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1、1勾股定理典型例题归类总结勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理题型一：直接考查勾股定理 例例.在在中，中，ABC90C已知已知，求求的长的长 已知已知，求，求的长的长6AC 8BC AB17AB 15AC BC跟踪练习：跟踪练习： 1.在在中，中，.ABC90C（1）若）若 a=5,b=12,则则 c= ; （2）若）若 a:b=3:4,c=15,则则 a= ,b= . （3）若）若A=30，BC=2,则则 AB= ，AC= . 2. 在在 RtABC 中，中，C=90，A，B，C 分别对的边为分别对的边为 a，b，c，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是( ) A、 B、 C、
2、 D、 3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( ) A、2、4、6 B、4、6、8 C、6、8、10 D、3、4、5 4.等腰直角三角形的直角边为等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为（，则斜边的长为（ ）A、 B、 C、1 D、25.已知等边三角形的边长为已知等边三角形的边长为 2cm，则等边三角形的面积为（，则等边三角形的面积为（ ）A、 B、 C、1 D、6.已知直角三角形的两边为已知直角三角形的两边为 2 和和 3，则第三边的长为，则第三边的长为_.7.如图，如图，ACB=ABD=90，AC=2，BC=1，
3、则，则 BD=_.8.已知已知ABC 中，中，AB=AC=10，BD 是是 AC 边上的高线，边上的高线，CD=2，那么，那么 BD 等于（等于（ ）A、4 B、6 C、8 D、9.已知已知 RtABC 的周长为的周长为，其中斜边，其中斜边，求这个三角形的面积。，求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以如图，以 RtABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面
4、积、之间有之间有1S2S3S何关系？并说明理由。何关系？并说明理由。（2）如图，以）如图，以 RtABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积、之间有何关系？之间有何关系？1S2S3S（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折 1800，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的 面积之间的关系，并说明理由。面积之间的关系，并说明理由。 （此阴影部分在数学史上称为（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙希波克拉底月牙” ）2题型二：利用勾股定理测量长度题型二：
5、利用勾股定理测量长度 例例 1. 如果梯子的底端离建筑物如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：跟踪练习： 1.如图（如图（8） ，水池中离岸边，水池中离岸边 D 点点 1.5 米的米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是的长是 0.5 米，把芦苇米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到恰好落到 D 点，并求水池的深度点，并求水池的深度 AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端一座建筑物发生了
6、火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 米，消防车的云梯最大升米，消防车的云梯最大升 长为长为 13 米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ） A、12 米米 B、13 米米 C、14 米米 D、15 米米 3.如图，有两颗树，一颗高如图，有两颗树，一颗高 10 米，另一颗高米，另一颗高 4 米，两树相距米，两树相距 8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树 的树梢，问小鸟至少飞行（的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A、8 米米 B、10 米米 C、12 米米 D、14 米米 题型三：勾股定理和逆定理并用题型三：
7、勾股定理和逆定理并用例例 3. 如图如图 3，正方形，正方形 ABCD 中，中，E 是是 BC 边上的中点，边上的中点，F 是是 AB 上一点，且上一点，且那么那么DEF 是直是直ABFB41角三角形吗？为什么？角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 跟踪练习：跟踪练习：31.如图，正方形如图，正方形 ABCD 中，中，E 为为 BC 边的中点，边的中点，F 点点 CD 边上一点，且边上一点，且 DF=3CF，求证：，求证：AEF=90题型四：利用勾股定理求线段长度题型四：利用勾股定理求线段长度 例例 1
