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1、第六专题：线性规划题（选考） 一、命题规律讲解 1、 求线性（非线性）目标函数最值题 2、 求可行域的面积题 3、 求目标函数中参数取值范围题 4、 求约束条件中参数取值范围题 5、 利用线性规划解答应用题 二、北京历年高考真题实例分析 2010 线性规划（11）若点 p（m，3）到直线4310xy 的距离为 4，且点 p 在不等式2xy3 表示的平面区域内，则 m= 。答案-3 【命题意图】本题考查点到线的距离问题和二元一次不等式表示的平面区域问题，和应用方程的思想进 行解题的能力。【试题解析】由题意可得49 145 233mm ，解得 m=-3【2011北京文，7】7某车间分批生产某种产品
2、，每批的生产准备费用为 800 元。若每批生产x件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A60 件 B80 件 C100 件 D120 件【答案】B【解析】仓库费用2 188xxx ，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和2 8008008 8x xyxx 8002208x x，当且仅当800 8x x即80x 时取等号，所以每批应生产产品 80 件，故选择B 2012 6已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a32a2 （B） （C）若 a1=a3，则 a1=a2（D）若 a3a1，则 a4a
3、22 22 32 12aaa【解析】当，时，可知，所以 A 选项错误；当时，C 选01a0q01a03a02a1q项错误：当时，与 D 选项矛盾，因此描述均值定理的 B 选项为0q241313aaqaqaaa正确答案，故选 B。 【答案】B 20132设，且，则（ ）abcRabA B C Dacbc11 ab22ab33ab答案：答案：D 解析：解析：A 选项中若c小于等于 0 则不成立，B 选项中若a为正数b为负数则不成立，C 选项中若a，b均 为负数则不成立，故选 D.12设为不等式组所表示的平面区域，区域上D0 20 30x xy xy D的点与点之间的距离的最小值为 。(1,0)12
4、答案：答案：2 5 5 解析：解析：区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到D的距离最小值为(1,0)到直线 2xy0的距离.|2 1 0|2 5 55 三、必考知识点及题型讲解题型一、求线性（非线性）目标函数最值题 一、必考知识点讲解 1线性规划问题涉及如下概念： 存在一定的限制条件，这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示， 称为线性约束条件. 都有一个目标要求，就是要求依赖于 x、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊 地，若此函数是 x、y 的一次解析式，就称为线性目标函数. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小
5、值问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解. 所有可行解组成的集合，叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2线性规划问题有以下基本定理： 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. 凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法.(四)圆的有关问题 线性规划问题在近几年全国各省市的高考试题中，都是以选择题或填空题的形式呈现的；考查内容 除了常见的截距型、距离型和斜率型问题外，还出现了求平面区域的面积、求约束条件中的参变量范围 以及
6、求目标函数中的参变量范围等问题，集中体现了化归思想、数形结合思想以及运动变化思想等等； 不仅考查了学生的画图、识图能力，还对学生的观察能力、联想能力以及推理能力提出了较高的要求.二、经典例题分析 一、一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题 线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得, x y最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解。, x y例
7、例 1 1 已知，求的最大值和最小4335251xyxyx 2zxyz值约束条件： ，是关于的一个二元一次不等4335251xyxyx , x y式组； 目标函数：，是关于的一个二元一次函数；2zxy, x y可行域：是指由直线，和所围43xy 3525xy1x 成的一个三角形区域（包括边界）（如图 1） ；U可行解：所有满足（即三角形区域内（包括边界）的点的坐标）实数都是可行解；, x yU, x y最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线（为参数）中的, x yU, x y0xyzz取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解。z, x y当线性约束条件中的二元一次不等式组中
8、出现一个二元一次方程（或一元一次方程）时，则可行域 就转变成一条线段（或一条直线，或一条射线） 。例例 2 2已知满足，求的最大, x y1 241 26xy xy xy 5xy值和最小值约束条件：，是关于的一个二元一次1 24126xy xyxy , x y不等式组； 目标函数：，是关于的一个二元一次函5zxy, x y 数； 可行域：是指由直线被直线和1xy26xy 所夹的一条线段（如图 1） ；241xyAB可行解：所有满足（即线段上的点的坐标）实数都是可行解；, x yAB, x y最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线（为参数）中的, x yU, x y50xyzz取得最大值和最小
