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1、自主学习 01 教材内容第八章 自旋与角动量知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 本章习题 本章自测 知识框架8.1 多粒子体系的薛定谔方程 本节要求本节要求 ：通过本节的学习，学生能够理多粒子体系的波函数：通过本节的学习，学生能够理多粒子体系的波函数 重点难点重点难点 ：掌握多粒子体系的薛定谔方程及其相应公式的推导：掌握多粒子体系的薛定谔方程及其相应公式的推导 本节内容本节内容 ：我们知道粒子在势场 V(r) 中的薛定谔方程扩展到一般的量子力学体系, 可表示为Htih(1)式中H为体系的哈密顿算符, 它可以不显含 t, 也可以显含
2、 t. 在H不显含 t 的情况下, 可以写出不含时的薛定谔方程, 即能量本征方程EH(2)对于有经典对应的体系, H可以把经典哈密顿量量子化而得出. 在无经典对应的情况, 则只能根据实验表现出来的特征, 建立其哈密顿量算符, 而其正确性则只能靠实践来检验.对于 N 个多粒子组成的体系, 设粒子质量分别为L, 2 , 1imi,第 i 个粒子受到的外场作用能为trVi,v ,而各粒子之间的相互作用能为NrrrVvLvv,21,则在坐标表象中哈密顿算符为NNii iirrrVtrVmpHvLvvvv ,221 12 (3)波函数依赖于全部粒子的 3N 个坐标和时间 t, 即trrrrN,321vL
3、vvv(4)在处理多体问题时, 在量子力学中也面临与经典物理同样的困难,即多粒子体系很难严格求解的，另外，多体问题比单粒子体系复杂得多.定义在 3N 维空间中 N 个粒子体系的波动方程, 这个空间称为体系的位形空间, 该空间中任意一个点的坐标是由体系全部粒子的三维坐标Nizyxiii, 3 , 2 , 1,L决定的. 位形空间中任意一个点的坐标决定了三维空间中全部粒子作为整体的态. 因而, 在 3N 维坐标位形空间中的一个点 NNNzyxzyx,11,L也称为体系的位形点. 位形空间中无穷小体积元定义为iiiiNdzdydxdVdVdVdVd,21L(5)这样, t 时刻在位形空间中的小体积元
4、d内发现体系的几率为 dtrrrtrrrdtrrrtrrrdwNNNN ,21212121vLvvvLvvvLvvvLvv(6)定义各粒子子空间体积元L,ijidd为LLLijjiii ddVdVdddVd(7)对式(6) 作除粒子 i 外的其它所有粒子的坐标积分, 即对id积分, 就得到 t 时刻发现粒子 i 在irv 至iirdrvv之间而不论其它粒子在何处的几率 iNNiiiidtrrrtrrrdVdVtrtrdw,2121vLvvvLvvvv(8)类似地 ijNNjijijijidtrrrtrrrdVdVdVdVtrrtrrdw,2121vLvvvLvvvvvv(9)为 t 时刻粒子
5、i 处在irv 至iirdrvv之间, 粒子 j 处在jrv至jjrdrvv之间, 而不论其它粒子在何处的几率等等.现求位形空间中几率密度的连续性方程. 为此, 用左乘方程(1) 的两边, 再减去相应的复共轭方程, 并考虑到式(3), 得 trrrtrrrtrrrtrrrmtrrrtrrrtiNiNNiNNiiNN,2,212 21212 21 122121vLvvvLvvvLvvvLvvhvLvvvLvvh(10)令trrrtrrrtrrrtrrrmijNiNNiN ii,221212121vLvvvLvvvLvvvLvvhv(11)则式(10) 可写成0,12121 NiNiiNtrrrj
6、ttrrrvLvvvvLvv(12)即位形几率密度的变化由几率流决定.ijv是全部粒子的坐标和时间的函数, 它表示只有 i 在运动而其余(N-1)个粒子不动的状态下的流密度.为求得其余粒子在任何位置时粒子 i 的流密度, 必须对式(11) 中除i 以外的其余粒子的坐标积分,即iNiiidtrrrjtrj,21vLvvvvv(13)可证明这个流密度也满足连续性方程.为此式(12) 对id积分,得 ttrdtrrrtdtrrrti iNiN,2121vvLvvvLvv(14)而NikiNkkiNiiNkiNkkdtrrrjdtrrrjdtrrrj,2121 121vLvvvvLvvvvLvvv由式
7、(7)可知,体元id包含了除粒子 i 外的其余全部粒子坐标,上式第二项能转化为超面积积分,并且如果 在无穷远处等于零. 而第一项是对不同变量的微分和积分.利用式(13),得trjdtrrrjdtrrrjiiiNiiiNii,2121vvvLvvvvLvvv(15)这样, 就得到三维空间中的单粒子连续性方程0,trjttriiivvv(16)类似地,位形空间的连续性方程(12)对ijd积分,可得两粒子连续性方程等等.8.2 多粒子体系的总动量和总角动量守恒 本节要求本节要求 通过本节的学习，让学生懂得多粒子体系的总动量及总角动量守恒条件 重点难点重点难点 重点掌握多粒子体系的总角动量守恒，理解多
