三角函数公式大汇集

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1、三角函数公式大汇集三角函数公式大汇集引用Ox-B 的 三角函数公式大汇集三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：分别是 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割在平面直角坐标系 xOy 中，从点 O 引出一条射线 OP，设旋转角为 ，设 OP=r，P 点的坐标为（x，y）有正弦函数 sin=y/r余弦函数 cos=x/r正切函数 tan=y/x余切函数 cot=x/y正割函数 sec=r/x余割函数 csc=r/y（斜边为 r，对边为 y，邻边为 x。 ）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数 versin =1-co

2、s余矢函数 covers =1-sin正弦（sin）:角 的对边比上斜边 余弦（cos）:角 的邻边比上斜边 正切（tan）:角 的对边比上邻边 余切（cot）:角 的邻边比上对边 正割（sec）:角 的斜边比上邻边 余割（csc）:角 的斜边比上对边编辑本段同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin2cos211tan2sec21cot2csc2积的关系：sin=tancoscos=cotsintan=sinsec cot=coscscsec=tancsc csc=seccot倒数关系：tan cot1sin csc1cos sec1商的关系：sin/costansec/csccos/si

3、ncotcsc/sec直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)三角和的三角函数：sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-si

4、nsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)辅助角公式：Asin+Bcos=(A+B)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A+B)(1/2)cost=A/(A+B)(1/2)tant=B/AAsin-Bcos=(A+B)(1/2)cos(-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)cos(2)=cos()-sin()=2cos()-1=1-2sin()tan(2)=2tan/1-tan()三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin()=4sinsin(60+)s

5、in(60-)cos(3)=4cos()-3cos=4coscos(60+)cos(60-) tan(3)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式：sin(/2)=(1-cos)/2)cos(/2)=(1+cos)/2)tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降幂公式sin()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan()=(1-cos(2)/(1+cos(2)万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan

6、(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)积化和差公式：sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos1-cos2=2sin1+s

7、in=(sin/2+cos/2)其他：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin()+sin(-2/3)+sin(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin

8、4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （积化和差）=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx证明:左边=-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证编辑本段三角函数的诱

9、导公式公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角 与 - 的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得

10、到 2- 与 的三角函数值之间的关系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上 kZ) 补充：695 种诱导公式的表格以及推导

11、方法（定名法则和定号法则）f()f()sincostancotseccsc360k+sincostancotseccsc90-cossincottancscsec90+cos-sin-cot-tan-cscsec180-sin-cos-tan-cot-seccsc180+-sin-costancot-sec-csc270-cos-sincottan-csc-sec270+-cossin-cot-tancsc-sec360-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc定名法则90的奇数倍+ 的三角函数，其绝对值与 三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍

12、+ 的三角函数与 的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”定号法则将 看做锐角（注意是“看做” ） ，按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”比如:90+。定名：90是 90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将 看做锐角，那么 90+ 是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以 sin(90+)=cos , cos(90+)-sin 这个非常神奇，屡试不爽编辑本段三角形与三角函数1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中 R 为外接圆的半径) 2、第一余弦定理：三角形中任意一边

13、等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即 a=c cosB + b cosC3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即 a2=b2+c2-2bc cosA4、正切定理(napier 比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tg(A-B)/2/tg(A+B)/2=tg(A-B)/2/ctg(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明:已知(A+B)=(-C)所以 tan(A+B)=tan(-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC类似地,我们同样也可以求证:当 +=n(nZ)时，总有tan+tan+tan=tantantan编辑本段部分高等内容高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展开有无穷级数，e