9、值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解。z, x y这类问题的解决，关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形，利用简 单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。二、二、非线性约束条件下线性函数的最值问题非线性约束条件下线性函数的最值问题 高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是 一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标, x y即最优解。, x y_ _ _ _ _ _
10、_ _ _ _ _ _ O 2 4 6 8 x y 2 4 x=1 x-4y=-3 3x+5y=25 图 1 1xy 26xy 241xy x O y A B 图 2 例例 3 3 已知满足，求的最大值和最小值, x y224xy32xy约束条件：，是关于的一个二元二次方程；224xy, x y目标函数：，是关于的一个二元一次函32zxy, x y 数；可行域：是圆上的圆周（如图 3）224xyU可行解：所有满足（即圆周上的点的坐标）实, x yU数都是可行解；, x y最优解：，即可行域内一点，使得一组, x yU, x y平行线（为参数）中的取得最大值和最小320xyzzz值时，所对应的点
11、的坐标就是线性规划的最优解。, x y给定区间内的函数最值问题也可以看作是这类问题。例例 4 4 求函数的最大值和最小值。4yxx 1,5x约束条件：是关于的一个二元不等式组；15 4xyxx, x y目标函数：是关于的一个二元一次函数；zy, x y可行域：函数的图象在直线和之间（包括端点）4yxx1x 5x 的部分曲线（如图 4）U可行解：所有满足（即曲线段上的点的坐标）实数, x yU都是可行解；, x y最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线, x yU, x y（为参数）中的取得最大值和最小值时，所对应的点的坐0yzzz标就是线性规划的最优解。, x y这类问题的解决，关键在于能够
12、正确理解非线性约束条件所表达的几何意义，并画出其图形，利用 简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。三、三、线性约束条件下非线性函数的最值问题线性约束条件下非线性函数的最值问题 这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一 个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段） ，区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即, x y, x y最优解。例例 5 5已知实数满足不等式组，求, x y10 10 1xy xy y 的最小值。22448xyxy约束条件：
13、是一个关于的一个二元一次不10 10 1xy xy y , x y等式组；目标函数：是一个关于的一个22448zxyxy, x y二元二次函数，可以看作是一点到点的距离的平方；, x y2,21 5 6 4 y x O 图 4 Oxy2图 3可行域：是指由直线，和所围成的一个三角形区域（包括边界）10xy 10xy 1y （如图 5） ；U可行解：所有满足（即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数都是可行解；, x yU, x y最优解：，即可行域内一点，使得它到点的距离最小，则其距离的平方也取, x yU, x y2,2得最小值，此时所对应的点的坐标就是最优解。, x y例例 6 6实数满
14、足不等式组，求的最小, x y0 0 220y xy xy 1 1y x 值约束条件：是一个关于的一个二元一次不等00 220yxy xy , x y式组；目标函数：是一个关于的一个二元22448zxyxy, x y函数，可以看作是一点与点的斜率；, x y1,1可行域：是指由直线，和所围成的0y 0xy220xy一个三角形区域（包括边界）（如图 6） ；U可行解：所有满足（即三角形区域（包括边界）内的点, x yU的坐标）实数都是可行解；, x y最优解：，即可行域内一点，使得它与点的斜率取得最小值，此时所对应的, x yU, x y2,2点的坐标就是最优解。, x y这类问题的解决，关键在
15、于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性 目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。四、四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题非线性约束条件下非线性函数的最值问题 在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等 式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段） ，区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即最, x y, x y优解。例例 7 7已知满足，求的最大值和最小值, x y21yx2y x约束条件：是一个关于的一个二元方程；21