8、粒子体系的总动量守恒 本节内容本节内容 1.1. 多粒子体系的总动量守恒多粒子体系的总动量守恒在经典力学中, 多粒子体系在内力作用下只有总动量保持常数, 因而按牛顿定律, 质 心以不变速度作直线运动. 但如果有外力作用, 则在单位时间内总动量的变化等于作用于 体系中各粒子上的全部外力之和. 可以证明, 这条经典力学规律在量子领域中也保持其正确性. 为此, 设体系全部粒子的总动量算符为.显然, 是全部单粒子动量之和(1)现考虑动量的时间微商算符. 按力学量随时间演化公式及其时间微商算符的定义(2)式中(3)代入式(2), 得(4)由于仅依赖于粒子 j 的坐标,所以(5)假定粒子间的力仅依赖于粒子
9、间的距离, 则.于是, 中只有作用于上, 因而, 只须考察下式:(6)而(7)因而(8)作用力等于负的反作用力, 这正是牛顿第一定律. 把式(5) 和(8) 代入式(4), 即有(9)即总动量的时间微商算符等于作用于体系的外场的合力算符. 如果没有外场, 则(10)即在无外力作用下, 粒子间有相互作用的体系的总动量守恒. 注意算符方程(10) 的物理意义在于: 总动量的平均值不随时间变化, 而且发现某一定值的几率也不变.2.2. 多粒子体系的总角动量守恒多粒子体系的总角动量守恒考虑 N 个粒子体系的总轨道角动量. 体系的总轨道角动量算符当然是各粒子轨道角动 量算符之和, 即(11)角动量分量的
10、时间微商算符为(12)可以证明, 每个角动量分量算符与总角动量平方算符对易. 且不同粒子的角动量算符 互相对易（因为在不同由坐标空间之中） 即(13)还可证明(14)现将哈密顿算符(3) 的动能部分可分成两部分:(15)由于粒子角动量的每个分量分别与和对易, 从上式可知(16)为计算式(12), 还需利用对易关系和,即有(17)类似地(18)可用相对坐标来表示上式中的微商(19)代入式(18), 得(20)利用式(13)（20），可计算总角动量分量的时间微商（12），即有(21)上式第二项为零, 所以(22)即轨道角动量的时间微商算符等于作用于体系的力矩算符. 如果外力或外力矩为零, 则总角动
11、量守恒.(23)这样, 在外力矩为零的情况下, 总角动量算符的平均值为常数, 发现角动量分量为某 定值的几率不变.当包含粒子的内禀自旋时, 总角动量算符为(24)如果没有外电磁场, 即没有作用于自旋上的力, 总角动量守恒定律仍然有效, 因为此时哈密顿算符与的每一个分量对易.8.3 多粒子体系的质心运动和相对运动 本节要求本节要求 要求熟悉多粒子体系的质心运动 知识要点知识要点 掌握多粒子体系的质心运动和相对运动，认清两者之间的关系 本节内容本节内容 在经典力学中, 多粒子体系的质心运动不依赖其组分间的相对运动. 下面要表明这一 点在量子力学中仍然是正确的.考虑质量分别为的 N 粒子体系,只计及
12、两体内力的哈密顿算符为(1)在适当的坐标系下表示哈密顿算符, 可将其分为质心运动和相对运动哈密顿算符. 引 入雅可比(Jaccobi) 坐标(2)这是两体质心坐标和相对坐标的推广. 它的构成原理是前 k 个粒子的质心指向第 k+1 个粒子的矢量. 使用雅比坐标,对动能算符化为(3)其中是系统的总质量,是折合质量(4)而和分别是质心坐标和相对坐标的拉普拉斯算符(5)利用式(2) 和(3),式(1) 的能量本征方程为(6)注意式(6) 中相互作用势不依赖质心坐标.从上式可知,Hamilton 算符明显地分成质心部分和相对部分(7)这样, 体系的波函数可分离成质心部分和相对部分,即(8)代入式(6)
13、, 分离变数后, 得(9)(10)式(9) 描述质心的运动, 它是一个自由粒子的能量本征方程,Ec 是质心运动能量, 与 所研究的体系的内部结构无关, 不予考虑. 式(10) 描述两个粒子的相对运动,E=ET-Ec 是 相对运动能量.8.4 全同粒子与全同性原理把具有完全相同质量、电荷、自旋、磁矩 、寿命等固有性质的粒子称为全同粒子. 人 们正是根据粒子的内禀属性把自然界中的粒子进行分类的, 并称之为电子、质子、中子、光子等. 既然同一类的粒子具有完全相同的内禀的客观属性, 因而在相同物理条件下, 它 们具有相同物理行为.与经典力学不同, 全同粒子是不可区分的. 例如氦原子有两个电子, 即使在
14、某一时刻给这两个电子编了号, 但其后在某处发现了一个电子, 也无法判断它倒底 是哪一个电子. 这种情况在经典力学中是不会发生的, 因为可从根据粒子的运动轨道来区 分不同的粒子. 量子力学中, 粒子的状态是用波函数来描述的, 如果描述两个粒子的波没 有重叠, 自然可以区分倒底是哪个粒子, 但如果描述两个粒子的波发生重叠, 这两个全同 粒子就无法区分. 全同粒子的不可区分性称为全同性原理. 由此, 我们可以得到全同粒子 的一些重要性质.思考题1、 归纳全同粒子的基本特征。（全同粒子的最重要的特征是：在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因而用一个全同粒子代替另一个全同粒子，不会引起物理状态的变化。）8.5 全同粒子体系的交换对称性 本节要求本节要求 ：全同粒子体系的交换对称性的要求及对称性与自旋的关系，能够准确区分出玻色子和费米子：全同粒子体系的交换对称性的要求及对称性与自旋的关系，能够准确区分出玻色子和费米子 重点难点重点难点 ：1 1、全同粒子体系的交换对称性、全同粒子体系的交换对称性2 2、交换对称性与粒子的自旋、交换对称性与粒子的自旋 本节内容本节内容 ：全同粒子体系的一个基本特征是哈密顿算符对于任何两个粒子交换是不变的, 即交换对称性. 例如, 氦原子中的两个电子组成的体系, 其哈密顿算符为21
