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1、- 1 -缩短教师与学生思维差异的行动研究上海市三新学校上海市三新学校 丁丁 玉玉一、问题的提出我曾任教学校初一年级两个普通教学班，数学平均分差异很大，经过调查了解，这两个班在刚进校及预初年级时数学分数基本无差异，而且每次英语、语文测试的平均分都相差无几，那何以数学差距那么大呢？对此，我产生了浓厚的兴趣。为找到原因，缩小差距，我着手进行了研究。二、我的研究1、学生访谈学生访谈两个班各抽出数学成绩各等次的学生 20 名，对他们进行调查。设计问题：1）你喜欢你的数学老师吗？如果喜欢说出喜欢的理由，不喜欢也说明原因。结果显示：甲班喜欢的为 20%，还可以的为 49%，不喜欢的为 31%。乙班喜欢的为
2、 16%，还可以的为 50%，不喜欢的为 34%。结果显示对老师的态度两个班的学生没有明显的区别2）你觉得你的数学老师敬业吗？结果显示：甲班认为老师敬业的为 89%，乙班为 85%，差异不大。3）你喜欢上数学课吗？结果甲班显示喜欢的为 59%，不喜欢的为 41%，乙班喜欢的为28%，不喜欢的为 72%。4）为了共同做好本班数学成绩的提高工作，你想给老师提点什么建议。对甲班学生的访谈资料进行罗列了，得出：老师能不能教会我们如何将知识融会贯通的能力占 67%。2、教师访谈、教师访谈针对学生的问题，我分别找了两位任课教师进行访谈，其中乙对自- 2 -NECFMBDA己班数学成绩的现状也感到非常困惑，
3、向我抱怨说“真搞不懂，是我的问题呢？还是他们有问题，有些题目我讲过好多遍了，他们也练了好多遍了，可是到最后他们还是出错。 ”他希望能得到帮助。而作为同一备课组的甲具有合作意识，也非常愿意帮助乙一起解决这个问题。这也正是我的想法，于是我们达成协议，一起参与研究。三、研究过程研究对象：研究对象：甲乙两位教师及所带的两个教学班的学生研究方法：研究方法：行动研究法研究过程研究过程1、设计题目先根据学生所学的知识出示一道题目（难易程度中等） ，要求学生能根据给定的要求完成，测试时间为 20 分钟，如图，已知在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，MNAM，交DCE 的
4、平分线 CN 于 N，求证：MA=MN；要求：1、运用所给的定理（性质）详细地写出自己的证明思路2、出证明步骤并说明理由说明：刚发完试卷之后，出现了不同的反应，似乎乙班对第一题意思不太理解，有同学提出困惑：“老师，这是什么意思？第一问和第二问不一样吗？”对于学生的疑问我未加以回答。在甲班未出现此种现象。- 3 -2、学生访谈20 分钟很快过去了，学生一做完，我连忙对学生的被试试卷进行分析，并立即找学生进行访谈。请问你是如何解出这道题目的？甲班学生回答内容概括如下：我觉得要证 MA=MN，就要利用题目中的已知条件，我观察了图形结合已知条件发现连结 AN，证明于是易证明。是等腰三角形，是不容ANM
5、我想如果能证明它们所在的两个三角形全等，那该多好啊，可是结合已知我发现图中它们所在的两个三角形不能全等，一个是钝角三角形，一个是直角三角形，那是不可能全等的，老师，你说呢？（扮个鬼脸）于是就想到构建三角形，想通过证明两三角形全等来证明线段相等，本来我想构建一个三角形与全等，因为是直角三角形嘛，于是我ABMABM过点 N 作 NF 垂直于 BE，在证明过程中比较容易找出两组角相等，但找一组边相等非常困难（而三角形全等至少需要一组边） 。老师，你不知道我在上面花了好长时间，不然的话，我可能是第一个做完的（很自信） ，于是换思路，建构一个三角形全等于，根据点 M 是 BC 的中点，MCN于是找 AB
