拓扑斯理论的时空观

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1、拓扑斯理论的时空观拓扑斯理论的时空观拓扑斯理论的时空观生命宇宙奥秘那甜美的果实等待着你去探寻和品尝哥德尔：人永远要对电子计算机说最后一句话，但问题在于，这说最后一句话的人究竟是聪明的善人呢，还是愚昧的恶人呢？物理定律来源于人们对简单性与和谐性的追求，而物理定律的应用却是对复杂性的追求。正像下围棋那样，只有黑白两色棋子和少数几条规则，却可以弈出千变万化的对局。大多数物理学家认为物理定律日臻完善，而人类却已进入复杂性研究的黄金时代。然而，反潮流的拓扑斯理论却出现在这样的时代，它的与观察者有关的逻辑，即“为工作着的宇宙学家而存在的逻辑” ，引起了对现有时空观的深刻质疑。 量子论和相对论分别走对了一步

2、 由于牛顿的引力论和力学，促使拉普拉斯提出下述观点：“一种智慧存在，在任一给定时刻如能知道所有的自然力和构成宇宙的所有物质的瞬间位置，而且能分析所有的有关数据，则能用公式描述世上最大物体和最微小原子的运动。对其而言，没有东西是不可确定的，历史和未来在其眼前展现。 ” 但是，在拉普拉斯时代仍然存在着许多令人不解的问题：为什么宇宙是由原子组成的？宇宙来自何方？宇宙为什么有这样的质量和形态？原子间作用力的本质是什么？为什么时空被简单地认为是存在的，而不是物理的？ 直到 19 世纪下半叶，当电磁理论补充了牛顿的工作后，情况才发生变化。人们开始设想所有自然力只是引力或电磁力的一些具体表现。1900 年，

3、物理学家开尔文勋爵在一次演讲中说：“物理学中已没有新的待发现的东西了，剩下的只是越来越精确的测量。 ”然而不久，19 世纪物理学的结构就被彻底改变了。由于放射性和电子的发现、普朗克量子假说的成功，以及爱因斯坦相对论的出现，牛顿的运动定律和他关于时空的常识性假设被抛弃了，甚至德谟克里特的原子假说也被更精确而复杂的微观世界图景所替代。原子不再被看成是不可分的、具有某个确定的位置和动量的粒子，而被描述成由满足相对论的量子力学的粒子（轻子和夸克）所构成。 到了 20 世纪，人们相信只存在强力、弱力、电磁力和引力这四种相互作用，描述这些力的数学理论也戴上了“规范”的桂冠。规范理论的结构来自于描述某种力的

4、自然定律在对称性上保持不变的特性，而对称性是由该力所支配的粒子性质所产生的。 20 世纪物理学的主要成就来自于相对论和量子理论。这两种理论都极为有用，能解释许多事情，但每一种都不完备。量子理论解释了为何原子不会顷刻瓦解，解释了观测到的物质和辐射的许多性质。在分子以及更小的尺度上，它的效应与牛顿理论的预言有着根本的差别。广义相对论是关于空间、时间和宇宙学的理论，它的预言与牛顿预言的主要不同点在于，在极大尺度上，证实广义相对论的绝大多数观测都来自天文学。然而，当面对原子以及更小尺度时，广义相对论看来是失败的。同样，量子理论似乎与构成广义相对论基础的时空描述相矛盾。因此，人们不能将这两种理论简单地并

5、在一起构造一种单一的理论，用以展示从原子到太阳系甚至整个宇宙的全部世界。 问题的关键在于：量子论在根本改变牛顿物理关于观测者与被观测者之间关系的假设时，顺从地接受了牛顿的背景时空观；在广义相对论中，时空的观念彻底变更了，但是牛顿关于观测者与被观测者之间关系的观点却保留了下来。 看来，量子论与广义相对论各自保留了另一种理论与之冲突的、来自牛顿物理的旧假设。因此，相对于旧的牛顿物理体系，相对论和量子论只是各自向前走对了一步。 “革命尚未成功，同志仍需努力。” 要完成对牛顿物理的彻底革命，必须追求一种新理论，以新的方式，将爱因斯坦引入的时空新观念与量子论关于观测者与被观测者之间关系的新观念融合起来。

