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1、圆锥曲线的统一性zhaoqingmu椭圆、双曲线和抛物线都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称 为圆锥曲线。以圆锥曲线的统一性为题从以下几个方面作了研究。 一、方程形式的统一： 在几何上，椭圆、抛物线和双曲线是外形极不相似的三种曲线，很难看出它们之间有 什么内在的联系。可是从代数上说，它们的方程有统一的形式： 在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程来表示)0, 0(02222CABFEyDxCyBxyAx当时，它表示椭圆；02 ACB当时，它表示抛物线02 ACB当时，它表示双曲线。02 ACB代数式值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变；而这些曲线在代数上ACB
2、2的区别只在于方程系数的正负正负号！这一结论在天体物理方面是有具体应用的：ACB 2 当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线； 当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆； 当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支。 另外，圆锥曲线还可用二次曲线：表示。)0, 0(02)1 (2222epppxyxe在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：cos1eep 当时，该方程表示椭圆；10 e 当时，该方程表示抛物线；1e 当时，该方程表示双曲线。1e 利用该方程往往可使本来复杂的问题变简单。 （参看第二部分的“性质 2” ）二、轨迹的统一：从点的集合或轨迹
3、的观点看，圆锥曲线都是与定点和定直线距离的比是常数的点的e 集合或轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率取植范围e 的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。三、性质的统一： 由于方程形式上的统一，圆锥曲线必然会有性质上的统一，即具有相似的性质。以下就其中的一小部分作些初步的探讨（以椭圆和双曲线为主）：性质性质 1 斜率为 kL的直线 L 交椭圆于 A、B 两点，线段) 0( 12222 babyaxAB 中点 P，则 kLkOP= .22ab斜率为 kL的直线 L 交双曲线于 A、B 两点，线段) 0,( 12222 babyaxAB 中点 P，则 kLkOP= .
4、22ab证明：（以椭圆为例）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在曲线上，则有12222 byax122 1 22 1byax122 2 22 2byax两式相减，得：022 22 1 22 22 1byyaxx2221212121 )()( ab xxxxyyyy又 2121 xxyykLQ2121 xxyykOPkLkOP= 证毕22ab性质 2 直线 L 交圆锥曲线于 A、B 两点，且直线 L 过焦点 F，则epBFAF211（为圆锥曲线的焦点到其对应准线的距离）.p证明：设圆锥曲线极坐标方程为cos1eep 则有),(),(21BAcos11eep cos1)cos(12eep e
5、ep epepee2)cos1 ()cos1 (1121 即 证毕epBFAF211性质 3 直线 L 交椭圆或双曲线于) 0( 12222 babyax) 0,( 12222 babyaxA、B 两点，且，则原点 O 到直线 L 的距离90AOB 22baabd 证明：（以椭圆为例）90AOB设)2sin(),2cos(),sin,cos(2211BA则 1sincos222 1 222 1ba22222 1sincos1 ba 1cossin)2(sin)2(cos222 2 222 2 222 2222 2 baba 22222 2cossin1 ba 222 22 11111 ba由三
6、角形面积公式可得：证毕. 22222 22 12 22 121 111111baabbad 性质 4 过椭圆长轴或双曲线实轴的端) 0( 12222 babyax) 0,( 12222 babyax点的切线，与椭圆或双曲线上任一点的切线交于两点，则21, AA21,PP2 2211bAPAP证明：（以椭圆为例）设椭圆上任一点)sin,cos(baP则过 P 点的切线的方程为：1sincos22ybbxaa即（*）0sincosabyaxb过的切线的方程： ，21, AAaxax,),(11yaP ),(22yaP代入方程（*）后可知： sincos1111byAP sincos1222byAP
7、 证毕.2 2211bAPAP性质性质 5 点是椭圆或双曲线),(yxP) 0( 12222 babyax上除去左顶点和右顶点外任一) 0,( 12222 babyax )0 ,( aA )0 ,(aB点，直线 PA 和 PB 的斜率分别为 k1 、k2，则12 21ekk证明：（以椭圆为例） axyk1axyk2 证毕.1)(2 2222222222222221eaca ab axaxabaxykk性质性质 6 点是椭圆或双曲线),(11yxP) 0( 12222 babyax上任一点，直线 L 是经过点 P 的切线，d 是坐) 0,( 12222 babyax标原点 O 到直线 L 的距离，r1,r2是点 P 到左、右焦点 F1和 F2的距离，则222 21badrr证明：（以椭圆为例）直线 L 的方程为：则121 21ybyxax2 12 22 122222 122 2 22 14422 142 144442 1 42 12 )(1xaaxbbaaxabaaxbba yaxbbaby axd 2 122222 222 1222 2222 122)(xeabaaacxbaaaabxba 2 122 1121)(xeaexaexarr 证毕222 21badrr