6、 的中点，连结 FM，此辅助线方法非常有效，不仅创设了AF=MC，而且又得出，再根据同角的余角相等，即135NCMAFM，就可以利用 ASA 证明这两个三角形全等。CMNFAM接着对乙班学生进行访谈：回答：不知道。反正考虑了一下觉得只有这样才能解决问题。那你是如何写出它的思路的？我是先做再写思路的，再说我还是不太理解什么是思路，所以我觉得自己瞎写的，会做就行了，考试又不考思路的。还有啊，开始我就没看懂你的意思，一般题目第一题都是很简单的，你的题目却那么复杂。我继续问：是吗？复杂在哪里呢？回答：看不懂，都是文字，再说思路这个概念我还是不太理解的。你别说，这样会影响我正常的发挥的？看着他一本正经的
7、样子，我困惑了，是难了吗？于是我又找到了甲班的学生：请问你对第一个问题是如何理解的？- 4 -回答：就是思路了，我们老师每一次解决问题之前必做的工作，习惯了，没什么大惊小怪的。3、对试卷进行分析从“进入问题的方式” ， “推理的逻辑性” 、 “图形干扰”方面进行分析：问题进入方式推理的合理性图形干扰正确错误合理不合理有无甲班47.3%53.7%78%21%20%80%乙班12.3%87.7%42%32%56%44%从试卷中发现有很多同学要证 MA=MN，连结 AN，证明要证 MA=MN，先证 MA 与 MN 所在的两个三角形全是等腰三角形，ANM等，即，根据题目中的已知条件，全等与 MCNAB
8、M两个三角形是不可能全等的，以是钝角三角形，是直角三角形，而 MCNABM至于不能解答。要证 MA=MN，发现图中它们所在的两个三角形不能全等，于是想创设三角形全等，大多数同学过点 N 作 NF 垂直于 BE，构建，在证明过程中比较容易找出两组角相等，但找一组全等与 MFNABM边相等非常困难（而三角形全等至少需要一组边） 。于是出现两种结果：一种放弃不再继续解答下去，寻求另一条出路；一种继续证明线段CF=CM，花费了很多时间） ，究其原因是受平常一些定势思维的影响，创设三角形一般是创设一个特殊的三角形，而题目中的直角三角形正符合要求，于是毫不犹豫认定肯定创设直角三角形，能有这样的思维作这样的
9、辅助线本身就是好事，但需要看题目特征具体对待，而且拼命钻牛角尖，会浪费很多时间。4、聚焦课堂继续要求两位教师对刚才的题目在班级中进行讲解，并要求教师出示同类型的题目进行检查。甲的教学过程非常特别：首先教师并没有对题目进行讲解，而是出示了下列资料，- 5 -本题涉及的数学思想：化归思想构造思想（本题构造三角形，有创意性，但需较强的解题灵感）数形结合思想逆向思维转化思想分析与综合思想（采用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程）涉及的性质（定理）：角平分线定义三角形外角和定理全等三角形的性质正方形的性质线段中点性质同角的补角相等全等三角形的判定方法等式性质要求学生运用所给的信息，解决
10、本道题目，还要求小组形式讨论并出示本题的知识网络图：一节课学生的思维非常活跃，特别在设计知识网络图时，小组一起参与设计，调动了全体学生思维积极性。整个课堂气氛非常好。甲乙两位老师与我也不自主地参与到他们的设计中去。在老师的参与下，知识网络图形成，共用了 15 分钟。变式题由学生讨论出示，教师给予一点指导，并要求学生探索出这一类问题的求解方法。 （若证明两条线段相等而题中没有三角形全等时可以构造三角形证明三角形全等）乙采用的是讲解法： AN ABM MCN NF=BE MF=AB AMB N NF BE MNF AMBAASASA ( MCN AB F FM AFM MCN 证明MA=MN（线段
