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1、13.2.1 离散型随机离散型随机变变量的期望与方差量的期望与方差期望期望第 1 页 共 5 页13.2.1 离散型随机离散型随机变变量的期望与方差量的期望与方差期望期望一教学目标：一教学目标：1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望2理解公式“” ，以及“若，则” 能熟baEbaE)(),(pnBnpE练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 二教学重点二教学重点：离散型随机变量的期望的概念及其求法教学难点：教学难点：离散型随机变量的期望的概念的理解 三教学用具：三教学用具：投影仪 四教学过程：四教学过程： 1复旧引新复旧引新 （1）离散型随机变量的分布列的概念
2、、性质 （2）离散型随机变量服从二项分布的概念、例子（3）提出教科书中“某射手射击所得环数的分布列”的例子，可问：我们能否通过计算，预计该射手 n 次射击的平均环数？ 2提出离散型随机变量提出离散型随机变量 的数学期望的数学期望 E 的概念及公式的概念及公式 E(a+b)=aE+b 在复习、思考、计算与讨论的基础上，教师可问：从多名射手中选拔一名参加射击 比赛，我们能否根据他们各自射击的平均成绩（数学期望）作为选拔的一项标准？同时 概括出： 引例：某射手射击所得的环数引例：某射手射击所得的环数 的分布列如下；的分布列如下；45678910P0.020.040.060.090.280.290.2
3、2在在 n 次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但是可以根据已知的分布列次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但是可以根据已知的分布列 估计估计 n 次射击的平均环数。次射击的平均环数。 根据这个射手射击所得的环数 的分布列，在 n 次射击中，预计大约有P(=4)n=0.02n 次得 4 环, P(=5)n=0.04n 次得 5 环, P(=6)n=0.06n 次得 6 环, P(=10)n=0.22n 次得 10 环, n 次射击的总环数约等于：40.02n+50.04n+60.06n+100.22n=（40.02+50.04+60.06+100.22）n 从而，n 次射击的平
4、均环数约等于40.02+50.04+60.06+100.22=8.32 类似地，对任一射手，若已知其射击所得的环数 的分布列，即已知各个 P(=i) （i=1，2，3，10） ，则可预计他任意 n 次射击的平均环数是E=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+10P(=10)13.2.1 离散型随机离散型随机变变量的期望与方差量的期望与方差期望期望第 2 页 共 5 页我们称 E 为此射手射击所得的环数 的期望，它刻化了随机变量 所取的平均 值，从另一方面反映了射手的射击水平。 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称则称 E=
5、x1p1+x2p2+xnpn+为为 的数学期望或平均数、均值数学期望简称为期的数学期望或平均数、均值数学期望简称为期 望望根据数学期望的概念及前面所学知识，推导出公式 E(a+b)=aE+b 3例题讲解例题讲解 例例 1 随机抛掷一枚骰子，求所得的点数随机抛掷一枚骰子，求所得的点数 的期望。的期望。 估计学生对教科书中的例 1 和例 2 的理解不存在困难，所以讲此例之前可布置学生 自学这两道例题 例例 2、某车间在三天内，每天生产、某车间在三天内，每天生产 1010 件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了 1 1 件、件、2 2 件次品，而质检部每天要
6、从生产的件次品，而质检部每天要从生产的 1010 件产品中随意抽取件产品中随意抽取 4 4 件进行检查，若发现件进行检查，若发现 有次品，则当天的产品不能通过。有次品，则当天的产品不能通过。 （I I）求第一天通过检查的概率；）求第一天通过检查的概率； （IIII）求前两天全部通过检查的概率；）求前两天全部通过检查的概率； （IIIIII） （理科做，文科不做）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过（理科做，文科不做）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过 检查得检查得 0 0 分，通过分，通过 1 1 天、天、2 2 天分别得天分别得 1 1 分、分、2 2 分，求该车间在这
7、两天内得分的数学期望。分，求该车间在这两天内得分的数学期望。 解：（I）随意抽取 4 件产品检查是随机事件，而第一天有 9 件正品第一天通过检查的概率为PC C1941043 5（II）同（I） ，第二天通过检查的概率为PC C2841041 3因第一天，第二天是否通过检查相互独立所以，两天全部通过检查的概率为：PP P123 51 31 5（II）记得分为，则的值分别为 0，1，2P()02 52 34 15P()13 52 31 32 58 15P()23 51 31 513.2.1 离散型随机离散型随机变变量的期望与方差量的期望与方差期望期望第 3 页 共 5 页因此，E 04 1518
8、 1521 514 15 例例 3 接第接第 1 节例节例 3，若随机变量的概率分布为，若随机变量的概率分布为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费求所收租车费 的数学期望的数学期望 解：依题意，得4 .161 . 0183 . 0175 . 0161 . 015E. 22, 22EEQ. 8 .3424 .162E答：所收租车费的期望是 34.8 元 4、考察服从两点分布、二项分布及几何分布的随机变量的期望：、考察服从两点分布、二项分布及几何分布的随机变量的期望： 服从两点分布的随机变量的期望服从两点分布的随机变量的期望 例例 4 （即教科书中例（即教科书中例 1）篮球运动员
9、在比赛中每次罚球命中得）篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚球不中得分，罚球不中得 0 分，已知某运动员罚球命中的概率为分，已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他罚球一次的得分，求他罚球一次的得分 的期望。的期望。 （服从两点分（服从两点分 布的随机变量的期望）布的随机变量的期望） 服从二项分布的随机变量的期望服从二项分布的随机变量的期望 提出并推导提出并推导若若 B(n,p)，则，则 E=np例例 5、 （即教科书中例（即教科书中例 4）一次英语单元测验由）一次英语单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有 4 个个 选项，其中有且仅有一个选项是正确答
10、案，每题选择正确答案得选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作答或答错不分，不作答或答错不 得分，满分得分，满分 100 分。学生甲选对任意一题的概率为分。学生甲选对任意一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从四，学生乙则在测验中对每题都从四 个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。 （服（服 从二项分布的随机变量的期望）从二项分布的随机变量的期望） 解：设学生甲和学生乙在这次英语单元测验中选择了正确答案的选择题的个数分别 为 和 ，则B（20，0.
