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1、 第 - 1 - 页 第 63 讲：空间距离主要知识及主要方法： 1.七种距离：点与点、点到直线、两条平行直 线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直 线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离. 2.点与点的距离：（1）解三角形及多边形；（2）向量法：空间任意两点 、 间的距离即线AB段 的 长度： 设 、 ，则AB1,xyz2,Bz222111Axyz3.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.求法：（1）直接法：求两异面直线的公垂线段的长度；（2）转化法：转化为线面距离或面面距离；4.点到平面的距离：求
2、法：（1）直接法：（2）等体积法：（3）转化为线面平行法：（4）线段比例转化法：（5）向量法：设 是平面 的法向量，在 内取一点 , 则 到 的距离nrBAcosABndurgr5.直线到平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离). 6.距离的共性：这其中距离中，虽然定义不同，但 总具有下列几个特征：指相应线段的 长度；相关线段中最短的；除两点间距离外，其余总与垂直相联系，方法就有几何法和代数等方法.7.求距离的一般步骤：找出或作出相关的距离； 证明它符合定义；归到某三角形或多边形中计算;作答.典例剖析：例 1.如图所示，在直三棱柱 ABC
3、A1B1C1中，ACB=90，AC=BC=a，D、E分别为棱 AB、BC 的中点，M 为棱 AA1上的点，二面角 MDEA 为 30.（1）证明：A 1B1C 1D； （2）求 MA 的长，并求点 C 到平面 MDE 的距离.（1）证明 连结 CD.三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，CC 1平面 ABC. CD 为 C1D 在平面 ABC 内的射影.在ABC 中，AC=BC，D 为 AB 的中点，ABCD，ABC 1D. A1B1AB，A 1B1C 1D.（2）过点 A 作 CE 的平行线交 ED 的延长线于 F，连结 MF.D、E 分别为 AB、BC 的中点，DEAC. 又AFCE，CE
4、AC.AFDE. 第 - 2 - 页 MA平面 ABC， AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影，MFDE. MFA 为二面角 MDEA 的平面角，MFA=30在 RtMAF 中，AF= BC= ，MFA=30,AM= a，21a63作 AGMF 于 G. MFDE，AFFE，DE平面 AMF. 平面 MDE平面AMF.AG平面 MDE.在 RtGAF 中，GFA=30，AF= . AG= ，即点 A 到平面 MDE 的距离为2a4a. 4aCADE,CA平面 MDE， 点 C 到平面 MDE 的距离为 .4a例 2.已知正方形 ABCD，边长为 1，过 D 作 PD平面 ABCD，且 PD
5、=1，E、F 分别是AB、BC 的中点.（1）求 D 点到平面 PEF 的距离； （2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离.解 (1)EFBD，EFPD. EF平面 PDB.平面 PEF平面 PBD，交线为 PG，D 点到平面 PEF 的距离，就是 D 到 PG 的距离 h.在PDG 中，h= ，而 PD=1，DG= ， PG= ，PG 24343168h= ， 即 D 点到平面 PEF 的距离是 .17342 7另解（等积法）：V DPEF=VPDEF，即 SPEF h= SDEF PD， h=3131 173421PEFDSD 点到平面 PEF 的距离是 .17（2）连结 AC 交 BD
6、 于 O，则 O 到平面 PEF 的距离就为所求.因为平面 PDG平面PEF，所以 O 到 PG的距离就是 O 到平面 PEF 的距离.过 O 作 OHPG 于 H 在 RtPDG 中，OHPG，PDGOHG， PD=1，OG= ，.GPD241PG= OH= .4321 .17431O直线 AC 到平面 PEF 的距离为 .17例 3.（07 辽宁）如图，在直三棱柱 中， ，1ABC90AB11CBMDE 第 - 3 - 页 ， 分别为棱 的中点， 为棱 上的点，二面角 为ACBaDE,ABC， M1AMDEA（1）证明： (此小题略去不写 )；（2）求 的长，并求点 到平面 的距301C离
