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1、14 12013 届南京高三学情调研卷全解析版届南京高三学情调研卷全解析版数数 学学 2012.09注意事项：注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答卷纸一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答卷纸相应位置上分请把答案填写在答卷纸相应位置上1已知集合 Ax|x23x4，xR，则
2、 AZ 中元素的个数为 答案：4解析：A=,则 AZ=0,1,2,314xx 命题意图：考察集合的运算，及一元二次不等式的解法命题意图：考察集合的运算，及一元二次不等式的解法2已知abi(a，bR，i 为虚数单位)，则 ab 23i i答案：6 解析：，则 ，则 ab=6 23ibai 3,2ab 命题意图：考察复数的相等问题3为了调查城市 PM2.5 的值，按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18若用分层抽样的方法抽取 12 个城市，则乙组中应抽取的城市数为 答案：4解析：1212436命题意图：统计问题，分层抽样4有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其
3、中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 答案：1314 2解析：31 3 33p 命题意图：古典概型，P(A)=m n5已知非零向量 a，b 满足|a|ab|1，a 与 b 夹角为 120，则向量 b 的模为 答案：1解析：|ab|= =1+2 =1，解得222aba brrr r2 br cos120ob r 1b r命题意图：考察向量数量积6在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点为 F 的抛物线 y22x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为，15则线段 PF 的长为 答案：7 2解析：设 P 的坐标为(x,y),则 又 F,利用距离公式可
4、求222315 26xxy yxy 1( ,0)2PF=7 2命题题图:考察了圆锥曲线的抛物线7已知等比数列an的公比 q ，Sn为其前 n 项和，则 12S4 a4答案：5 解析：=S4 a43 13 111 () 2 11251()2aa 命题意图：考察了等比数列的前 n 项和 及 通项公式，属于简单的题目8右图是一个算法的流程图，最后输出的 k 答案：11S=1+3+5+7+920, 则 k=9+2=11开始k1S0S20kk2SSk YN输出 k结束(第 8 题)14 3命题意图：考察了流程图中的循环结构9在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，A60，c
5、，则ABC 的面积为 答案：解析：03 113sinsin60sin2CC又 cA，则 C=030则 B=,S=090命题意图:考察了正弦定理和三角形的面积公式，本题用余弦定理也可以解10在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在第一象限，圆 C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线 xy10 相切，则圆 C 的半径为 答案：2解析：易知圆心的横坐标为 2，设圆心 C 为（2，a）,则半径为，根据圆与直线相切，21a解得：a=1,所以半径为22112aa2命题意图：考察了圆的方程，以及直线与圆的相切问题（用圆心到直线的距离等于半径来处理）中档题11已知函数 f(x)
6、是 R 上的增函数，则实数 k 的取值范围是 exk，x 0，(1k)xk，x0)答案： ，1)12解析：时，函数恒为增函数，时，1-k0，又,则0x 0x 0(1) 0ekkk 112k命题题目：考察了分段函数的单调性，除了单个分段是增函数，还要考虑整个定义域，就是分段区间相接的问题。14 412已知 ， 为平面，m，n 为直线，下列命题：若 mn，n，则 m； 若 m，m，则 ；若 n，m， m，则 mn； 若 ，m，n，则 mn其中是真命题的有 (填写所有正确命题的序号)答案：解析：若 mn，n，则 a 也有可能在平面 内，该题找错的命题只要取一个反例就可以了命题意图：考察了立体几何中的
7、线面、面面的关系问题，要正确的解决这类题目，需要对定理非的熟悉13已知直线 xa(0a )与函数 f(x)sinx 和函数 g(x)cosx 的图象分别交于 M，N 两点，若2MN ，则线段 MN 的中点纵坐标为 15命题题意：考察了三角函数的图象，注意数形结合，灵活应用，该题和 2010 年江苏高考题很类似14已知函数 f(x)2x2m 的图象与函数 g(x)ln|x|的图象有四个交点，则实数 m 的取值范围为 变式：（2013 届南京期初）已知函数 f(x)2x2m 的图象与函数 g(x)ln|x|的图象有四个交点，则实数 m 的取值范围为 解析：f(x)与 g(x)都是偶函数，故两图象在
