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1、第 1 页 共 9 页南昌大学第十二届高等数学竞赛南昌大学第十二届高等数学竞赛( (文科类文科类) )试题试题 序号：序号： 姓名：姓名： 学号学号: 学院：学院： 班级：班级： 第第 考场考场 考试日期：考试日期： 2015 年年 9 月月 19 日日 题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十十一十一总分总分题分题分1515687798898100累分人累分人 签签名名得分得分注: 本卷共八页, 十一道大题, 考试时间为 8:3011:30.一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1. 极限 _22lim sin1xxxx2. 函数(均为大于 0 的常数)的拐点坐标为_1axcybe
2、, ,a b c3. 设函数在的某邻域内可导，且，( )f x2x ( )( )f xfxe(2)1f则_(2)f 4. 若是的一个原函数，则_sinx( )f x( )x fx dx5. 设，则常数_1limaxatxxte dtxa 得分得分评阅人评阅人第 2 页 共 9 页二、单项选择题(每题 3 分，共 15 分) 得分得分评阅人评阅人1. 函数在下列哪个区间内有界？ ( )2|sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx(A) . (B) . ( 1,0)(0,1)(C) . (D) .(1,2)(2,3)2. 已知当时，函数与是等0x ( )3sinsin(3 )f xxx(
3、)kg xcx价无穷小，则 ( )(A) , . (B) , .1k 4c 1k 4c (C) , . (D) , .3k 4c 3k 4c 3. 设函数具有二阶导数，且，是( ), ( )f x g x( )0gx0()g xa的( )g x极值，则在处取到极大值的一个充分条件是 ( )( ( )f g x0x(A) . (B) .( )0fa( )0fa(C) . (D) .( )0fa( )0fa4. 设 ，则4 0lnsinIxdx 4 0lncotJxdx 4 0lncosKxdx 的大小关系为 ( ), ,I J K(A) . (B) . IJKIKJ(C) . (D) .JIKK
4、JI5. 曲线的渐近线的条数为 ( )1ln(1)xyex(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.第 3 页 共 9 页第 4 页 共 9 页三、 （本题满分 6 分）求极限222220sincoslim.sinxxxx xx四、 （本题满分 8 分） 求方程不同实根arctan0kxx 的个数（其中为常数）.k得分得分评阅人评阅人得分得分评阅人评阅人第 5 页 共 9 页五、 （本题满分 7 分）求由方程arctan22y xxyae(0)a 所确定的隐函数的二阶导数.( )yy x六、 （本题满分 7 分）求不定积分.2234 (1)xdxx 得分得分评阅人评阅人得分得分评阅
5、人评阅人第 6 页 共 9 页七、 （本题满分 9 分）设函数.21( )xn nfxex（1）证明：对任意的正整数，方程都有唯n( )0nfx 一的实根；（2）记上述唯一的实根为，求极限的值，并证明：nx (1,2,)n Llimnnx A.1 2nxAn:()n 得分得分评阅人评阅人第 7 页 共 9 页八、 （本题满分 8 分）设是上的非负连续函数.( )f x0,1（1）证明：存在，使得上高为的矩(0,1)0, ( )f形面积等于上以曲线为曲边的曲边梯形面积； ,1( )yf x（2）若在内可导且，证明：（1）中的是( )f x(0,1)2 ( )( )f xfxx 唯一的.得分得分评阅人评阅人第 8 页 共 9 页九、 （本题满分 8 分）求由圆222()xbya 绕轴旋转一周所成旋转体（环体）的体积.(0)aby十、 （本题满分 9 分）证明：当时，02x.2sinxxx得分得分评阅人评阅人得分得分评阅人评阅人第 9 页 共 9 页十一、 （本题满分 8 分） 设函数可导，且对任何实数( )f x 满足，, x h( )0f x ，2(1)()( )( )x hxt tf xhdtf xf t此外，. 求的表达式. (1)2f( )f x得分得分评阅人评阅人