7、 (请用多种方法，至少要用向量法)（I）证明：连结 ，三棱柱 是直三棱柱，C1ABC平面 ，1AB为 在平面 内的射影 中， ， 为 中点，D ABD， ， 1D1 1（II）解法一：过点 作 的平行线，交 的延长线于 ，连结 EEFM分别为 的中点， E， ， 又 ， 平面 ，AFC A F M C为 在平面 内的射影 MB为二面角 的平面角， 30A在 中， ， ， Rt 12a6a作 ，垂足为 ， ， ， 平面 ， 平面G GDE DE MFDE平面 ， AF平面 DE在 中， ， ， ，即 到平面 的距离为 t 302aAF4GA4a， 平面 ，C M到平面 的距离与 到平面 的距离相
8、等，为 DE4a解法二：过点 作 的平行线，交 的延长线于 ，连接 分别为EFMDE，的中点，AB，又 ， 平面 ，DE AFC A ABC是 在平面 内的射影， B为二面角 的平面角， M30在 中， ， ， Rt 12aMF6a设 到平面 的距离为 ， CEhCDEV13CDEMDESAh， ， ，218DESA 36a 22cos01MFSaA， ，即 到平面 的距离为 2236ah44例 4.如图，在直三棱柱 ABC 中， AB = 1, ；点 D、E 分别在1CB1,09B上，且 ，四棱锥 与直三棱柱的体积之比为 3：5。、B1DB1（1）求异面直线 DE 与 的距离；（2）若 BC
9、 = ，求二面角 的平面211BCA角的正切值。解法一：（）因 ，且 ，故 面 ，11A111 A B C D E 1 1 1 1A1C1BAG 第 - 4 - 页 从而 ，又 ，故 是异面直线 与 的公垂线1BCE1D1BE1BCDE设 的长度为 ，则四棱椎 的体积 为DxCAV11 1()(2)366ABVSx而直三棱柱 的体积 为 211ABCSAB 由已知条件 ，故 ，解之得 12:353()5x85x从而 8BD在直角三角形 中， ，1A2211 95DAB又因 ，故 1112ABDSE 12BDEA（）如答（19）图 1，过 作 ，垂足为 ，连接B1FCF，因 ， ，故 面 1F1
10、CD1由三垂线定理知 ，故 为所求二面角的平面1A1角在直角 中， ，1B2211365CB又因 ，1112CDSFD 故 ，所以 139F13tan2AF解法二：（）如答（19）图 2，以 点为坐标原点 建立空间直角坐标系 ，则BOOxyz， ， ， ，则 ， 设 ，(0)B， ， 1()， ， (01)A， ， 1(2)， ， 1(02)A， ， (01)B， ， 1(02)Ca， ，则 ，1Ca， ，又设 ，则 ，0()Eyz， ， 10()BEyz， ，从而 ，即 1BAC又 ，所以 是异面直线 与 的公垂线D11DE下面求点 的坐标设 ，则 (0)z， ， (0)Bz， ， A()B
11、OCDE1BC1A答（19 ）图 2yxzFABCDE1B1C1A答（19 ）图 1F 第 - 5 - 页 因四棱锥 的体积 为1CABD1V11()36VSABC1(2)6zBA而直三棱柱 的体积 为 1211SCAB由已知条件 ，故 ，解得 ，即 2:353()5z8z05D， ，从而 ， ， 10DB， ， 10A， ， 0DEy， ，接下来再求点 的坐标E由 ，有 ，即 （1）1102()5z又由 得 （2）1A 08zy联立（1） ， （2） ，解得 ， ，即 ，得 故0490z48092E， ， 14029BE， ，1419BE（）由已知 ，则 ，从而 ，过 作 ，2C1(02)， ， 1(20)5DC， ， 1B1FCD垂足为 ，连接 ，设 ，则 ，因为F1A1()Fxz， ， 11()BFxz， ，故10BDA1245xz因 且 得 ，即180F， ， 1FDC 1852zx1225xz联立解得 ， ，即 17x142z4207F， ，则 ， 102AF， ， 11B， ，21103|79B又 ，故 ，1 2()077DCAA1DC 第 - 6 - 页 因此 为所求二面角的平面角又 ，从而 ，1AFB1(0)AB， ， 10ABF故 ， 为直角三角形，所以 1 11|3tan2F