11、9） ，B（20，0.25） 所以，E=200.9=18，E=200.25=5 由于，选择正确答案得 5 分，学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩分别为5 和 5。 所以，学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望分别为E（5）=5E=518=90， E（5）=5E=55=25 例例 6、某厂生产电子元件，其次品率为、某厂生产电子元件，其次品率为 5%，现在从一批产品中任意地连续取出两件，现在从一批产品中任意地连续取出两件， 其中次品数其中次品数 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 E。13.2.1 离散型随机离散型随机变变量的期望与方差量的期望与方差期望期望第 4 页 共 5 页例
12、例 7、为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击、为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击 10 次，次， 其中甲击中目标其中甲击中目标 7 次，乙击中目标次，乙击中目标 6 次。若再让甲、乙两人各自向目标靶射击次。若再让甲、乙两人各自向目标靶射击 3 次，求：次，求：（I）甲运动员恰好击中目标）甲运动员恰好击中目标 2 次的概率是多少？次的概率是多少？ （II） （理科做）分别求甲、乙两名运动员击中目标次数（理科做）分别求甲、乙两名运动员击中目标次数 、 的数学期望的数学期望 E、E 的的 值。值。 （服从二项分布的随机变量的期望）（服从二项分布的随机
13、变量的期望）解（I）设甲击中目标 2 次的事件为 A，P（A）=C (0.7)2(10.7)=0.441，2 3(II)理： 甲射中 0 次概率 C(10.7)3=0.027，00 37 . 0 射中一次概率 C(10.7)2=0.189，射中二次概率 C2(10.7)2=0.441，7 . 01 37 . 02 3射中三次概率 C(0.7)3=0.343，E=10.189+20.441+30.343=2.1。3 3乙射中 0 次概率 C(10.6)3=0.064，射中一次概率 C(10.6)2=0.288，00 36 . 0 6 . 01 3射中二次概率 C(10.6)=0.432，22 3
14、6 . 0 射中三次概率 C=0.216，E=10.288+20.437+0.2163=1.8。33 36 . 0 服从几何分布的随机变量的期望服从几何分布的随机变量的期望 重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率 为 p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用 表示， 因此事件n表示“第 n 次试验成功且前 n1 次试验均失败” 所以，其分布列如表 14 所示：1np1pnP12nPpp(1p)1np1p例例 8、袋中有、袋中有 1 个红球和个红球和 9 个白球，每次从中任取一个，取后放回，直到取得红球为个白球，每次从中任取一个，取后
15、放回，直到取得红球为 止，求取球次数的分布列及期望（服从几何分布的随机变量的期望）止，求取球次数的分布列及期望（服从几何分布的随机变量的期望） 解：设取球次数为 ， 的可能取值为 1，2，3，4，n， P（=k）=g（k，0.1）=0.9k-10.1 的分布列为123n P0.10.90.10.920.10.9n-10.1 服从几何分布13.2.1 离散型随机离散型随机变变量的期望与方差量的期望与方差期望期望第 5 页 共 5 页E=101 . 0 11p若若 服从几何分布（服从几何分布（P（=k）=g（k，p）=（1-p）k-1p） ，则，则 E=p1例例 9、 （即教科书中例（即教科书中例 3）有一批数量很大的产品，其次品率是）有一批数量很大的产品，其次品率是 15%，对这批产品进，对这批产品进 行抽查，每次抽一件，如果抽出次品，则抽查终止；否则，继续抽查，直到抽出次品，行抽查，每次抽一件，如果抽出次品，则抽查终止；否则，继续抽查，
