《机械振动5-耦合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械振动5-耦合（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、534-2 耦合、主坐标我们分析图 4-1 例 4-1 所示的振动系统运动微分方程(4-1b)& &()& &()xkk mxk mxxk mxkk mx112112122221232200 上式是通过弹性地耦合在一起的，正如式（4-20）矩阵式k所示。k2现在我们来研究可能使这组方程解耦所采用的适当的坐标变换。为了使式（4-1b）解耦，设新坐标(4-28)qqxxqqxx11122212 (,)(,)以便使方程组（4-1b）可以变成(4-29)& & &qqqq112 1222 200 很显然，式（4-29）的两个方程互相独立，犹如单自由度系统相仿，它们的解可以立即写出如下：(4-30)qt
2、AtqtAt11112222( )sin()( )sin() 本节不拟详细叙述复杂的数学证明，而只引用如下的结论，即设定新坐标，线性变换(4-31a)qa xa xqa xa x11111222211222 54确实存在，并且可以使方程组（4-1b）解耦。为了说明方便，仍然研究例 4-1 所示的振动系统( 页)，。重新把方程组（4-k30 mmm12 kk13 kk22 31a）写成它的逆变换形式（原坐标形式）(4-31b)xb qb qxb qb q11111222211222 上式求导两次，可得(4-32)& & & & & & &xb qb qxb qb q11111222211222
3、把方程组（4-31b），（4-32）及 m，k 的假设值代入方程组（4-1b），并且满足式（4-25），即(4=33)b bb b112112221 21 0 5 .这样，四个系数中只有两个是任意的。现令，即可得到和bijbb11121 b212 ，故所要求的线性变换（逆变换形式，即坐标形式）为b220 5 .(4-34)xqqxqq11221220 5 .把式（4-34），（4-32）及 m，k 值、的值代入（4-1b）中，即可得到变换后的运动bij微分方程& & &qk mqqk mq1122060 由观察可知，和 1 k m就是振系的固有频率。 26 k m55用线性变换的坐标和（即由振
4、型元素、所建立的新坐标）q1q2b11b12b21b22建立的振系运动微分方程组是互相独立的，这种坐标称为主坐标或固有坐标。虽然确定主坐标时的数学推导是有点亢长（这里已省略），但是在求多自由度系统的强迫振动时将会看到主坐标是十分有用的。此外，我们注意到用上述方程组得到的这两个比值与采用直接解法求得的振幅比和正好一样。这并非是b bb b11211222,r( )1r( )2“偶然巧合”，在以后还要加以利用。例 4-4 已知例 4-3 汽车振系的两个振型，即时的振型为 1xll 216 10 464. .时的振型为 2xll 0 15516 464.试求主坐标和的线性变换。q1q2解 已知例 4
5、-3 汽车振系的自由运动，为x t ( ) ( ) txlAtlAt 21610 155121112222.sin().sin()得一模态矩阵为 uuull .122160 155 11主坐标和的逆线性变换为q1q2xlqlqqq 2160 1551212. 56上面而节我们研究了二自由度振系的运动微分方程的建立方法；求解固有频率和振型；方程的耦合、弹性耦合、质量（惯性）耦合的概念；几种矩阵形式的表达式，即位移、速度、加速度列向量，质量矩阵，刚度矩阵，外力列向量；以及主坐标、解耦、坐标变换等概念。4-3 强迫振动对于无阻尼二自由度系统强迫振动的一般性质，仍以前节的弹簧质量系统为例进行讨论，并且
6、设二质量与分别受到简谐激振力和的作用，m1m2Hpt1sinHpt2sin如图 4-6 所示。这里 p 是激振力频率。在前节分析的基础上，可以直接列出系统的强迫振动微分方m1m2k1k2k3k1x1x1x2图46 Hpt1sinHpt2sin程57(4-36)m xkkxk xHptm xk xkkxHpt1112122122212322& &()sin& &()sin 同样令akk mbk mck mdkk m 1212122232以及(4-37)hH mbH m11122 于是方程（4-36）可以写成(4-38)m xaxbxhptm xcxdxhpt1112122122& &sin& &
