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1、善观察巧旋转善观察巧旋转 妙解题妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行 有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时 无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的 突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。 一. 通过旋转，解答角度问题例 1. 如图 1，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10。求APB 的度数。图 1 解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。 将PAC 绕点 A 逆时针旋转 60后，
2、得到FAB，连接 PF（如图 2） ，则 BF=PC=10，FA=PA=6，FAP=60。FAP 是等边三角形，FP=PA=6。在PBF 中，222222BF1068PFPBBPF=90 APB=APF+FPB=60+90=150图 2二. 通过旋转，计算线段长度问题例 2. 如图 3，P 是正ABC 内一点，PA=2，32PB ，PC=4，求 BC 的长。图 3 解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。 将BPA 绕点 B 逆时针旋转 60，则 BA 与 BC 重合（如图 4） ，BP=BM，PA=MC， 连接 MP。则MBP 是正三角形，即2MC, 4PC
3、, 32MP，由222222PC42)32(MCMP，故CMP=90，因为PC21MC ， 所以MPC=30， 又因为MPB=60， 故CPB=90，得72PCPBBC22图 4例 3. 如图 5，在梯形 ABCD 中，AD/BC（BCAD） ，D=90， BC=CD=12，ABE=45，若 AE=10。求 CE 的长度。图 5 解析：经观察，把BCE 绕点 B 顺时针旋转 90，可构成一个正方形，然后通过三 角形全等，找出边之间的关系。 延长 OA，把BCE 绕点 B 顺时针旋转 90，与 DA 的延长线分别交于点 G，点 M（如图 6） ，易知四边形 BCDG 为正方形。BC=BG 又=C
4、BE=GBMRtBECRtBMG BM=BE，ABE=ABM=45 ABEABM AM=AE=10 设 CE=x，则x12DE, x2)x10(12AD, x10AG。在 RtADE 中，222DEADAE，即222)x12()2x(10024x10x26x, 4x21所以 CE 的长为 4 或 6。图 6三. 通过旋转，巧算面积问题例 4. 如图 7，正方形 ABCD 中，3AB，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且 BAE=30，DAF=15，求AEF 的面积。图 7 解析：由于该题中含 15，30等特殊角度，通过旋转ADF，可构作出 45角，构 造三角形全等，通过等积变形而获解。 将A
5、DF 绕 A 点顺时针旋转 90到ABG 的位置（如图 8） ， 由旋转性质可知：AG=AF，BAG=FAD=15， 故GAE=15+30=45。EAF=9045)3015(GAE=FAE 又AE=AEAEGAEF（SAS） EF=EG，AEF=AEG=60在 RtABE 中，3AB，BAE=30，则 BE=1，在 RtEFC 中，FEC=60)6060(180，13BEBCEC) 13(2EC2EF即) 13(2EFEG333) 13(221ABEG21SAEG33SSAEGAEF图 8例 5. 如图 9，A、B、C、D 是圆周上的四个点， BDACCDAB。且弦 AB=8，弦 CD=4，则
6、图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）图 9 解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用整体思维可简易求得。由于 BDACCDAB，知 CDAB长等于圆的周长的一半，将弓形 CmD 绕圆心 旋转，使点 D 与点 B 重合（如图 10） ，则 ABC恰好为半圆弧，此时 AC 为圆 O 的直径，从而ABC=90，由勾股定理可求得54AC，4 .154821)52(14. 321SSS2 ABCRt半圆阴影故其面积和为 15.4。图 10四. 通过分割、旋转、拼接平行四边形例 6. 如图 11，已知四边形纸片 ABCD，现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四 边形
7、纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_（用“能”或“不能” 填空） ，若填“能” ，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能” ，请简要说明理 由。图 11 解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的， 简答如下： 能，如图 12，取四边形 ABCD 各边的中点 E、G、F、H，连接 EF、GH，则 EF、GH 为裁剪线，EF、GH 将四边形 ABCD 分成 1、2、3、4 四个部分，拼接时，图中的 1 不动， 将 2、4 分别绕点 H、F 各旋转 180，3 平移，拼成的四边形满足条件（如图 13） 。图 12图 13五. 通过旋转巧证三点一直线例
8、 7. 已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 PA、PB、PC。 （1）将PAB 绕 B 点顺时针旋转 90到CB P的位置（如图 14） 设 AB 的长为 a，PB 的长为 b（ba） 。求PAB 旋转到CB P的过程中边 PA 所扫 过区域（图 14 中阴影部分）的面积。 若 PA=2，PB=4，APB=135，求 PC 的长。图 14（2）如图 15，若222PB2PCPA，请说明点 P 必在对角线 AC 上。 解析：要说明点 P 必在对角线 AC 上（即点 A、点 P、点 C 三点成一直线）关键是弄 懂第（1）小题的问题，实质第（1）小题的解答过程为第（2）问埋下伏笔，让学
9、生从中受 到启发，运用类比方法就易解答该题，简答如下：（1）)ba (4S22阴影图 15 如图 16，连接PP，将PAB 绕 B 点顺时针旋转 90到CB P的位置，则 BPBP 。AP=CP，APB=CBP，PBP为等腰直角三角形，32PB2PP22，90CPP。 PC=6图 16 （2）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到CB P的位置（如图 17）则CPAP,BPBP，APB=CBP，连接PP，则22PB2PP。222222222PPC PPCPB2C PPCPB2PCPAQ180CBPBPC90PCP180BPCAPB 即点 P 必在对角线 AC 上。图 17六. 通过旋转探求线段
10、之间的关系例 8. 如图 18，E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一点，AF 平分EAD 交 CD 于点 F。求 证：AE=BE+DF。图 18 解析：解此题的关键是如何把分散的三条线段集中到一个三角形中，经观察可通过旋 转三角形达到目的。 将ADF 绕点 B 顺时针旋转 90到ABG（如图 19） ，由旋转性质可知：ADFABG。 则 DF=BG，BE+DF=BE+GB=GE G=AFD=90FAD GAE=GAFEAF=90EAF 又AF 平分EADFAD=EAF GAEG 在AGE 中，AE=GEAE=BE+DF图 19例 9. 操作：如图 20，ABC 是正三角形，BDC 是顶角
11、BDC=120的等腰三角形， 以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN。图 20 探究：线段 BM、MN、NC 之间的关系，并加以证明。 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的思路，请你把探索过程中的 某种思路写出来（要求至少三步） ； （2）在你经历说明（1）的过程中，可以从下列中选出一个补充或更换已知条件， 完成你的证明：AN=NC（如图 21） ；DM/AC（如图 22）图 21图 22 附加题：若点 M、N 分别是射线 AB、CA 上的点，其它条件不变，再探线段 BM、MN、NC 之间的关系，在图 22 中画出图形，并说明理由。图 23 解析：解此题的关键是如何将 MN、BN、CN 三条线段集中起来，根据题设条件，通 过旋转，再借助三角形全等进行证明。 把BDM 绕点 D 顺时针旋转 120得到CDM。 （如图 24） ，由旋转性质可知DBMDCM，则 BM=CM，DM=DM，BDC=120MDM。 MDN=60 6060120MDNMDMNDM。DN=DN MDNDNM（SAS）BMNCCMNCNMMN图 24 附加题：MNBMCN把DMB 绕点 D 顺时针旋转 120得到CDM。 （如图 25） ，证明思路可仿照上述小 题，具体过程同学们自己补充完整。图 25
