种对抗的处境，那次卓有成效的捍卫使一部介绍形而上 学的书现象与实在(Appearence Reality)得以完成。 布 拉德雷说，有人会对一个形而上学家说，形而上学知识整体而言是不可能的； 即使在某种程度上是可能的，实际上它也决不是名副其实的知识。形

7、而上学家 还会听人 说：“同样的问题，同样的争论，同样的彻底失败。为什么还不放弃 这种知识？难道再也没有别的事值得你付出劳动丁吗？”没有人会愚蠢到用同 样语言讨论数学问 题。数学的大部分真理都是显而易见的；数学的实际运用， 如在桥梁、蒸汽机和发电机等正冲击着人们迟钝的想象。没有必要说服公众让 他们相信数学是有用的。 这一切都以其独特的方式让数学家感到欣慰，而真正的数学家几乎不可能对此 感到满足。任何一个真正的数学家一定会体会到，数学的真正 美名并不是基于 这些粗略的成就，数学之所以享有普遍的美名很大程度上是基于无知与混乱， 因此，仍有必要对它进行更合理的辩解。不管如何，我有意来试试。我 想这种

8、 辩解比起布拉德雷的艰难的辩白来，任务该会简单些。 接着我要问：“数学为什么值得人们进行认真的研究？一个数学家用一生 的时 间从事这些工作的充足理由是什么？”像人们希望一个数学家所回答的那样， 在多数情况下，我会这么回答：我认为数学研究值得做，而且以数学家为职业 的理 由是充分的。但是同时我也要说：我对数学的辩护也是为我自己辩护。我 的辩解在一定程度上是利己的。因为假如我真的把自己看作是一名失败的数学 家，我就不认 为对自己所研究的学科进行辩解是件值得做的事了。 在辩护中带着某种程度的利己主义的态度是难免的，我想，对这一点是用不着 辩解 的。我认为“谦卑”的人做不出优秀的工作。比方说，在任何一

9、个学科里， 教授的首要职责之一就是对自己这一学科的重要性以及自己本人在这一学科的 重要性进行 一点夸大。假如一个人总在问自己：“我所做的事是值得做的吗？ ”以及“我做这个合适吗？”这都会使自己永远无能而且也让别人泄气。这种 人该把眼睛闭上一会 儿，更多地考虑自己的学科和自己本人的情况，而不是更 多地考虑学科与自己所应得的报酬。这不太困难，因为更加困难的是依靠紧闭 眼睛来使自己的学科与自己本 人不受他人所嘲笑。 33 一个人在开始为自己的生活和活动的合理性进行辩解时，必须要认清两个问题。第一是他所做的工作是否值得做；第二则是他为什么要做这一工作，而并不在 乎其价值。第一个问题常常很难且答案让人失

10、望。而大多数人会觉得回答第二 个问题却 是十分容易的。如果这些人是诚实的话，他们通常会采取两种形式中 的一种。第二种形式仅仅是第一种形式的更简略的变形。而第一种形式是我们 需要考虑的惟一形 式。 我之所以做我的事，因为这事是，而且是惟一的一件我完全可以做好的事。我 是个律师，或者是一个股票经纪人，或者是一个职 业板球手，这都是因为我对 这一特别的工作有些真正的才能。我做律师，是因为我伶牙俐齿，而且对法律 之微妙感兴趣；我做股票经纪人，是因为我对股市行情的判 断迅速而准确；我 做职业板球手，是因为我挥拍非同一般地好。有人说，我做个诗人或数学家也 许更好，但不幸的是，我并没有才能做这样的工作。 我

11、 并不认为大多数人能够做出上述那样的辩解，因为多数人什么工作也做不好。 可是只要这种辩解说得振振有词，它就很难反驳，事实上只有少数人能进行这 样的辩 解：也许只有 5或 10的人可做得不错。而只有极少数人可做得真 正好。而能做好两件事的人只有寥寥无几的了。假如一个人有真正的才能，他 就应该乐于牺牲几乎所有的一切，以 充分发挥自己的才能。 约翰逊(Johnson)博士赞成这一观点，他说：当我告诉他，我看过约翰逊(与他 同名的人)骑在三匹马上，他说：“先生，这样的人应得到鼓励，因为他的表演 显示了人类的能力限度” 同 样地，他会赞扬登山者，海 泅渡者，闭目下棋者。至于我的?法，我也是将 这些能力统

