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1、定远重点中学定远重点中学 2017-20182017-2018 学年第一学期学年第一学期 1 1 月考月考 高二数学（理科）试题高二数学（理科）试题注意事项：注意事项：1 1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 2请将第请将第 I I 卷（选择题）答案用卷（选择题）答案用 2B2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第铅笔正确填写在答题卡上；请将第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。第第 I I 卷（选择题卷（选择题 6060 分）分）一、选择题一
2、、选择题(本大题共本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。分。)1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心22221(0,0)xyabab20xy率是A. B. C. D.527 25 22.若圆422 yx与圆)0(06222aayyx的公共弦的长为32，则a（ ）A2 B1 C1 D23.以下命题为真命题的个数是（ ）若直线 平行于平面内的无数条直线，则直线；ll若直线在平面外，则；aaa若直线，则；abbaa若直线，则平行于平面内的无数条直线.abbaA1 个 B2 个 C. 3 个 D4 个4.已知，为异面直线，下列结论不正确的是（ ）abA必
3、存在平面使得 /,/baB必存在平面使得，与所成角相等abC必存在平面使得， abD必存在平面使得，与的距离相等ab5.如图，为正方体，下面结论：平面；平面；直线与所成的角为 45其中正确结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 4 33 25 5 667.已知圆： 和点，若圆上存在两点，使得C221410xy5,MtC,A B，则实数 的取值范围为（ ）MAMBtA. B. C. D. 2,63,52,63,58.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3 B. C.
4、 D. 10 311 38 39.直线截圆得的劣弧所对的圆心角是（ ） 32 30xy224xyA. B. C. D. 3045609010.直线的斜率和在轴上的截距分别是（ ）23yx yA. B. C. D. 2,33, 22, 23,311.过抛物线的焦点的直线 与抛物线交于， 两点，与抛物线准线交于点，28yxFlABC若是的中点，则（ ）BACAB A. B. C. D. 89101212.已知空间两点 P(1,2，3)，Q(3，2，1)，则 P、Q 两点间的距离是 ( )A. 6 B. 22C. 36 D. 25第第 II 卷（非选择题卷（非选择题 90 分）分）二、填空题二、填空
5、题(共共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分) 13.双曲线离心率_116922 yx14.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程22 1164xy为 .15.表面积为的球的半径为_.416.在长方体中， ，则点 D 到平面的距1111ABCDABC D13,2,4ABBCAA离是_三、解答题三、解答题(共共 5 小题小题, 每小题每小题 14 分，共分，共 70 分分) 17.已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分2:4C yxF别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.C1P2P3P4P12PP34PP1M2
6、M（）求线段的中点的轨迹方程；12PP1M（）求面积的最小值；12FM M（）过、的直线 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.1M2Ml18.如图，四棱锥中，SABCD/ /ABCDBCCD2ABBC1CDSD侧面为等边三角形.SAB（1）证明：；ABSD（2）求二面角的正弦值.ASBC19.如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若 在边上，求证：.20.已知圆（1）直线的方程为，直线交圆 于 、 两点，求弦长的值；（2）从圆 外一点引圆 的切线，求此切线方程21.已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F
7、的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.参考答案参考答案1.D2.B3.A4.C5.D6.C7.C8.B9.C10.A11.B12.A13.3514.22325()24xy15.116.12 517.（）由题设条件得焦点坐标为，(1,0)F设直线的方程为,.12PP(1)yk x0k 联立，得.2(1)4yk xyx 22222(2)0k xkxk.22222 2(2)416(1)0kk kk 设，则，111( ,)P x y222(,)P xy 112212()12Mxxxk ，. 112(1)MMyk xk 112112
8、MMxy 线段的中点的轨迹方程为：.12PP1M22(1)(1)yxx（）由（）知：.1112 12 22 2 2(1)MMMxxkxkyk xk 同理，设，则. 222(,)MMMxy2 22212MMxkyk ,2 222 122222|(1)( )1kFMkkkk，2222 2|(2)( 2 )2| 1FMkkkk 因此. 121211| | 2(|)42|FM MSFMFMkkg当且仅当，即时，取到最小值 4.1|kk1k 12FM MS（）当时，由（）知直线 的斜率为：，1k l21kkk所以直线 的方程为: ,即， （*）l2 22(21)1kykxkk2(3)0ykxky当，时方
9、程（*）对任意的均成立，即直线 过点.3x 0y (1)k k l(3,0)当时，直线 的方程为：，也过点.1k l3x (3,0)所以直线 恒过定点.l(3,0)18.（1）根据矩形的性质与正三角形的性质可证，得平面，BEDEABSEAB SED进而；（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直ABSD,DE DC DFuuu r uuu r uuu r xyz角坐标系，求出平面的法向量 ，而知是平面的法向量，DxyzSBC13( ,0,)22DS uuu r SAB根据空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦，进而求得正弦值.试题解析：（1）取的中点，连接，则四边形为矩形，ABEDEBCD
10、E，BEDE为等边三角形，SAB.ABSE，SEDEEI平面.AB SED平面，.SD SEDABSD（2）由（1）知，过作平面，则两两垂直，分DEDCDDF ABCD,DE DC DF别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，,DE DC DFuuu r uuu r uuu r xyzDxyz则，(0,0,0),(2, 1,0),(2,1,0),(0,1,0)DABC，1,2,3SDDESE，平面，SDSESD SAB，13( ,0,)22S13( ,0,)22DS uuu r设平面的法向量为.SBC( , , )nx y zr，13(,1,)22SC uu u r ( 2,0,0)
11、BC uuu r，2013022n SCxn BCxyz ruu u rruuu r，取，则，03 2xyz1z 3(0,1)2n r设二面角为，则，ASBC3 212|cos| |7|7 2DSn DSnuuu rr uuu rr二面角的正弦值.ASBC2 7sin719.（1）由题意，利用三角形中位线定理可证 MNBC，即可判定 MN平面；（2）利用线面垂直的性质可证 CC1AD，结合已知可证 AD平面，从而证明 ADBC，结合（1）知，MNBC，即可证明 MNAD试题解析：（1）如图，连结 A1C在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C 为平行四边形又因为 N 为线段 AC1
12、的中点，所以 A1C 与 AC1相交于点 N，即 A1C 经过点 N，且 N 为线段 A1C 的中点 2 分因为 M 为线段 A1B 的中点，所以 MNBC 4 分又 MN 平面 BB1C1C，BC 平面 BB1C1C，所以 MN平面 BB1C1C 6 分（2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC又 AD 平面 ABC，所以 CC1AD 8 分因为 ADDC1，DC1 平面 BB1C1C，CC1 平面 BB1C1C，CC1DC1C1，所以 AD平面 BB1C1C 10 分又 BC 平面 BB1C1C，所以 ADBC 12 分又由（1）知，MNBC，所以 MNAD 14 分考点：
13、直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定20.（1）由圆方程可得圆心，先求出圆心 到直线距离，根据勾股定理可得；（2）当直线为时，与圆相切，符合题意当斜率存在时，设斜率为 ，可设直线，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得 的值，从而可得结果.试题解析：（1）圆，圆心，圆心 到直线距离，（2）当直线为时，与圆相切，符合题意当斜率存在时，设斜率为 ，直线，即，圆心 到直线距离，直线与圆相切，即，直线：，综上可知，切线方程为或21. (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ，0).由题意可设直线方程为 xmy ，代入 y22px，得 y22p(my )，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y2px1，y2px2，所以 yy4p2x1x2，所以 x1x2.(2).因为 x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得 (定值).(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN| (|AC|BD|) (|AF|BF|) |AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
