《高考立体几何知识点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考立体几何知识点（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一篇 立体几何初步知识网络（1）空间几何体的知识点：（2）点、直线、面的位置关系：（3）空间直角坐标系:知识要点梳理：知识点一：常见空间几何体定义1 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，(1) 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，直棱柱的侧棱即为棱柱的高(2) 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱，两底面中心的连线即为棱柱的高 2 棱锥：有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥正棱锥具
2、有性质：正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高(2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体(3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形3 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台4 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱5 圆锥：以直角三角形 的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥6 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台7 球：以半圆的直径所在直线为旋
3、转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球知识点二：空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图注：1、球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形2、圆柱的正视图、侧视图都是全等矩形，俯视图是圆3、圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是圆及圆心4、圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰体性，俯视图是两个同心圆。表示空间图形的平面图形 ，叫做空间图形的直观图可用 斜二测画法画空间图形的直观图知识点三：简单几何体的表面积与体积1旋转体的表面积(1) 圆柱的表面积
4、S 2r22rl( 其中 r 为底面半径，l 为母线长) (2) 圆锥的表面积 S r2rl（其中 r 为底面半径， l 为母线长) (3) 圆台的表面积公式 S 其中 r 、r 为上、下底面半径，l 为母线2l长) (4) 球的表面积公式 S 4 ( 其中 R 为球半径) 22几何体的体积公式(1)柱体的体积公式 VSh(其中 S 为底面面积，h 为高)(2)锥体的体积公式 V Sh(其中 S 为底面面积，h 为高) 13 (3)台体的体积公式 V (S S)h( 其中 S、S 为上、下底面面积，h 为高)13 SS(4)球的体积公式 V (其中 R 为球半径)43第二篇 空间向量与立体几何
5、知识网络知识要点梳理知识点一：平面的法向量定义：已知平面 ，直线 ，取 的方向向量 ，有 ，则称为 为平面 的法向量。注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1） 线线平行设直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则要证明 ，只需证明 ，即。（2） 线面平行（3） 设直线 的方向向量是 ，平面 的向量是 ，则要证明 ，只需证明，即 。根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线
6、和这个平面平行” ，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。（4） 面面平行 由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。 若能求出平面 ， 的法向量 ， ，则要证明 ，只需证明 。知识点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。（1） 线线垂直设直线 ，
7、的方向向量分别为 ， ，则要证明 ，只需证明 ，即。 （2）线面垂直 设直线 的方向向量是 ，平面 的向量是 ，则要证明 ，只需证明 。 根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（3）面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。 证明两个平面的法向量互相垂直。知识点四：利用向量求空间角（1） 求异面直线所成的角已知 a，b 为两异面直线，A ，C 与 B，D 分别是 a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为 ，则 。注意：两异面直线所成的角的范围为（0 0,900。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的
8、夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。（2） 求直线和平面所成的角设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的角为 ，则有 。（3） 求二面角如图，若 于 A， 于 B，平面 PAB 交 于 E，则AEB 为二面角的平面角，AEB+APB=180。若 分别为面 ， 的法向量， 则二面角的平面角或 ，即二面角 等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。 当法向量 与 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角 的大小等于 ，的夹角 的大小。 当法向量 ， 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角 的大小等于 ，的夹角的补角 的大小。知识点五：利用向量求
9、空间距离（1） 空间两点间距离公式： 设点 ， ，则（2）两异面直线距离的求法如图，设 ， 是两条异面直线， 是 与 的公垂线段 AB 的方向向量，又C，D 分别是 ， 上任意两点，则 与 的距离是 。（3）点面距离的求法：如图，BO平面 ，垂足为 O，则点 B 到平面 的距离就是线段 BO 的长度。若 AB是平面 的任一条斜线段，则在 RtBOA 中，。设平面 的法向为 ，则点 B 到平面 的距离为 。注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。规律方法指导1平面法向量的求法（1）平面法向量的确定通常有两种方法：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；几何体中没有具
10、体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量。（2） 在空间直角坐标系中，求出一个平面的法向量的坐标，一般步骤如下： 设出平面的法向量为 。 找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组 解方程组，取其中的一个解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。2用向量语言表述线与面之间的位置关系设两不同直线 ， 的方向向量分别为 ， ，两不同平面 ， 的法向量分别为 ，则 线线平行： ， ； 线线垂直： ； 线面平行： 在平面 外， ； 线面垂直： ， ； 面面平行： ， ； 面面垂直： 。关键
11、：用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。3利用向量求空间角的方法（1）线线角的求法：设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a、b，则直线 AB 与 CD 所成的角为。（3） 线面角的求法：设 n 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，则直线 与平面 所成的角为（如图） 。（4） 二面角的求法：设 n1，n 2分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）4用向量方法求点面距离的一般步骤：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。即：点 A 到平面 的距离 ，其中 ， 是平面 的法向量。线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。直线 与平面 之间的距离：，其中 ， 是平面 的法向量。两平行平面 之间的距离：，其中 ， 是平面 的法向量。