11、相等）- 6 -NECFMBDA我跟甲一起参与，乙讲解得非常到位，学生也能积极参与，教师还自己将题目的条件进行了变式。而且此变换有一定的难点，此题共用了四十五分钟。其中讲解用了 10 分钟，变式让学生进行练习用 35 分钟。变换条件：若将上述条件中“M 是 BC 的中点”改为“M 是 BC 上的任意一点” ，其余条件不变，则结论“MN=MA”还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。在这里会碰到难点：有些学生认为点 M 在运动不再是中点，那么也就不会出现，所以两个三角形是不可能全等的。135NCMAFM所以讲解到最后，学生心里又有疑惑了，真是一波未平另一波又起。教师进行提示：在
12、AB 上取点 F 使 AF=MC，则 BF=BM。那是非常简单的，本题最主要看学生能否善于从动态中图形中发现不变量。课后对教师的访谈：甲：我平常就非常注重对学生这方面的训练，喜欢讲思维方法及思路，今天我只不过想通过这种方式来检查一下学生的能力。虽然花了一节课的时间，但我觉得很有必要的。乙：看了甲老师的课，我的第一反应是深受启发，真的。说实在话，我平常喜欢抱怨学生为什么老是不能掌握知识点，从来没有，也从来不考虑他们如何想的，不瞒你说，刚看到你给学生发的试卷，第一个问题我也觉得有点困惑的，因为我们平常不讲这些的，心里也对自己进行了反思，是不是我也应该重视对学生的思维训练，最近啊一段时间的学习- 7
13、 -与观察，我发现我的想法正确了，作为老师应该不仅仅教给学生的知识，更重要的是教给他们能力，学会把自己的思维暴露给学生，我想这对我今后教学一定有帮助。甲老师上课采用的方法我也想在班中尝试了一下。不过我知道，他们不可能一下子就能接受，慢慢来吧，看来，要解决我班现存的问题，有希望了。看着乙充满希望的眼神，我跟甲都由衷地笑了。四、分析与感想1、从乙班学生对上述第一题要求 1 不太理解及会证明但不知如何书写思路过程来看，原因是教师平常不太重视自己思维的展示，不重视知识结构及知识呈现的过程，而甲班学生就不一样，从与他们的访谈及上课中可以窥视出他们的思维过程。从中可以发现数学教师暴露自己的思维过程对学生的
14、帮助很大，而这种成熟的数学思维过程(思维的方法、技巧)正是学生思维活动的楷模。2、在研究中不难发现学生与所教的教师在分析问题上呈现出一定相似性，有的几乎是一样的，两个班学生的差异在于知识还没有形成良好的网络，这在老师的帮助下是可以改变的。只要教师善于引导并能暴露自己的思维过程，学生与老师的差距会越来越小的，也就是说，学生会被培养成像甲老师那样具有一定思维结构的数学专才。我们对此很有信心。3、作为数学教师在暴露数学思维的过程中，既要暴露数学家的思维过程，又要暴露学生的思维过程，还要暴露自己的思维过程。其实包括备课、上课、答疑、批改作业、组织考试、批改试卷等等都应该把它们看成是暴露数学思维过程的重
15、要环节。另一方面，学生在学习的过程中，也必须从书本上，从教师的讲课中分析他们的思维过程并在思考、解题、阅读等活动中不断分析自己的思维过程，寻找思维中的错误，吸取思维的营养。4、在集体讨论这一环境中，学生的情绪受到相互激励，思维被激活，别人研究的终点可能是自己的起点，别人不经意的思路对自己是一个极大的启发，可以在最短的时间内完成对问题的全面考察，使产生顿悟的进程大大加快。- 8 -五、对策与建议继续对甲班教师与学生进行随堂听课，发现甲班教师善于从以下几方面加强对数学思维的暴露，从而缩短了教师与学生的思维差异。1、暴露概念的铺垫过程甲班教师认为：学好数学，首先要攻破概念关。数学概念是人们认识客观世界的总结，也是人们认识客观对象的工具；它既是判断、推理的依据，又是正确迅速解题的保证。在概念教学中，一定要暴露概念提出的背景，概念的抽象、概括过程，将浓缩了的认知点充分
