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1、申请理学博士学位论文y9 2 5 2 $ S关于T r i e b e l - L i z o r k i n 空间上几类算子的有界性研究申请人：指导教师：姜丽亚王斯雷教授陈杰诚教授浙江大学数学系2 0 0 4 年1 1 月中文摘要函数空间在经典数学和现代数学中都起着非常重要的作用在调和分析领域，我们经常碰到L e b e s g u e 空间妒，H d y 空间日p ，L i p s c h i t z 空问以及B M O 空间；在偏微分方程的研究中，齐次与非齐次S o b o l e v 空问鼋，鹾是两个基本的函数空问从这些空间的原始定义中，看不出它们之间的密切联系。二十世纪六、七十年代，
2、随着对插值理论和所谓的”硬分析”的方法( 如F o u r i e r 分析，极大不等式，等等) 更深的认识，发现了能统一上述所提及的空间称之为齐次T r i e b e l L i z o r k i n 空间巧9 ( 非齐次T r i e b e l - L i z o r k i n 空间霹，4 ) 和齐次B e s o v 空间雪妒( 非齐次B e s o v 空间_ B ：，4 ) 。早在1 9 7 0 年，S t e i n 在【7 l 】一书中用P o l s s o n 积分处理了B e s o v 空间1 9 7 6年，J P e e t r e 6 4 用L i t t l
3、 e w o o d - P a l e y 的方法，对B e s o v 空间进行了新的统一处理后来，H T r i e b e l 利用L i t t l e w o o d - P a l e y 分解系统地整理了T r i e b e l L i z o r k i n 空间，可以参见【7 6 ，7 7 另一方面，对算亍在各种空间中的有界性研究一直是调和分析研究的中心问题之一自二十世纪五十年代，C M d e r d n 与Z y g m u n d 5 】开创了奇异积分理论( C z 算子) 以来，有许多作者对该算子以及其相关算子的护有界性以及弱( 1 ，1 ) 有界性都进行了深入的
4、研究，见文献 2 3 ，2 6 ，3 8 ，6 9 ，7 1 ，7 2 关于C z 算子在齐次B e s o v 空间以及T r i e b e l - L i z o r k i n 空间上有界性的研究也有很多结果。如P G L e m i d 在1 9 8 5 年建立了非卷积型C z 算子T 在B e s o v 空间鸯，4 ( 1s Ag 。o ，f Q f 0 J 冠S I z y L 1 )的卷积型奇异积分算子T 在露，g 上的有界性。本学位论文将致力于粗糙奇异积分及其相关算子在T r i e b e l - L i z o r k i n 空间上的有界性的研究，主要是考虑核Q L
5、l o g + L ( S n _ 1 ) 的情形( 注意：F ( s ”- 1 ) cL l o g + L ( S “一1 ) c 日1 ( s ”一1 ) ，而G A 。既不同于L l o g + 工( s “一1 ) 也不同干H 1 ( s - 一1 ) ，见文献【3 8 】) 另外，还研究了齐型空问上分数次积分算子的加权T r i e b e l - L i z o r k i n 有界性。本文共五章在第一章中我们介绍B e s o v 空间和T r i e b e l - L i z o r k i n 空问的定义、基本性质以及原子分解和分子分解，同时也给出了齐型空间上齐次B e
6、s o v 空间和T r i e b e l L i z o r k i n空间的定义第二章主要考虑j p ( 礼2 ) 上粗糙奇异积分算子珏，h 的加权T - L 有界性。算子T n h 定义如下， T n , h ( ，) 谢厶坠掣J ( y ) d y ，( 0 - 0 3 )其中h 是且+ 上的L m 函数( 可以是复值的) ，n 是球面S ”1 上的可积函数，且满足下述积分消失性n ( 一) 打( 一) = 0 ( 0 0 4 )C a l d e r 6 n 和Z y g m u n d 5 】用旋转法证明了当核n L l o g + L ( S ”1 ) 且有消失性条件( 0 0
7、 4 ) ，则算子码，1 是口( 舻) 有界的( 1 2 ) 时，算子 6 ，司是口有界的另外，胡国恩、陆善镇和马柏林在文 4 9 l 中证明了与球平均算子交换子相关的离散极大算子以及一类低维集上奇异积分算子交换子等的口有界性( 这两类算子都不知是否有山权的口) 有界性) C P d r e z 6 5 给出了标准C - Z 积分算子与B M O 函数生成的交换子的三l o g L 型的弱型估计以交换子在某些原子H a r d y 空间的有界性1 9 9 5 年，Y o u s s f i 8 4 给出了B M 0 函数与R i e s z 位势构成的交换子是台秽( 彤1 )( s 0 ，1
8、0 ) 函数与R i e s z 位势构成的交换子作了一些研究。1 9 9 9 年，Z W u 在文【8 2 】中给出了交换子 6 ，马】在口；一( R n ) 上有界的充要条件，其中b L 1 ( R “，( 1 + l x l ) 一( ”+ 1 ) ) 如) ，o = ，；，2 。2 0 0 4 年，谌稳固、陆善镇【1 3 对由B M O 函数以及奄，”函数与厶生成的交换子 b ，纠在齐次B e s o v 空间上的有界性也作了一些研究J C e r d a 和J M a r t n 6 研究了一类F o u r i e r 乘予交换子口，毛 在非齐次B e s o v 空间的有界性受文