12、统视为非常不一般的成绩。我甚至还称道魔术家和口技者；当阿廖 欣(Alekhine)和布拉德曼 (Bradman)在决定破记录时，假如他们失败了，我会 极为失望的。在这种情况下，约翰逊博士同我与公众的感觉是一样的。正像 WJ特纳 (Turner)曾说过的一句实话那样：只有那些自以为“博学”的人 (令人产生不悦之感之称谓)，才不去赞扬“真正的名家”。 当 然我们不能不考虑到以上两种工作之间价值上的不同。我宁愿做一个小说家 或画家，而不愿成为政治家或诸如此类的人物。事实上，尽管有很多成名之路， 但我们大 部分人会因其甚为有害而宁可拒绝走这样的路。但是这种价值的不同， 很少会改变一个人的择业范围，因为

13、这种职业的选择是受着人们生就的能力限 度的制约的。诗 集比板球更有价值，但假如布拉德曼放弃板球去写二流小诗 (我想，他不大可能会写得更好)的话，他一定是个傻瓜。假如他的板球打得并 不那么超众，而诗歌却还 写得好些，那么对他来说选择就更加困难了。我不知 道自己是成为特朗普尔(Trumper)还是布鲁克(Brooke)。值得庆幸的是像这 种左右为难的 情况很少出现。 我还想补充说一点，他们特别不可能指望自己成为数学家。人们常常过分夸大 数学家与其他人的思维过程的不同。但不 容否认的是，对一个数学家来说，他 的天赋是他诸多特殊才能中的一方面。数学家们作为一个阶层，并不因一般的 能力和多才多艺 而格外

14、超群出众。假如一个人成为任何意义上的真正的数学家， 那么，可以说他的数学百分之九十九会比他能做的任何其他事都好得多。而假 如他为了做其他领域的 普通工作，而放弃了任何一次发挥自己才能的适宜的机 会，那么他就是愚蠢的。这样的牺牲，只有在经济需要或年龄条件变化的情况 下才是情有可原的。 44 在这里，我最好还是谈谈年龄问题，这是因为对数学家来说，年龄问题格外重 要。数学家们都不应该忘记这一点：比起其他技艺或科学，数学更是年轻人的 工作。举一个相对低微阶层的例子来作个浅显的说明：皇家学会的人选者的平 均年龄以数学家为最小。 当然，我们还会找到比这更有力的实例。比如，我们可以考察作为世界最著名 的三大

15、数学家之一的牛顿的经历。牛顿是在 50 岁时放弃数学的。其实，在这 之前很久他就已经对数学失去了热情。40 岁时，他已毫不怀疑地认识到他的富 有创新精神的时期已经过去了。他所有的最伟大的 思想，包括流数术和万有引 力原理是他在 1666 年建立的学说，而当时他只有 24 岁。正如他曾叙述的： “在那些日子里，我处于富有创造力的最初期，那时比以 后的任何时期都更加 一心一意地把数学和哲学挂在心上。”在 40 岁以前他有过不少重大发现(“椭 圆形天体运行轨道”就是他在 37 岁时发现的)。而其后，他再没有作出过什么 发现，而只是对原有的论文做些润色工作，使 之完美化而已。 伽罗瓦 21 岁去世，阿

16、贝尔 27 岁去世，拉曼纽扬 33 岁去世，黎曼 40 岁去世。 也有些人确实是在较晚时取得伟大成 就的，高斯就是在 55 岁时才发表了他的 微分几何学的重要论文(但在十年前他就已经形成了他的基本思想)。我还不知 道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半 百的人创始的。假如一个年长的人 对数学不感兴趣而放弃了它，这种损失不论对数学本身还是他本人来说，都不 十分严重。 另一方面， 如果这样的人不放弃数学，那么所获得的利益也并不可能更富有实 质性的意义。有关一些数学家放弃数学以后的情况记录都不特别令人欣慰。牛 顿成了一个能干的造 币厂主 (这时他没与任何人吵架)。班乐卫(Painleve)是 个不成功的法国总理。拉普拉斯(Laplace)的政治生涯却是极不光彩的，他的情 况几乎算不上 是一个合适的实例，因为他在政治生涯中的坏名声不是他的无能， 而是因为他不诚实所造成的，而且他也向来没真正地“放弃”数学。的确很难 找到一例事实来说明 一个放弃了数学研究的一流的数学家却又在别的什么学科