6、如果这种融合是不可能的，则必须将这两种理论都摈弃，另寻新的途径。走进 21 世纪，在基础研究上已没有别的问题比这个问题更富于挑战性了。 与观察者有关的逻辑学 何谓宇宙？简而言之，其外一无所有之谓也。许多宇宙学家将这一论断称为宇宙学第一原理。由此出发，可以推断：许多问题是无法回答的。例如，无法回答宇宙中有多少掌握语言的生灵，因为没有一位处于宇宙中的观察者可以看见宇宙中的一切。虽然尚不知宇宙的确切年龄，人们已公认自大爆炸始宇宙已历经约 140 亿年，地球上的人确实不能收到来自距离地球超过 140 亿光年的任何生灵的光线。 若有人宣称宇宙中的生灵比地球上的人类多 43 倍，谁也无法证明其是对是错。然

7、而，10 亿年后的观察者将能看到宇宙的更多部分，他们能看到的宇宙是 150 亿光年，而不是现在看到的 140 亿光年。他们能看见更多的掌握语言的生灵。可供他们判断正误的陈述清单，将比可供现在判断的清单长。 许多宇宙学家认为：宇宙的尺度至少有 1000 亿光年。因此，可以考虑一个观察者，也生活在大爆炸后的 140 亿年，但在距离地球500 亿光年处。这个观察者看到的宇宙同地球上观察者看到的宇宙没有重叠，可供他作出正误判断的陈述清单也同地球上观察者的完全不同。这样，如果有一个适用于宇宙学的逻辑的话，它必须建立在命题真伪取决于观察者的基础之上。与所有观察者可决定所有陈述真伪的经典逻辑不同，这个逻辑必

8、须是与观察者有关的。 在物理研究的历史进程中，当物理学家对数学有某种新需求时，他们常常发现数学家早已发现了它。当爱因斯坦创建广义相对论，需要一种描述光线弯曲的数学工具时，黎曼早已建立了一种适当的几何；当量子论巨擘狄拉克需要一种描述点粒子的 函数时，泛函分析学家已有了后来被称作分布的理论。 现在，当宇宙学家需改变自从亚里士多德时代以来人类就习惯使用的非真即伪的逻辑学时，数学家也已准备了一种新的逻辑学。这是一种“为工作着的宇宙学家而存在的逻辑” 。这种逻辑学承认：探究世界是由世界之中的观察者进行的，他们只能通过环顾四周，从所能观测到的范围，获得这个世界的有限的或部分的信息。他们对观察结果的陈述，不

9、仅有“正确”或“错误”之分，也可贴上 “现在无法分辨是否正确，但未来或许能够知道”之类的标签。这个宇宙学家的逻辑学在本质上是与观察者有关的，因为它承认世界上的每个观察者只能看见这个世界的不同部分。 数学家们完全独立于宇宙学研究来探讨这种逻辑学，并在不同的研究阶段赋予它不同的名称。在第一种版本中，它被称为“直观逻辑” ，而在最近的更加复杂的版本中则被总括为“拓扑斯（topos）理论” 。 简单地说，拓扑斯是一种特殊的范畴理论。作为一种数学表达形式，拓扑斯理论并不简单，它可能是最难学习的知识之一；作为一门数学分支，它已有了较为广泛的研究领域，它的要旨在于描述世界的真实情形，不仅仅针对宇宙学家，还针

10、对世界上的任何事情。 在真实世界中，人们几乎总是在探究不完整的信息。人们常常会遇到真伪性无法据人们之所知来判断的陈述。在现实生活中，不同的观察者接触不同的信息，对未来所作陈述的真伪，可能受到人们对欲为之事所作选择的影响。这对整个议题有着非常深刻的涵义：为了判断人们决定的合理性，毋庸求助通晓万物的观察者，只要求不同观察者如实汇报所见就足够了。若这个法则得到遵守，当人们各自有足够的信息决定某事的正确与否时，总会做出相同的决定。拓扑斯理论试图给出关于这些法则的数学。 这样，一些哲学家试图把伦理和科学归结为一个通晓万物的先知的最终判断就错了。只须坚信观察者应该如实地交流观察所见，人们就可以理性地生活，

11、而不必相信通晓万物的精灵的存在。尽管总存在着人们无法回答的问题，却并不一定妨碍人们就如何了解这个拥有共同点的世界，达成某些方面的一致。 量子理论中的认识问题 量子理论中认识论问题的核心是物理量值和测量结果两者之间的关系。更确切地说，核心是命题“量 A 有一个值，且该值是r（其中 r 是实数） ”与命题“假如 A 的测量被建立，结果将是 r”之间的关系。 回想一下经典物理的情形，上述关系是不成问题的。在经典物理中，人们假定在任一时刻每个物理量 A 将一个实数作为它的值，并且人们能够“理想化地”测量物理量 A，即 A 能得到一个值是在测量之前便确定的。这种方式有时称作为“认识论作本体论的模型（ep

