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1、2.2.2 事件的相互独立性事件的相互独立性1.定义:设A, B为两个事件，如果 P (AB) = _, 则称事件A与事件B相互独立.2.性质:A与B是相互独立事件，则 也相互独立.P(A)P(B)判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.( )(2)必然事件与任何一个事件相互独立( )(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B).( )(4)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.( )提示：(1)正确.不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.(2)正确.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.(3)正确.
2、 如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B).(4)正确.如果事件A与事件B相互独立，则有P(B|A)=P(B)，又 从而P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)，即P(AB)=P(A)P(B)是事件A,B相互独立的充要条件.答案：(1) (2) (3) (4)【知识点拨】1.对事件相互独立性的理解(1)前提：在应用公式P(AB)=P(A)P(B)时,一定要注意公式成立的条件,即各事件必须相互独立.(2)推广：一般地，如果事件A1,A2,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).2.相互独立事
3、件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件概 念如果事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响,这样 的两个事件叫做相互独立事件不可能同时发生的两 个事件叫做互斥事件符 号相互独立事件A,B同时发生,记作 :AB互斥事件A,B中有一个 发生,记作:AB(或 A+B) 计 算 公 式P(AB) =P(A)P(B)P(AB)= P(A)+P(B)类型一 相互独立性的判断 【典型例题】1下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )A.一枚硬币掷两次，A第一次为正面，B第二次为反面B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A第一次摸到白球，B第二次摸到白球C.掷一枚骰子，A出现点数为奇数，
4、B出现点数为偶数D.A人能活到20岁，B人能活到50岁2.分别掷两枚质地均匀的骰子，设A第一枚朝上点数为1，B第二枚朝上点数为1，C两枚朝上点数相同，指出A,B,C中相互独立的事件【解题探究】1.判断两个事件是否相互独立的依据是什么？2.判断两个事件是否相互独立最常用的方法是什么？探究提示：1.两个事件相互独立的定义.2.判断两个事件是否相互独立的最常用的方法是利用P(AB)=P(A)P(B)，若相等，则两个事件相互独立；若不相等，则这两个事件不相互独立.【解析】1.选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相
5、互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响2.掷两枚骰子，基本事件总数为36个，A发生与否不影响B的发生及概率大小，A的基本事件个数为6，B的基本事件个数为6，则AB的基本事件个数为1，即(1,1).因为所以P(AB)P(A)P(B)，所以A,B相互独立.C的基本事件个数为6，AC即为(1,1)，BC即为(1,1)，所以所以P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)，所以A与C,B与C也相互独立【拓展提升】判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等
6、于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)=P(B)判断.【变式训练】掷3枚质地均匀的硬币，设A表示事件第一枚正面朝上，事件B表示3枚结果相同，试判定A与B独立吗？【解析】掷3枚硬币，基本事件总数为8，事件A的基本事件个数为4，所以B的基本事件个数为2，所以AB基本事件为(正,正,正)，所以而所以A，B相互独立类型二 相互独立事件同时发生的概率 【典型例题】1同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对(x,y)，则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为( )2.甲、乙两人独立地破
7、译密码的概率分别为求：(1)两个人都译出密码的概率.(2)两个人都译不出密码的概率.(3)恰有一人译出密码的概率.(4)至多一人译出密码的概率.(5)至少一人译出密码的概率【解题探究】1.题1中满足xy=4的事件有几个？2.利用事件之间的关系求概率的关键是什么？探究提示:1.题1中满足xy=4的事件有3个,分别为(1,4),(2，2)，(4,1).2.利用事件之间的关系求概率的关键是要弄清“发生”还是“不发生”，发生几个，还要明确事件之间的关系，是彼此互斥，还是相互独立，合理运用概率的加法公式和乘法公式求解.【解析】1.选C.满足xy=4的所有可能如下：x=1,y=4；x=2,y=2；x=4,
8、y=1.所以,所求事件的概率PP(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)2.记A为“甲独立地译出密码”，B为“乙独立地译出密码”(1)两个人都译出密码的概率为(2)两个人都译不出密码的概率为(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即所以(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，所以(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，所以【拓展提升】与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为
