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1、第 1 页 共 8 页专题四：等比数列、递推数列、数列通项、数列求和选讲专题四：等比数列、递推数列、数列通项、数列求和选讲 1.1.等比数列等比数列 1.（10 山东理数 9）设是等比数列，则“”是“数列是递增数 na123aaa na列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 （12 湖北理）定义在(,0)(0,)U上的函数( )f x,如果对于任意给定的等比数列na， ()nf a仍是等比数列,则称( )f x为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)U上的如下函数:2( )f xx；( )2xf x ；( )|f xx；
2、( )ln |f xx. 则其中是“保等比数列函数”的( )f x的序号为（ ） ABCD 3.（10 安徽理）设 na是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为, ,X Y Z，则下列等式中恒成立的是（ ）A.2XZYB.Y YXZ ZXC.2YXZD.Y YXX ZX4.（10 天津文数）设是等比数列，公比2q ，为的前项和。记 nanS nan*2117,.nn n nSSTnNa设 0nT为数列的最大项，则0n= 。 nT2.2.递推数列的通项公式递推数列的通项公式 （1 1）a an+1n+1-a-an n=f(n)=f(n)叠加法叠加法 （2 2）a an+1n+1
3、=f(n)a=f(n)an n叠积法叠积法 （3 3）可化为等差数列的递推数列可化为等差数列的递推数列：例 （1）设，求通项；112( ),1,()(2,*)2nnxf xxxf xnnNxnx变式练习：求。111,(*),31n n naaanNana第 2 页 共 8 页（2）函数，若数列满足：，( )1xf xx *()nanN2 110,1, ()nnnaaafa求数列的通项公式。 nana解：由题意有 an+1= 2，即= ，即= +1，anan + 1an + 1anan + 11an + 11an- =1，1an + 11an数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列. =1+(
4、n-1)=n，即= 1an1anan，an= 。1 n1 n2 （4 4）可化为等比数列的递推数列：）可化为等比数列的递推数列：a an+1n+1=pa=pan n+q(p+q(p1 1，p p、q q 常数常数) )待定系数法或待定系数法或 配凑法配凑法例已知数列满足且，求。 （答案： na11,2 a * 131()nnaanNna）1132n na变式练习：（09 重庆卷理）设12a ，12 1n naa，2 1n n naba，*nN，则数列 nb的通项公式nb= 。答案：2n+1 提示：由条件得且1 1 1222122221111nnn nn nnnaaabbaa a 14b 所以数
5、列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则114 22nn nb。（5 5）a an+1n+1=pa=pan n+q(n)(p+q(n)(p1)1)法一：法一：a an+1n+1=pa=pan n+q(n)(p+q(n)(p1)1)，再用1 11( ),nn nnnaaq n ppp ,n nnabp令11( )nnnq nbbp则叠加法。 法二：待定系数法法二：待定系数法第 3 页 共 8 页1已知曲线:4 ,:4()xx n nC yCynN，从C上的点(,)nnnQ xy作x轴的垂线，交nC于点nP，再从点nP作y轴的垂线，交C于点111(,)nnnQxy，设111,nnnxaxx
6、1n n nyby。（1）求数列 nx的通项公式； （2）记4n nnca b，数列 nc的前n项和为nS，试比较nS与37 32的大小()nN。2已知点顺次为直线上的点，* 1122(1,),(2,),( ,),()nnByByB n ynNLL1 412xy 点 顺次为轴上的点，其中，* 1122( ,0),(,0),(,0),()nnA xA xA xnNLLx1(01)xaa对任意，点构成以为顶点的等腰三角形。*nN1,nnnA BAnB（1）求数列的通项公式，并证明它是等差数列； ny（2）是常数吗，如果是，求数列的通项公式；如果不是，说明理由。2nnxx nx3设数列的前项和为，已
7、知。 nannS2(1)n nnbabS（1）证明：当时，是等比数列；2b 12n nan第 4 页 共 8 页（2）求。na4已知数列满足。na2111,(N*)21n n naaana（1）求的值；23,a a（2）求数列的通项公式。na5已知数列满足条件:, , 。na1(1)(1)(1)nnnana26a nnban*nN（1）求；1234,b b b b（2）求数列的通项公式并写出推证过程。 nb6设数列 na的各项都是正数，11a 111 12nnnnaa aa（1）求数列 na的通项公式；（2）求证：。 122311111(1)(1)(1)nna aa aa aL第 5 页 共
8、8 页7自然界中出现的诸如云层的边缘，山脉的轮廓、雪花、海岸线等“不规则”几 何形体，难以用经典几何中的直线、光滑曲线来描述。但是 20 世纪 80 年代初，由 芒德布罗所创立的分形几何，提供了研究这类“不规则”几何对象的新思想、新概 念、新方法和新技巧。下面我们看一个与其相关的雪花曲线的简单题目：由图（1）那样的正三角形始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分 后的中段向外作新的等边三角形，但要像图（2）那样去掉与原三角形叠合的边，这样形成六角星形；再在图（2）六角星形几条边外，加它边长的 12 个正三角形，1 3 继续如 此手续 作图 （4） 便产L 生了雪 花曲线。则第（）图中的雪花
9、曲线的边数为_。n3.3.与与的关系的关系nanS1 （1）已知数列的各项均为正数，且，求。 na11()2nn nSaana（2）已知在正项数列中，表示前项和，且，求。 nanSn21nnSana第 6 页 共 8 页变式：已知数列，满足，求 na112311,23(1)(2)nnaaaaananL的通项公式。 na2已知数列的前项之和为，点在直线上，数列满 nannS( ,)nsnn1(1)2yx nb足。*12 2111()222n nnbbba nNL（1）求数列的通项公式； na（2）求数列的前项和。 nbnnT3已知为数列的前项和，且，。nS nan2232nnSann1,2,3,
10、n L（1）求证：数列为等比数列；2nan（2）设，求数列的前项和； 1n nnba nbnnP（3）设，数列的前项和为，求证：。1n ncan ncnnT37 44nT 第 7 页 共 8 页4.4.数列求和数列求和 1设数列前项和为，且。其中为常数， nannS*(3)23()nnm SmamnNm，且。3m 0m （1）求证：是等比数列； na（2）若数列的公比满足且，求 na( )qf m* 1113,()(,2)2nnba bf bnNn的通项公式； nb（3）若时，设，求出；是否存在最大的1m * 12323()nnTaaana nNLnT正整数，使得对任意均有成立，若存在求出的值
11、，若不存在请m*nN8nmT m说明理由。2.(11 安徽理)在数 1 和 100 之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比n2n 数列，将这个数的乘积记作，再令。2nnT,lgnnaT1n （）求数列的通项公式；na（）设求数列的前项和。1tantan,nnnbaa nbnnS第 8 页 共 8 页3.（10 湖南文数）给出下面的数表序列：其中表 n（n=1,2,3 L）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，L2n-1，从第 2 行起， 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并 将结论推广到表 n（n3） （不要求证明） ； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12L，记此数列为 nb，求和：3241 22 31nnnbbb bbb bb bL。()nN