12、istemology models ontology） ” 。用数学语言说，量 A 是态空间 的实值函数。对于任何属于 的态，任一个量 A 均可被指派一个“定值” 。于是，在某个确定时刻，系统的每一个命题均可确定其真伪。 在量子论中，上述值与测量结果的关系是有问题的。这时，态空间是希尔伯特空间 H ，物理量 A 需用自伴算子?魦来表示。在1967 年，科切恩（S. Kochen）和斯佩克（E. Specker）证明了一条著名的 nogo 定理，这条定理指出，如果希尔伯特空间的维数大于2，就无法指望所有的量子理论算子能指派一个实数作为它们的值。用数学语言讲就是，希尔伯特空间的所有谱集组成一个非布

13、尔型与非分布的格，对诸如“?魦属于 ”这类命题作出真伪判断并不是一定可行的了。 伯克霍夫（G. Birkhoff）和冯诺伊曼 (J. Von Neumann）早年曾对这类“量子逻辑”问题作过广泛研究。新近，利用拓扑斯作为工具的研究，在某种意义上来讲，是一种反潮流的革命。拓扑斯虽然是非布尔型的，甚至排中律这个形式逻辑的基本规律也不一定成立，但它并不是非分布型的。 在量子引力情形下，认识论问题变得更加尖锐。许多学者认为，经典广义相对论的时空观念，诸如拓扑空间、连续流形、时空几何和微观因果性等都不能应用到量子引力。英国学者艾沙姆(C. J. Isham）指出：“人们应当怀疑量子理论应用到引力的可能性

14、问题，尽管流行的量子引力研究或多或少采用了标准的量子理论研究方式，但存在着某种先验论的危险性。时空的经典想法是不假思索地运用到量子理论中去的，这会导致范畴类型上的差错。当人们试图应用量子理论到量子引力中去时，这些概念是不适合的。 ” 没有点的时空 在传统的物理理论公式中，人们普遍采用实数。这是出于何种缘由呢？表面上看，可能存在三条理由：实数是物理量的值；时空是连续的；概率的值是实数。其实，这些似乎显而易见的理由并不成立。 传统的物理大厦依赖于物理量的值的计算，而这些计算已得到高度发展（如泛函分析和微分几何等数学分支） 。但是，传统物理理论的成功只不过证明了连续的“仪器效应”罢了。可用一个例子来

15、说明。长度是一个物理量，如果先验地认为它是连续量的话，那么其他的物理量就可以用实数模型化了。因为对一个物理量的测量，总能约化到在空间中某种类型的仪器指针的值。于是，问题就转到为什么要对时空采用实数模型？或者说，是否有一种公认的理由可以将“仪器效应”分离掉？答案是否定的，并不存在一种先验的理由说明空间是连续的。将时空非连续的可能性反映到物理理论中去，是拓扑斯理论的关键之处。 至于概率为什么应该是实数的问题更值得探讨。概率由测量序列的结果的相对频率（为有理数）决定，实数是相对频率的无限序列的极限引起的。许多学者指出，概率为实数是一种生理学事实的理想化，是一种理性的规范。有时，人们可以认为某种倾向会

16、比另一种倾向大，但是在很多情形下“倾向性”是不可比拟的，后者将导致概率函数的值域是偏序集。 连续时空观的基础是“点”的概念，在拓扑斯理论中，则以场所（locale）来取代点的概念。为此，可以先将点的概念让位于区域（region）的概念。塔斯基（Alfred Tarski）早年曾做过“保守”线路的工作，他首先提出区域概念作为第一性，点概念作为第二性的方案。塔斯基先列出了区域的公理，再由区域构造点，并使这些点具有 3 维欧几里得空间的一些熟知性质。例如，可以把点构造成区域序列的形式，每个区域含在前一个区域之中，并且它们的“宽度”趋于零。但是，利用区域取代点并不一定要采用这种“保守”的线路。非“保守”的线路是用公理定义区域，并彻底替代点的概念。事实上，任何拓扑空间均能构造一个场所，后者是一个推广的布尔代数，它们不必具有排中律，由此提供直觉逻辑的一个自然代数结构。由场所定义的区域理论不是“保守的”它推广了拓扑空间的概念，允许区域簇不组成点。 拓扑斯理论是范畴的一种特别类型。范畴由对象(object）及射(arrow）组成。一个明显的例子是群范畴，其中对象是群，射f：G