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1、- 1 -2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一 、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则|320AxRx|(1)(3)0BxRxxAB I（A） （B） （C） （D）(, 1) 2( 1,)3 2(,3)3(3,)2.在复平面内，复数对应的点的坐标为10 3i i（A） （B） （C） （D）(1,3)(3,1)( 1,
2、3)(3, 1)3.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐02, 02x y DD标原点的距离大于 2 的概率是（A） （B） 42 2（C） （D）64 44.执行如图所示的程序框图，输出的值为S（A）2（B）4（C）8（D）165.函数的零点个数为1 21( )( )2xf xx（A）0 （B）1 （C）2 （D）3- 2 -6.已知为等比数列，下面结论中正确的是na（A） （B）1322aaa222 1322aaa（C）若，则 （D）若，则13aa12aa31aa42aa7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A） （B）286 5306 5（C） （D）
3、56 12 560 12 58.某棵果树前年的总产量与之间的关系nnSn如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产m量最高，的值为m（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9.直线被圆截得的弦长为_。yx22(2)4xy10.已知为等差数列，为其前项和，若，则_， nanSn11 2a 23Sa2a _。nS - 3 -11.在中，若，则的大小为_。ABC3a 3b 3AC12.已知函数，若，则_。( )lgf xx()1f ab 22()()f af b13.已知正方形的边长为 ，点是边上的动点，则的值为_
4、；ABCD1EABDE CBuuu r uu u r的最大值为_。DE DCuuu r uuu r14.已知，。若，或，则( )(2 )(3)f xm xm xm( )22xg x xR ( )0f x ( )0g x 的取值范围是_。m三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题共 13 分）已知函数。(sincos )sin2( )sinxxxf xx（）求的定义域及最小正周期；( )f x（）求的单调递减区间。( )f x16.（本小题共 14 分）如图 1，在中，分别Rt ABC90Co,D E为的中点，点为线段上的一点，将,AC ABF
5、CD沿折起到的位置，使，ADEDE1ADE1AFCD如图 2。（）求证：平面；/DE1ACB（）求证：；1AFBE（）线段上是否存在点，使平面？说明理由。1ABQ1AC DEQ17.（本小题共 13 分）图 2图 1FEBEDCB CDA1AF- 4 -近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估
6、计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误的概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，。当数据的方差最大时，写出的值, ,a b c0a 600abc, ,a b c2s, ,a b c（结论不要求证明） ，并求此时的值。2s（注：，其中为数据的平均数）2222 121()()() nsxxxxxxnx12,nx xx18.（本小题共 13 分）已知函数，。2( )1(0)f xaxa3( )g xxbx（）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；( )yf x( )yg x(1, )c, a b（）当时，若函数在区间上的
7、最大值为，求的取值3,9ab ( )( )f xg x ,2k28k范围。19.(本小题共 14 分)- 5 -已知椭圆的一个顶点为，离心率为， 直线2222:1(0)xyCabab(2,0)A2 2与椭圆交于不同的两点。(1)yk xC,M N（）求椭圆的方程C（）当的面积为时，求的值。AMN10 3k20.（本小题共 13 分）设是如下形式的 2 行 3 列的数表，Aabcdef满足性质，且。: , , , , , 1,1P a b c d e f 0abcdef 记为的第 行各数之和，为第列各数之和；记( )ir AAi(1,2)i ( )jcAj(1,2,3)j 为，中的最小值。( )k A1| ( )|r A2|( )|r A1|( )|c A2|( )|cA3|( )|c A（）对如下数表，求的值A( )k A110.80.10.31（）设数表形如A111 2d dd1其中。求的最大值；10d ( )k A（）对所有满足性质的 2 行 3 列的数表，求的最大值PA( )k A- 9 - 2 - 2 -
