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1、例题 1在数列an中，a1=1，当 n2 时，an，Sn，成等比数列。（1）求 a2，a3，a4；（2）猜想 an的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4） （思考题）不使用猜想 an的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求 an。1.解析：解析：an，Sn，成等比数列，（n2） （*）（1）把 a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：把 a1=1，代入（*）得：。同理可得：由此可以推出：（2） （i）当 n=1，2，3，4 时，由（*）知猜想成立。（ii）假设 n=k（k2）时，成立。故或（舍去）由得即 n=k+1 时，命题也成立。由（i） （ii）可知，对一切nN 成立。（3）
2、由（2）得数列前 n 项的和，所有项和（4）对于an的通项还可以这样来求：， ，故是以为首项，为公差的等差数列故，注：注：对于含有 an，Sn的关系式中，常将 an用 SnSn1（n2）代（或 Sn+1Sn用 an+1 代） ，化成 Sn，Sn+1（或 an，an+1）的递归关系式。例例 1.数列an满足下列条件，求其通项公式 an。(1)a1=1， (2)a1=2， (3)a1=2，an的前 n 项和 Sn满足 解：解：(1)将以上各式叠加，得 又 n=1 时， (2)将以上各式叠乘，得 an=n(n+1)(n2)当 n=1 时，1(1+1)=2 = a1 an=n(n+1)(nN*)(3)
3、2Sn-1Sn=Sn-1-Sn(n2)在上式两边同除以 SnSn-1，得数列 为首项，公差为 2 的等差数列。例例 2、在等差数列an中(1)若 ap=q，aq=p(p、qN*且 qp)，求 ap+q；(2)an共有 n 项，其前四项之和为 124，其最后四项之和为 156，其所有项之和为 210，求项数 n；(3)若an前 n 项和记为 Sn，且有 ，求 Sm+n的范围解：解：(1)aq=ap+(q-p)d ap+q=ap+(q+p-p)d=q+q(-1)=0(2)a1+a2+a3+a4=124an+an-1+an-2+an-3=156(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+
4、(a4+an-3)=2804(a1+an)=280a1+an=70n=6(3)设 前 n 项和 将以上两式相减得：两边同除以 m-n，得例例 3、在数列an中，Sn是其前 n 项和，a1=1，Sn+1=4an+2(nN*)(1)设 bn=an+1-2an，求证数列bn为等比数列并求其通项公式；(2)设 ，求证数列Cn是等差数列并求其通项解：解：(1)Sn+1=4an+2Sn+2=4an+1+2将以上两式相减，得 an+2=4an+1-4anan+2-2an+1=2(an+1-2an)又 s2=4a1+2=a1 +a2 a2 =5数列bn是以 b1=a2-2a1=5-2=3 为首项，q=2 为公
5、比的等比数列。bn=32n-1(2)数列Cn是以 为首项， 为公差的等差数列。例例 4、在等差数列an中，公差 d0，a2是 a1与 a4的等比中项，已知数列成等比数列，求数列kn的通项 kn解：解：a2是 a1与 a4的等比中项d0 a1=d 是等差数列中的第 kn项，是等比数列中的第 n+2 项且 =a1+(kn-1)d=d+(kn-1)d=knd 2.数列的极限数列的极限应用恒等变换和极限的四项运算法则，将数列的极限转化为三个基本极限来求解。3.数学归纳法数学归纳法数学归纳法有两个基本步骤：第一步，验证 n=n0时，命题成立；第二步，假设 n=k 时，命题成立，然后利用归纳假设证明 n=
6、k+1 时成立。用数学归纳法证明命题时特别要求证明的逻辑严密性。数学归纳法通常用来证明有关等式，不等式，整除，几何命题等。例例 5.数列an满足 ，a1=2(1)求数列an的通项；(2)令 ，求出 n(1，10000)内使 b1b2b3bn为整数的 n 的所有值的和。解：解：(1)由 a1=2 得： 由 a2=3 得： 由 a3=4 得： 猜测：an=n+1(nN*)下用数学归纳法证明该猜测1当 n=1 时，a1=1+1=2，命题成立2假设 n=k(kN*)时，命题成立，即有 ak=k+1，则 =(k+1)+1即 n=k+1 时，命题也成立。综合 1，2知，an=n+1(nN*)(2) 将 a
