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1、第 1 页 共 8 页专题四:等比数列、递推数列、数列通项、数列求和选讲专题四:等比数列、递推数列、数列通项、数列求和选讲 1.1.等比数列等比数列 1.(10 山东理数 9)设是等比数列,则“”是“数列是递增数 na123aaa na列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 (12 湖北理)定义在(,0)(0,)U上的函数( )f x,如果对于任意给定的等比数列na, ()nf a仍是等比数列,则称( )f x为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)U上的如下函数:2( )f xx;( )2xf x ;( )|f xx;
2、( )ln |f xx. 则其中是“保等比数列函数”的( )f x的序号为( ) ABCD 3.(10 安徽理)设 na是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为, ,X Y Z,则下列等式中恒成立的是( )A.2XZYB.Y YXZ ZXC.2YXZD.Y YXX ZX4.(10 天津文数)设是等比数列,公比2q ,为的前项和。记 nanS nan*2117,.nn n nSSTnNa设 0nT为数列的最大项,则0n= 。 nT2.2.递推数列的通项公式递推数列的通项公式 (1 1)a an+1n+1-a-an n=f(n)=f(n)叠加法叠加法 (2 2)a an+1n+1
3、=f(n)a=f(n)an n叠积法叠积法 (3 3)可化为等差数列的递推数列可化为等差数列的递推数列:例 (1)设,求通项;112( ),1,()(2,*)2nnxf xxxf xnnNxnx变式练习:求。111,(*),31n n naaanNana第 2 页 共 8 页(2)函数,若数列满足:,( )1xf xx *()nanN2 110,1, ()nnnaaafa求数列的通项公式。 nana解:由题意有 an+1= 2,即= ,即= +1,anan + 1an + 1anan + 11an + 11an- =1,1an + 11an数列是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. =1+(
4、n-1)=n,即= 1an1anan,an= 。1 n1 n2 (4 4)可化为等比数列的递推数列:)可化为等比数列的递推数列:a an+1n+1=pa=pan n+q(p+q(p1 1,p p、q q 常数常数) )待定系数法或待定系数法或 配凑法配凑法例已知数列满足且,求。 (答案: na11,2 a * 131()nnaanNna)1132n na变式练习:(09 重庆卷理)设12a ,12 1n naa,2 1n n naba,*nN,则数列 nb的通项公式nb= 。答案:2n+1 提示:由条件得且1 1 1222122221111nnn nn nnnaaabbaa a 14b 所以数
5、列 nb是首项为 4,公比为 2 的等比数列,则114 22nn nb。(5 5)a an+1n+1=pa=pan n+q(n)(p+q(n)(p1)1)法一:法一:a an+1n+1=pa=pan n+q(n)(p+q(n)(p1)1),再用1 11( ),nn nnnaaq n ppp ,n nnabp令11( )nnnq nbbp则叠加法。 法二:待定系数法法二:待定系数法第 3 页 共 8 页1已知曲线:4 ,:4()xx n nC yCynN,从C上的点(,)nnnQ xy作x轴的垂线,交nC于点nP,再从点nP作y轴的垂线,交C于点111(,)nnnQxy,设111,nnnxaxx
6、1n n nyby。(1)求数列 nx的通项公式; (2)记4n nnca b,数列 nc的前n项和为nS,试比较nS与37 32的大小()nN。2已知点顺次为直线上的点,* 1122(1,),(2,),( ,),()nnByByB n ynNLL1 412xy 点 顺次为轴上的点,其中,* 1122( ,0),(,0),(,0),()nnA xA xA xnNLLx1(01)xaa对任意,点构成以为顶点的等腰三角形。*nN1,nnnA BAnB(1)求数列的通项公式,并证明它是等差数列; ny(2)是常数吗,如果是,求数列的通项公式;如果不是,说明理由。2nnxx nx3设数列的前项和为,已
7、知。 nannS2(1)n nnbabS(1)证明:当时,是等比数列;2b 12n nan第 4 页 共 8 页(2)求。na4已知数列满足。na2111,(N*)21n n naaana(1)求的值;23,a a(2)求数列的通项公式。na5已知数列满足条件:, , 。na1(1)(1)(1)nnnana26a nnban*nN(1)求;1234,b b b b(2)求数列的通项公式并写出推证过程。 nb6设数列 na的各项都是正数,11a 111 12nnnnaa aa(1)求数列 na的通项公式;(2)求证:。 122311111(1)(1)(1)nna aa aa aL第 5 页 共
8、8 页7自然界中出现的诸如云层的边缘,山脉的轮廓、雪花、海岸线等“不规则”几 何形体,难以用经典几何中的直线、光滑曲线来描述。但是 20 世纪 80 年代初,由 芒德布罗所创立的分形几何,提供了研究这类“不规则”几何对象的新思想、新概 念、新方法和新技巧。下面我们看一个与其相关的雪花曲线的简单题目:由图(1)那样的正三角形始,把三角形的每条边三等分,并在每条边三等分 后的中段向外作新的等边三角形,但要像图(2)那样去掉与原三角形叠合的边,这样形成六角星形;再在图(2)六角星形几条边外,加它边长的 12 个正三角形,1 3 继续如 此手续 作图 (4) 便产L 生了雪 花曲线。则第()图中的雪花
9、曲线的边数为_。n3.3.与与的关系的关系nanS1 (1)已知数列的各项均为正数,且,求。 na11()2nn nSaana(2)已知在正项数列中,表示前项和,且,求。 nanSn21nnSana第 6 页 共 8 页变式:已知数列,满足,求 na112311,23(1)(2)nnaaaaananL的通项公式。 na2已知数列的前项之和为,点在直线上,数列满 nannS( ,)nsnn1(1)2yx nb足。*12 2111()222n nnbbba nNL(1)求数列的通项公式; na(2)求数列的前项和。 nbnnT3已知为数列的前项和,且,。nS nan2232nnSann1,2,3,
10、n L(1)求证:数列为等比数列;2nan(2)设,求数列的前项和; 1n nnba nbnnP(3)设,数列的前项和为,求证:。1n ncan ncnnT37 44nT 第 7 页 共 8 页4.4.数列求和数列求和 1设数列前项和为,且。其中为常数, nannS*(3)23()nnm SmamnNm,且。3m 0m (1)求证:是等比数列; na(2)若数列的公比满足且,求 na( )qf m* 1113,()(,2)2nnba bf bnNn的通项公式; nb(3)若时,设,求出;是否存在最大的1m * 12323()nnTaaana nNLnT正整数,使得对任意均有成立,若存在求出的值
11、,若不存在请m*nN8nmT m说明理由。2.(11 安徽理)在数 1 和 100 之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比n2n 数列,将这个数的乘积记作,再令。2nnT,lgnnaT1n ()求数列的通项公式;na()设求数列的前项和。1tantan,nnnbaa nbnnS第 8 页 共 8 页3.(10 湖南文数)给出下面的数表序列:其中表 n(n=1,2,3 L)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,L2n-1,从第 2 行起, 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并 将结论推广到表 n(n3) (不要求证明) ; (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12L,记此数列为 nb,求和:3241 22 31nnnbbb bbb bb bL。()nN