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1、第 1 页 共 6 页专题三：专题三：数列与等差数列数列与等差数列综合选讲综合选讲 一、知识梳理一、知识梳理 1 1等差数列的定义：等差数列的定义： ( ( 证明、判证明、判11(,2,*)(,*)nnnnnaaad dnnNaad dnN等差常数（或常数断等差的方法一断等差的方法一) )2 2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： 变形公式：dnaan) 1(1*),()(Nnmdmnaamn （）nnnnaaaaanb等差的通项形如),(Rba1 1nnmaaaaddnnm或3 3等差中项公式：等差中项公式：2baA（无穷数列） （证明、判断等差的方法二）（证明、判断等差的方法二）*),
2、 2(211Nnnaaaannnn等差4 4等差数列的求和公式：等差数列的求和公式：1() 2n nn aaS变形 )*)(2)(1实施整体代换Nkaanknk1(1) 2nn nSnad2 1()22ddnan变形注 1：a1,an,n,d,Sn五个量中知三求二，注意公式的选择。 注 2：an为等差数列an的前 n 项和形如 Sn=An2+Bn(A,BR) 5 5等差数列的重要性质：等差数列的重要性质：（1 1）等差数列的单调性）等差数列的单调性：0;0;0.nnndadada 单增单减常数列（2 2）与首尾等距的两项的和彼此相等。）与首尾等距的两项的和彼此相等。 。LL123121knkn
3、nnaaaaaaaa（3 3）若若, qpnmqpnmaaaaNqpnm则*,特别地，pnmaaapnm2,2则（4 4）在等差数列）在等差数列中取出部分项，只要取出项的下标数（在原数列中）成等差数列，则取中取出部分项，只要取出项的下标数（在原数列中）成等差数列，则取na出的项构成的新数列成等差数列。出的项构成的新数列成等差数列。 （部分项）（部分项） （5 5）等差（公差等差（公差 d d） ，则，则na);()(dccan公差等差常数(0)();nkakkd公差；11(0)()nakdkk公差若数列若数列（公差（公差 d d1 1） 、bbn n （公差（公差 d d2 2）均等差，则）均
4、等差，则aan nb bn n 等差（公差等差（公差nad d1 1d d2 2） 。 （6 6） “等长片断之和成等差等长片断之和成等差”：等差（公差等差（公差 d d） ，na1 1, ,S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m, , S S3m3m-S-S2m2m, , S S4m4m-S-S3m3m, ,成等差（公差成等差（公差 m m2 2d d） ；2 2, ,a a1 1+a+a4 4+a+a7 7,a,a2 2+a+a5 5+a+a8 8,a,a3 3+a+a6 6+a+a9 9,a,a4 4+a+a7 7+a+a1010，成等差；成等差；12321,nnna a aaaaL
5、第 2 页 共 6 页（7 7）等差，若等差，若 a ap p=q,a=q,aq q=p,(p=p,(pq),q),则则 a ap+qp+q=0=0。na（8 8）等差，其前等差，其前 n n 项和为项和为 S Sn n，若，若，则，则。na,()pqSq Sp pq()P qSpq 6 6等差数列等差数列aan n 的前的前 n n 项和的最值问题项和的最值问题：2 1() (*)22nddSnan nN法一：二次函数图象法法一：二次函数图象法，结合 nN*;（函数方法） 法二：（符号转折项法）法二：（符号转折项法） a10,d0，am+10,该数列的项从负数递增到正数，Sn存在最小值，使的
6、正整数10 0mma a m，代回验算，若 am0,则有一解，Sm最小；若 am=0,am+10,则有两解， Sm=Sm-1最小。 7 7等差数列等差数列中，前中，前项和项和的性质：的性质： nan12341nnnSaaaaaaL设 S奇=a1+a3+a5+，S偶=a2+a4+a6+，Sn=S奇+S偶 （1）n 为奇数时， （令 n=2k-1） 1121()(21)()(21)22nk nkn aakaaSka即11 22()()nnnSnaan为中间项为奇数时=a1+(k-1)d=ak=21na即 S奇-S偶=（为中间项）21na21na故：当当 n n 为奇数时，为奇数时， （为中间项）为
7、中间项）1 21 2nnSSnaSSa 奇偶奇偶21na51234232221,kkkka a a a aaaaaLL135232124622()kkkSSaaaaaaaaaLL奇偶k 项k-1 项第 3 页 共 6 页由此可推导：，1 21 2(1) 21 2nnnSanSa奇偶1()1SnnSn奇偶为奇数（2）n 为偶数时， （令 n=2k） 112 1122()2 ()()()222nk nkknnn aak aanSk aaaa故 Sn=S奇+S偶=),)()(2122122为中间两项为偶数 nnnnaanaanS偶-S奇=kd=，S偶-S奇=（n 为偶数）dn 2dn 2故：当当 n
8、 n 为偶数时为偶数时, ,122()22nnnSaanSd 奇偶偶奇SS),( 122为中间两项 nnaa由此可推导： ，21222nnnanSa 奇偶S212()nnaSnSa 奇偶为偶数二、能力巩固二、能力巩固1 （12 年高考（江西理） ）设数列 ,nnab都是等差数列,若11337,21abab,则55ab_。2.已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ） na*pqN，p qpqaaa26a 10aA B C D1653330213.（09 全国卷理）设等差数列 na的前n项和为nS，若535aa则95S S 。 123122212,kkkkka a aa aaaaLL第 4 页 共
9、 6 页4.（09 宁夏海南卷）等差数列 na的前 n 项和为nS，已知2 110mmmaaa，2138mS, 则m （ ）A.38 B.20 C.10 D.9 5.设 Sn是等差数列的前 n 项的和，求的值。na241 3S S48S S6.是等差数列的前项和，且。列举几个满足上述条件的数列，归纳出这些nSnan17nnSS数列都具有的一条共同的性质，这个性质是_。7.（10 浙江文数）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的 第行第列的数是_。n1n 第 1 列第 2 列第 3 列 第 1 行123 第 2 行246 第 3 行369 8 （12 浙江理） ）设n
10、S是公差为的无穷等差数列 na的前n项和,则下列命题错误的(0)d d 是（ ）A若，则数列有最大项 B若数列有最大项,则0d nS nS0d C若数列是递增数列，则对任意的，均有 nSnN0nS D若对任意的，均有，则数列是递增数列nN0nS nS第 5 页 共 6 页9.已知两个等差数列和的前项和分别为 A 和，且，则使得为na nbnnnB745 3nnAn Bnnna b整数的正整数的个数是（ ）n A2 B.3 C.4 D. 510.（10 辽宁理数）已知数列 na满足1133,2 ,nnaaan则na n的最小值为_。11 （2012 年高考（湖北文） ）传说古希腊毕达哥拉斯学派的
11、数学家经常在沙滩上面画点或用小 石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3, 6,10, ，记为数列 na,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 nb,可以推测：()2012b是数列 na中的第_项； ()21kb_。(用k表示)12.（10 浙江文数）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 满足56S S+15=0。（）若5S=5，求6S及 a1；（）求 d 的取值范围。13610第 6 页 共 6 页13已知一个数列 na的各项是 1 或 3，首项为 1,且在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个3，即 1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,。记数列的前n项和为nS。（1）试问第 2006 个 1 为该数列的第几项?请确定； （2）求；2006a（3）求。2006S14 （12 年高考（四川理） ）已知数列na的前n项和为nS,且22nna aSS对一切正整数 n都 成立。 ()求1a,2a的值；()设10a ,数列110lgna a的前n项和为nT,当n为何值时,nT最大?并求出nT的最大值。