8、. 如图如图 4，已知长方形，已知长方形 ABCD 中中 AB=8cm,BC=10cm,在边在边 CD 上取一点上取一点 E，将，将ADE 折叠使点折叠使点 D 恰好恰好 落在落在 BC 边上的点边上的点 F，求，求 CE 的长的长.跟踪练习：跟踪练习： 1.如图，将一个有如图，将一个有 45 度角的三角板顶点度角的三角板顶点 C 放在一张宽为放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个顶点的纸带边沿上，另一个顶点 B 在纸带的另在纸带的另 一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，求三角板的最大边角，求三角板的最大边 AB 的
9、长的长.2.如图，在如图，在ABC 中，中，AB=BC，ABC=90，D 为为 AC 的中点，的中点，DEDF，交，交 AB 于于 E，交，交 BC 于于 F， （1）求证：）求证：BE=CF;（2）若）若 AE=3，CF=1，求，求 EF 的长的长.3.如图，如图，CA=CB,CD=CE,ACB=ECD=90,D 为为 AB 边上的一点边上的一点.若若 AD=1，BD=3，求，求 CD 的长的长.4题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例例 1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只
10、要移至米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就米以内，灯就 自动打开，一个身高自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：跟踪练习： 1.如图，每个小正方形的边长都是如图，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断ABC 的的形状，并说明理由形状，并说明理由.（1）求证：）求证：ABD=90;（2）求）求的值的值2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（ ）A、9，12，15
11、 B、7,24,25 C、 D、 ， ， 3.在在ABC 中，下列说法中，下列说法B=C-A；A:B:C=3：4：5；a:b:c=5:4:3；：=1:2:3，其中能，其中能 判断判断ABC 为直角三角形的条件有（为直角三角形的条件有（ ） A、2 个个 B、3 个个 C、4 个个 D、5 个个 4.在在ABC 中，中，A、B、C 的对边分别是的对边分别是 a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一 个是直角？个是直角？ （1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2， A、2 个个 B、3 个个 C、4 个个
12、 D、5 个个 5.已知已知ABC 的三边长为的三边长为 a、b、c，且满足，且满足，则此时三角形一定是（，则此时三角形一定是（ ） A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、锐角三角形、锐角三角形6.在在ABC 中，若中，若 a=，b=2n，c=，则，则12n12nABC 是（是（ ）5A、锐角三角形、锐角三角形 B、钝角三角形、钝角三角形 C、等腰三角形、等腰三角形 D、直角三角形、直角三角形 7.如图，正方形网格中的如图，正方形网格中的ABC 是（是（ ）A、直角三角形、直角三角形 B、锐角三角形、锐角三角形 C、钝角三角形、钝角三角
13、形 D、锐角三角形或钝角三角形、锐角三角形或钝角三角形 8.已知在已知在ABC 中，中，A、B、C 的对边分别是的对边分别是 a、b、c，下列说法中，错误的是（，下列说法中，错误的是（ ） A、如果、如果C-B=A,那么那么C=90 B、如果、如果C=90，那么，那么 C、如果（、如果（a+b） （a-b）=，那么，那么A=90 D、如果、如果A=30，那么，那么 AC=2BC 9.已知已知ABC 的三边分别为的三边分别为 a，b，c，且，且 a+b=3，ab=1，求，求的值，试判断的值，试判断ABC 的形的形 状，并说明理由状，并说明理由 10.观察下列各式：观察下列各式：，根据其中规律，根
14、据其中规律， 写出下一个式子为写出下一个式子为_ 11.已知，已知，mn，m、n 为正整数，以为正整数，以，2mn，为边的三角形是为边的三角形是_三角形三角形. 12.一个直角三角形的三边分别为一个直角三角形的三边分别为 n+1，n-1，8，其中，其中 n+1 是最大边，当是最大边，当 n 为多少时，三角形为直角三角为多少时，三角形为直角三角 形？形？ 题型六：旋转问题：题型六：旋转问题：例题例题 6. 如图，如图，P 是等边三角形是等边三角形 ABC 内一点，内一点，PA=2,PB=,PC=4,求求ABC 的边长的边长.2 3跟踪练习跟踪练习 1.如图，如图，ABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BAC=90，E、F 是是 BC 上的点，且上的点，且EAF=45，试探究，试探究间的关系，并说明理由间的关系，并说明理由. 222BECFEF、题型七：关于翻折问题题型七：关于翻折问题 例题例题 7.如图，矩形纸片如图，矩形纸片 ABCD 的边的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为为 BC 上一点，将矩形纸片沿上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点折叠，点6B 恰好落在恰好落在 CD 边上的点边上的点 G 处，求处，求 BE 的长的长.跟踪练习跟踪练习 1.如图，如图