9、献 8 4 的启发，我们讨论了当核函数n L ”( 铲。) 时，交换子【b ，叼是昂1 。( j p )( 8 0 ，1 0 ，1 0 ，1 O ； ( 4 k 小，南咖( 小西。“，K 1 ； ( 5 k 咖，南州川r 以”，b 1 齐型空间( X ，P ，卢) 中的弃次T r i e b e l L i z o r k i n 空间和B e s o v 空间是由韩永生首先引进的，之后韩永生给出了连续与离散的C a l d e r 6 n 再生公式，并利用他们给出这些空间的等价刻划，见文献【3 9 ，4 0 ，4 1 】等韩永生与林钦诚 4 5 】证明了齐型空间中T r i e b e l
10、- L i z o r k i n 空间和B e 8 0 v 空间的嵌入定理设p ( x ) = o 。对o 0 时，五即是 3 5 ，3 6 】中的离散形式的分数次积分；当a 1 ，t h e nf o rb B M O ( R ”) ，t h ec o m m u t a t o r b ，T 】i sab o u n d e do p e r a t o ro i l 口( 俨)f o ra l l1 l L q ( s n - 1 ) ，s i n c ew ed on o tk n o ww h e t h e rTs a t i s f i e sw e i g h t e d 口
11、( 舻) e s t i m a t ew i t hg e n e r a lA gw e i g h sf o ra n yf i x e d1 2 ，s e e 4 8 1a n d s o H u ，L ua n dM a 4 9 p r o v e dt h a tt h ec o m m u t a t o r so ft h em a x i m a lo p e r a t o rr e l a t e dt ot h em e a n v a l u eo p e r a t o ra n dt h ec o m m u t a t o r so fs i n g u l a
12、 ri n t e g r a lo p e r a t o rd e f i n e do ns o m em a n i f o l dw i t hd i m e n s i o nl e s st h a nna r eb o u n d e dO i lL P ( n ”) (a b o u tt h ew e i g h t e d 口( R “) e s t i m a t ew i t hg e n e r a lA 目w e i g h so ft h i st w oo p e r a t o r s eu n k n o w n ) C P 6 r e z 6 5 1s
13、h o w e dt h a tt h ec o m m u t a t o r 【b ，T 】s a t i s f yLl o g 工t y p ei n e q u a l i t i e sa n ds o m ea t o m i cH a r d ys p a c et y p ee s t i m a t e I n1 9 9 5 ，Y o u s s f ii s 4 1g a v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n st ot h e ( s 0 ，1 0 ) f u n c t i o na n d 马I n1 9 9 9
14、，z W ui nh i sp a p e r 8 2 g a v et h en e c e s -s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st ot h e 霹一( 钟) b o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r 【b ，马 ，w h e r eb L t ( R “，( 1 + I x l ) 一( 州) 如) a n da = ，；，争I n2 0 0 4 ，C h e na n dL u 1 3 s t u d i e dt h eb e h a v i e ro fc o m m
15、 u t a t o r sg e n e r a l i z e db yB M O ( R ”) ，曰。( 且“) ( s 0 ) f u n c t i o na n d如( o 0 ，1 0 ，1 0a n d1 0 ， ( 4 ) t 冰，南蛐) C r - A + Ik1 ，( 5 ) k 咖，志如 ) C r “，D1 T h e 。n i e b e l - L i z o r k i ns p a c e s 砖，9 ) a n dt h eB e s o vs p a c e s 睇1 叮) w e r ef i r s ti n t r o -d u c e db vY
16、S H a n L a t e rh eh a dg i v e nt h ec o n t i n u o u sa n dd i s c r e t eC a l d e r 6 nr e p r o d u c i n gf o r m u l a s ，m o r e v e rh eu s e dt h e mt oe s t a b l i s ht h eT 1t h e o r e mO n 砖，。) ，s e e 3 9 ，4 0 ，4 1 Y - S H a na n dC C - L i n 【4 5 】p r o v e dt h ee m b e d d i n gt h e o r e mo l ls p