7、sin 这是一个二阶常系数非齐次微分方程，由第二章知，非齐次微分方程的特解形式如下(4-39)xBptxBpt1122 sinsin上式表示系统的稳态振动。将其代入方程（4-37），可得(4-39)()()apBbBhcBdpBh 2 12112 22系数行列式为 ()()()papbcdpapdpbc22222 ()() 122 222 pp58其中和为振系的固有频率，由式（4-7b）确定。方程组（4-39）对和求 1 2B1B2解（参见线性代数中非齐次线性方程组的解法，应用克莱姆（Cramer）法则可直接写出方程组的解），可得(4-40)Bdphbh pBchaph p12 12 2212
8、 2 2 () ()() () 可见在简谐激振力作用下，振系的稳态响应是以激振力的频率作简谐振动的，其振幅和与激振力的大小和有关，尤其还与频率比（激振频率与固有频率之比B1B2H1H2、）有很大关系。p 1p 2由式（4-40）可以看到，当激振频率等于固有频率或时，振幅趋于无限大， 1 2即此时发生共振。二自由度系统有两个共振频率，当时为一阶共振，当p 1时为二阶共振。实际上，由于阻尼的存在以及当振幅增大时系统会出现非线性p 2 特征，因而共振时振幅幅值还是有限值，但是当小阻尼时共振振幅可以相当大。同时，由式（4-40）可知，振系的振幅比(4-41)B Bdphbh chaph122 1212
9、 2 () ()上式说明，在激振力的幅值和频率为一定的条件下，其振幅比是定值，即振系具有一定的振型。而当激振频率等于振系的固有频率时，将代入式（4-41），可得p 1B Bdhbh chah1212 12112 21 () ()另一方面，考虑式（4-8）中的59rA Ab ad c( )( )( )11121 1212 可得A Abh ahdh ch1121212 212 11( )( )()() 然后按比例式相加法则（即合比性质），可得A Adhbh chah112112 12112 2( )( )() () 于是可推得B BA A1211211 ( )( )同理可得当时有p 2B BA A
10、1212222 ( )( )这表明振系在共振频率下的振型就是对应的（固有频率的）主振型。在实际应用中经常利用这个特性，即利用共振法来测定振系的固有频率，同时由测得的振型就可以判断出固有频率的阶次。近代已发展为“实验模态分析方法”，也称为模态参数识别，其用途广泛，详见参考文献。 38两个质量的振幅频率响应曲线的作法与单自由度系统强迫振动一样。下面用实例来说明。例 4-5 在例 4-2 图示的振系中，已知，mm1 mm22 kkk12 ，今在质量上作用一激振力，试求：kk32 m1Fpt1sin60（1）振系的响应；（2）共振时的振幅比；（3）两个质量的振幅频率响应曲线。解 由式（4-36）得强迫
11、振动的微分方程m xaxbxhptm xcxdx1112122120& &sin& & 其中akk mk mbk mk mck mk mdkk mk mhF mh 121212223211 2223 20（1）振系的响应在例 4-2 中已求得，将各数据代入式（4-40），可得 12 k m 225 2 k mBpbhppkmpF kmpkmpBppkF kmpkmpk mF m k mk mk mF m k mk m13 22 2 25 222 1 2222 25 221 221132 5252 ()()()() ()()()()()()于是得xkmpF kmpkmppt12 1 2232 5
12、2 () ()()sinxkF kmpkmppt21 2252 ()()sin61（2）共振时的振幅比B Bkmp k12232 当时，可得pk m2 12 B Br1211 ( )当时，可得pk m2 225 2 B Br1222 ( )即此振系在共振频率下的振型就是对应的主振型。（3）振幅频率响应曲线将所求得的振幅、改写为B1B2BF kppp113 22222 5112 ()1() 1() BF kpp21 225112 1() 1() 以为横坐标，、为纵坐标，分别作出质量，的幅频响应曲线，p 1B1B2m1m2如图 4-7a)、b)所示。62图 4-7从图中可以看到，当和（即）时，振幅、达到p 11 p 15 2 p 21 B1B2最大值，即出现两次共振；而当时，即当激振频率，p
