《研究群的子群乘积的阶》由会员分享，可在线阅读，更多相关《研究群的子群乘积的阶（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1本科生代数论文课题课题: : 研究群的子群乘积的阶研究群的子群乘积的阶班级： xxxxxxxxxxxx 姓名： xxxxxx xxxx 学号： xxxxxxxxxx 专业： xxxxxxxxxxxxx 学院：xxxxxxxxxxxxxx 指导老师： xxxxxxxxxxxx 2摘摘 要：要：群是近世代数中的一个重要概念。从不同角度出发，群可以分为有限群和无限群两大类，又可以分为交换群和非交换群两大类。在学习群的过程中我们还学习了群的阶以及群的元素的阶，它们和群的阶之间有着密切的联系，所以本文主要研究子群乘积的阶，我们就以两个子群乘积阶的算法为基础来研究三个子群乘积阶的算法以及多个子群。一：元
2、素的阶一：元素的阶定义定义 1.1 设 a 是群 G 的元素，若存在使的最小正整数 m，则称 a 的阶为 m（此时称 a 有限阶mae元素） ，而对任意的正整数 n，都有，则称元素 a 的阶是无限。mae结论结论 1.1 （1）群的元素 a 的阶为有限存在，使ijijaa为有限集合存在正整数 n，使nae（2）群的元素 a 的阶为无限对任意，均有ijijaa为无限集合对任意正整数 n，均有nae（3）群的元素的阶为 1 aae群的元素的阶为 2且a1aaae群的元素的阶2a1aa定义定义 1.2 若群 G 中有有限个元素，则称 G 是有限群，而群 G 中所含元素的个数叫群 G 的阶；若群 G
3、中有无限个元素，则称 G 是无限阶群。结论结论 1.2 （1）若 a 是群 G 的无限阶元素，则，0iaei ijaaij （2）若 a 是群 G 的 m 阶元素，则 0(mod)iaeim (mod)ijaaijm （3）任意群 G 的单位元 e 的阶都是 1定理定理 1.1 （1）设 G 是一个群，元素 a 的阶为 n，即，对任意的正整数 m，若，naemae则由可推出。0k km3（2）设 G 是一个群，元素 a 的阶为 n，即，对任意的正整数 m，若，naemae则。|n m证明（2）：因为元素 a 的阶为 n，则，由整数的带余除法存在整nae数 q 和 r，使，其中。mnqr0rn若
4、，则0r ()mnq rnqrnqrqraaa aaae a这与 a 的阶是 n 矛盾，则即于是。0r mnq|n m证毕！定理定理 1.2 若群 G 中元素 a 的阶为 m，则的阶是。ia( ,)m i m证明：首先，记，则有且( ,)i md11,mm d ii d11( ,)1i m则由，有|am1111()()mimi miimaaaae即1()miae其次，设，则由定理 1.1（2），从而，但是，()inae|m in11|m i n11(, )1m i故，因此，的阶是，即1|mnia1m1|( ,)imami m设群中元素 a 的阶是 m，b 的阶是 n，则当 ab=ba 且(m,
5、n)=1 时，ab 的阶是 mn。31.3定理证明：设 ab 的阶为 k，由于()() ()mnmnmnmnnmaba babe4则 |k mn又因为() )()()kmkmkmkmmkkmkmeababa babb所以，由于则，同理，再有由由于|n km( , )1m n |n k|m k，有，于是 结论得证。( , )1m n |mn kkmn二、元素乘积的阶二、元素乘积的阶定义定义 2.1 设群中元素 a 的阶是 m，b 的阶是 n，则 ab 的阶叫做元素乘积的阶。值得注意的是，当元素 a 与 b 不满足 ab=ba 时，其乘积的阶会出现各种各样的情况，将无法根据 a,b的阶来做出判断。
6、即元素可不可换。这里我们讨论元素可换的情况。结论结论 2.1 若是群 G 的可换子集，元素的阶为，12 ,ka aa iaim，则乘积的阶是1,2,ik ，12,ka aa 的约数。12,km mm ，证明：记，则12,ssm mm ，| ,1,2,ims i ，k从而，于是,1,2,s iae i ，k1212()ssss kka aaa aaeeee因此的阶是的 S 约数。12ka aa结论结论 2.2 若群 G 的元素 a 的阶有限，元素 b 的阶无限，ab=ba,则 ab 是无限阶元素证明：设 ab 的阶有限，记为 n，由条件 a 的阶有限，记为 m从而，()mnmnmnmnmnaba
7、 bebb(),mnmnabe be而 b 的阶是无限的，引出矛盾。因此 ab 是无限阶元素。定理定理 2.1 若群 G 的元素 a 的阶是 s，b 的阶是 t，ab=ba，则（1）元素 ab 的阶是s,t的约数（2）群 G 中存在阶是s,t的元素。证明：（2）设有标准分解式1212 1212,0uuklkkll uuiisp pptp ppk l则记 r=s,t有512 12,max , ummm uiiirpppmk l不妨设，则有,1,iiiikl ikl , v;1,iv , u，1212 11212vvmkmmkk vvspppp pp11 111vuvummll vuvutpppp