8、 y 轴右边有 2 个交点14 5二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知平面向量 a(1，2sin)，b(5cos，3)（1）若 ab，求 sin2 的值；（2）若 ab，求 tan( )的值4 解：（1）因为 ab，所以 132sin5cos0， 3 分即 5sin230，所以 sin2 6 分3 5 （2）因为 ab，所以 15cos2sin30 8 分所以 tan 10 分5 6所以
9、tan( ) 14 分411116 （本小题满分 14 分）如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，D 为 BC 的中点（1）若平面 ABC平面 BCC1B1，求证：ADDC1；（2）求证：A1B/平面 ADC1证明：（1）因为 ABAC，D 为 BC 的中点，所以 ADBC ABC DA1 B1C1(第 16 题)14 6因为平面 ABC平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，AD平面 ABC， 所以 AD平面 BCC1B1 5 分 因为 DC1平面 BCC1B1，所以 ADDC1 7 分 （2）(证法一证法一) 连结 A1C，交 AC1于点 O，连结 OD， 则
10、 O 为 A1C 的中点 因为 D 为 BC 的中点，所以 OD/A1B 11 分因为 OD平面 ADC1，A1B平面 ADC1， / 所以 A1B/平面 ADC1 14 分 (证法二证法二)取 B1C1的中点 D1，连结 A1D1，D1D，D1B则 D1C1BD所以四边形 BDC1D1是平行四边形所以 D1B/ C1D因为 C1D平面 ADC1，D1B平面 ADC1， / 所以 D1B/平面 ADC1 同理可证 A1D1/平面 ADC1因为 A1D1平面 A1BD1，D1B平面 A1BD1，A1D1D1BD1， 所以平面 A1BD1/平面 ADC1 11 分因为 A1B平面 A1BD1，所以
11、 A1B/平面 ADC1 14 分 17 （本小题满分 14 分）经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 Ekv3t，其中 v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数如果水流的速度为 3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进 100 km（1）将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数；ABC DA1 B1C1（第 16 题图）OABC DA1 B1C1（第 16 题图）D114 7（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?解：（1）鲑鱼逆流匀速行进 100km 所用的时间为 t 2 分100 v3所以 Ekv3tkv3(v(3，) 6 分100 v3100
12、kv3 v3（2）E100k 100k 10 分3v2(v3)v3 (v3)22v2(v4.5) (v3)2令 E0，解得 v4.5 或 v0(舍去)因为 k0，v3，所以当 v(3，4.5)时，E0，当 v(4.5，)时，E0故 E在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，)上单调递增13 分100kv3 v3所以，当 v4.5 时，E 取得最小值即 v4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小 14 分18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：1(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率x2 a2y2 b2为 ，右准线为 l：x4M 为椭圆上不同于 A，B 的一点，
13、直线 AM 与直线 l 交于点 P1 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）若，判断点是否在以 PM 为直径的圆上，并说明理由； AM MPB（3）连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N，若直线 MN 垂直于 x 轴，求点 M 的坐标解：（1）由解得所以 b23a2，c1)所以椭圆方程为1 4 分x2 4y2 3ABPMNxyO(第 18 题)14 8（2）因为，所以 xM1，代入椭圆得 yM ，即 M(1， )， AM MP3 23 2所以直线 AM 为：y (x2)，得 P(4，3)，1 2所以(1， )，(2，3) 8 分 BM3 2 BP因为 0，所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上 10 分 BM BP5 2（3）因为 MN 垂直于 x 轴，由椭圆对称性可设 M(x1，y1)，N(x1，y1)直线 AM 的方程为：y