7、n=n+1 代入得 =log2(n+2)欲使 b1b2b3bn为整数，须使 n+2 为 2 的整数幂n(1,10000)n+2 可是以 22，23，24，213所求和为(22-2)+(23-2)+(24-2)+(213-2)=22+23+24+213-24=214-28=16356例例 6.无穷数列an的前 n 项和为 bn，无穷数列bn的前 n 项和 Cn，对 nN*，恒有bn+cn=n，(1)证明：数列1-bn是等比数列；(2)求 (3)比较 的大小关系解：解：(1)首先 b1+C1=1 而 C1=b1，得 由已知：bn+Cn=n，有 bn+1+Cn+1=n+1将两式相减，有 bn+1-b
8、n+bn+1=1数列1-bn是以 的等比数列。(2)由(1)知： (3)n=1 时， n2 时， 综上， 当 n=1 或 2 时，显然有 当 n3 时， 这时 例例 7.设 ，不论 、 为何实数，恒有 f(cos)0，f(2-sin)0，正数数列an的前 n 项和 Sn=f(an)，nN*(1)求 b 值；(2)求an的通项公式；(3)令 ，cn的前 n 项和为 Tn，比较 Tn与 的大小。解：解：(1)当 cos=1 时，有 f(1)0当 sin=1 时，有 f(2-sin)=f(1)0f(1)=0(2)令 n=1，有 解得 a1=3 或 a1=-1(舍)将以上两式相减， an为正数数列，a
9、n，an-10，an+an-10an-an-1=2(n2)an是以 a1=3 为首项，公差为 2 的等差数列an=3+(n-1)2=2n+1(3)Tn=C1+C2+Cn课后练习课后练习1.数列an的通项公式是 an=n2-kn，若数列an是递增的，则实数 k 的取值范围是( )(A)k0，a5a6=16，则 log4a1+log4a2+log4a10=_5.在等比数列an中，a5，a9是方程 7x2-18x+7=0 的两个根，则6.数列an的前 n 项和 Sn满足 an+2SnSn-1=0(n2)， (1)求证： 是等差数列；(2)求 an；(3)若 bn=2(1-n)an(n2)，求证： 7
10、.已知数列an的首项 a1=5，前 n 项和为 Sn，且 Sn+1=2Sn+n+5(nN*)(1)证明数列an+1是等比数列；(2)令 f(x)=a1x+a2x2+anxn，求函数 f(x)在点 x=1 处的导数 f(1)参考答案参考答案1.选 Aan+1-an=(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k0(nN*)k2n+1 对任意 nN*成立而 2n+1 最小值为 3，k32.选 Aan图象可看作是函数 个单位，再上移 个单位而得到(an图象是一些孤立点)画草图可知，a4最大3.选 B可知an的各项数值以 3 为周期重复出现4. 5.又 a5，a7，a9符号相同，a7=16.
11、(1)由 an+2SnSn-1=0 (n2)Sn-Sn-1+2SnSn-1=0 (n2)为首项，公差为 2 的等差数列。(2)(3)7.(1)Sn+1=2Sn+n+5Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n2)Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1(n2)即 an+1=2an+1(n2)an+1+1=2(an+1)(n2)an+1从第 2 项起，是公比为 2 的等比数列又 a1=5，由 Sn+1=2Sn+n+5 令 n=1有 S2=2S1+6a1+a2=2a1+6a2=11an+1是以 a1+1=6 为首项，公比为 2 的等比数列(2)f(x)=a1+2a2x+3a3x2+nanxn-1f(1)=a1+2a2+3a3+nan由(1)知 an+1=62n-1an=62n-1-1令 Tn=620+2621+3622+n62n-12Tn=621+2622+3623+n62n-Tn=620+621+622+62n-1-n62nTn=(n-1)62n+6