9、P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件AB.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件(4)A，B恰有一个发生为事件(5)A，B中至多有一个发生为事件它们之间的概率关系如表所示：A,B互斥A,B相互独立P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)0P(A)P(B)1-P(A) +P(B)A,B互斥A,B相互独立P(A)+P(B)11-P(A)P(B)【变式训练】(2013沈阳高二检测)某售货员负责在甲、乙、丙三个柜台上售货，如果在某一小时内各柜台需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8,0.7，假定各个柜台是否需要照顾相互之间没有影响，求这个小时内：(1)只有丙
10、柜台需要售货员照顾的概率.(2)三个柜台至少有一个需要售货员照顾的概率.(3)三个柜台至多有一个需要售货员照顾的概率.【解析】(1)只有丙柜台需要售货员照顾的概率P=(1-0.9)(1-0.8)0.7=0.014.(2)三个柜台至少有一个需要售货员照顾的概率P=1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.(3)三个柜台至多有一个需要售货员照顾的概率P=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)+0.9(1-0.8)(1-0.7)+0.8(1-0.9)(1-0.7)+0.7(1-0.9)(1-0.8)=0.006+0.054+0.024+0.014=0.098.类
11、型三 多个事件的相互独立性 【典型例题】1.加工某一零件经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_.2.已知A，B,C三个事件独立，若事件A发生的概率为 事件B发生的概率为 事件C发生的概率为 求以下发生的概率.(1)事件A，B,C都发生的概率.(2)事件A，B,C都不发生的概率.(3)事件A，B,C不都发生的概率.(4)事件A，B,C至少有一个发生的概率.(5)事件A，B,C恰有一个发生的概率.【解题探究】1.多个事件相互独立的概率公式是什么？2.对于多个较复杂的事件，解题关键是什么？探究提示:1.利用“如果事件A1，A2，An相互独立
12、，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)”来求.2.可先恰当地分类(互斥事件)，在每类中，用独立事件计算【解析】1.因为第一、二、三道工序的次品率分别为所以第一、二、三道工序的正品率分别为所以加工出来的零件的次品率为答案:2.(1)记事件A1为“事件A，B,C都发生”，因为A，B,C是三个独立事件，所以(2)记事件A2为“事件A，B,C都不发生”，因为A，B,C是三个独立事件，故 也相互独立.所以(3)记事件A3为“事件A，B,C不都发生”，则 从而(4)记事件A4为“事件A，B,C至少有一个发生”，则从而(5)记事件A5为“事件A，B,C恰有一个发生”，则有三种情况：第一种，事件
13、A发生，事件B,C不发生，即第二种，事件B发生，事件A,C不发生，即第三种，事件C发生，事件A,B不发生，即而这三种情况不可能同时发生，即 彼此互斥，所以【拓展提升】应用相互独立事件的概率公式求概率的步骤(1)确定诸事件是相互独立的.(2)确定诸事件是否会同时发生.(3)先求出每个事件发生的概率，再求其积或和.【变式训练】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率.(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.(
14、3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列.【解析】设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知(1)设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则(3)X的可能取值为1,2,3,4.所以，X的分布列为X1234P相互独立事件概率的实际应用1.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则在这段时间内线路正常工作的概率是_.2.在一袋中装有2只红球和8只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球
15、为止，求取球次数X的分布列.【解析】1.由题意，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是=1P(A)1P(B)1P(C)=(10.7)(10.7)(10.7)=0.027.所以这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是答案：0.9732.X的所有可能取值为1，2，i，令Ai表示“第i次取得红球”，则由于各次取球相互独立，且取到红球的概率为p0.2，于是得0.80.80.80.20.20.8i-1.所以其分布列为X123iP0.20.80.20.820.20.20.8i-1【拓展提升】系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系，在考查知识纵向联系的同时，重点考查事件独立性的综合应用.求解时可先从系统的构造出发，分析所给的系统是单纯的串(并)联还是串并联混合体结构.(1)直接法：把所求的事件分成若干个互斥事件之和，根据互斥事件的概率公式求解.(2)间接法：当所涉及的事件较多，而其对立事件所涉及的事件较少时，可根据对立事件的概率公式求解.【易错误区】对事件类型判断不明导致错误【典例】甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道