8、 且再记则的阶为， 的阶为11( , )1s t1 21 2,ss s tt t2sa1s2tb1t从而元素的阶为1 , strs t定理定理 2.2 设 a，b 为群 G 中的两个元素,若| a| = | b| = m 且存在 k N 使,则 ab 的阶是kab。( ,1)m m k 证明：令，则，再令，则，( ,1)m kr1(,)1m k tt|abp()pabe因为，所以kab1(1)()()pkpp kabbbe但是，所以|bm1|(1)|mkm p kptt因为，所以1(,)1m k tt|mpt又1 1()()()|mmk kmtttmabbbept 即 ab 的阶是。( ,1)
9、mmptm k( ,1)m m k 三、1.陪集的引入定义 1. (子群的陪集) 设为任意的群,而 那么GGH ,Ga(1)形如的子集,叫做子群的一个右陪集,其中叫做代表元.HaHa(2)形如的子叫做子群的一个左陪集,其中叫做代表元.aHHa62.陪集的性质.定理定理 3.1 设, ,于是有GH Gba ,(1) HabHbHaHba1(2) .HbaHbHaHab1证明证明： (只需证明(1),因为(2 可同理证得)() HbHaHba, 由陪集的含义可知,必存在使 ,即HbaQHhhba .1ahb使 HhHax1 bhhhbhahx111.QHhhGH1HbHaHbhhx1使 HhHby
10、2ahhahhbhy1 2122同理 Hhh1 2HaHbHaahhy1 2由上分析知,.HbHa () .HabHbHa1, HbHa Q当任取 时 使 ,经调整得,HbHahaHh bhhaHhhab11即 .1abH() HbaHab1, 则存在使,于是 QHab1Hhhab1Hbhba即 . Hba由上述()()和()知 (1)成立.定理 3.2 设,设,那么GH Gba,(1) .Haa(2) 对于陪集和而言,只有二种关系：HaHb或 HbHa HbHaI证明：(1) GH QaeaHe而.,HaaHaeaa即(2) 如果 ,由定理 1HbHaI,HbHaxI7, .HbHxHxHa
11、,HbHa 3群的陪集分解定义 2 设是群,而,由决定的中的分类叫做的一GGH abHab1GHaG Ga UG个陪集分解. 譬如 23133HHHSUU或 1321233HHHSUU 132133HHHSUUM定义 3.设,那么的右(左)陪集的个数叫做在中的拾数,记为.GH HHGHG :在引例 1 中,令 .0H4:HZ在引例 2 中,令 . ,12,1H3:3HS定理 3.3 (Lagrange 定理) 设 ,如果,且慢,那么 GH nHNG,HG :j.njN 证明: ,这表明在中的右陪集只有个,从而有的右陪集分解:QHG :jHGjG（其中）jHaHaHaHaGLUUU321HHa
12、1由引理知, nHaHaHajL21所以 .njNjHaG1四、群的子群乘积的阶的数值体现：1设 H，K 是群 G 的两个有限子群，则 KHKHHK证明：由于 HKH，设，且mKHH，)()()(21KHhKHhKHhHm,HhijiKhhji,1则KKHhKHhKHhHKm)()()(21=KKHhKKHhKKHhm)()()(218 HKK （HK）K=K,;)KH(KxuKx KHu且 HukxKukKKH)(， y=e Ky;)KH(Ky 从而;)KH(KKKK )KH(KhKhKhHKm21 ，jiKhhji,1khkhji从而 , 即KmHK KHKHHK（证毕）2.根据两个子群的
13、乘积的阶的算法，下面对三个子群的乘积作一下详细研究：设 H,K,L 是群 G 的三个有限子群，则HKL= HKL/(HKHLKL)证明：由上知HKL=HKL/HKL=(HK/HK)( L/HKL)又因为HKL=HLKL,所以 L/HKL=L/(HLKL) HKL= HKL/(HKHLKL)（证毕）3那么对于 n 个子群我们有如下结论：设 是群 G 的 n 个有限子群，则n21HHH( 1ij n) )(HH1, 1n21 n21jinjiHHHHHH证明：（归纳法）.当 n=2 时：证明过程如 1 所示。.当 n=k-1 时：由上知：1 -k2-k2112-k21 1 -k21HHH HHHH
14、HHHHk9又因为=1 -k2-n21HHHH)()(121211knkkHHHHHH 所以 (1ijk-1) )(HH1, 11 -k21 1 -n21jinjiHHHHHH即当 n=k-1 时结论成立。.所以当 n=k 时结论成立，即( 1ij n) )(HH1, 1n21 n21jinjiHHHHHH（证毕）参考文献参考文献1 张禾瑞张禾瑞 近世代数基础近世代数基础M 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，19782 徐德余、唐再良徐德余、唐再良 近世代数近世代数M 四川：四川大学出版社，四川：四川大学出版社，20063 杨子胥杨子胥 近世代数近世代数M 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，20004 杨杨 冰冰 关于群中乘积元素
