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1、北京林业大学北京林业大学 2020 0707 -20-20 0808 学年第学年第 二二 学期高等数学学期高等数学 A A 考试试卷考试试卷(A)(A)答案答案一、填空：（每小题 3 分，共 30 分）1. 已知，则.22(,)f xy xyxy),(yxfxy2. = 2 ( , )(2,0)sin()lim1 1x yxy xy 3. 设，则.ey xz dz21()y xeydxxdyx4. 设曲线的参数方程是，则曲线在点处的切线方程是.24,arctan ,xtyt zt(1,1)4 114 124 2yxz 5. 若曲面的切平面平行于平面，则切点坐标为.2222321xyz46250
2、xyz(1, 2,2),( 1,2, 2)6. 设，已知点是函数的驻点，在空格中填入在点处取得的是22442),(yxyxyxyxf(1,1)P),(yxfP 极大值，还是极小值，还是不取极值_极小值 .7. 若是以为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知.D(0,0),(0,1),(1,0)(1)Dxy dxdy1 68L为圆周，计算对弧长的曲线积分=224xy22Lxy ds 8 9设是柱面在之间的部分，则对面积的曲面积分.222ayxhz 022()xydS32 a h 10设是周期为 2 的周期函数，它在区间的定义为，则的傅里叶级数在( )f x( 1,1210( )01xf xxx
3、 ( )f x1x 收敛于3 2 二、选择题：（每小题 2 分，共 10 分） 1. 下列级数中收敛的是（ C ）（A） （B） （C） （D）1884nnnn1884nnnn1824nnnn1842nnnn2. 已知二元函数在点处可微分，则在点处不一定成立的是( D ).(,)zf xy),(yx),(yxA. 该函数在点处连续 B. 该函数在点处的极限存在),(yx),(yxC. 该函数在点处的两个偏导数存在 D. 该函数在点处的偏导数连续),(yxyz xz ,),(yx3. 方程表示的二次曲面是( C ).0222zyx A. 球面 B. 旋转抛物面 C. 圆锥面 D. 圆柱面 4.
4、设平面区域，则( , )|,Dx yaxa xya 1( , )|0,Dx yxa xya（A）(cos sin )Dxyxy dxdyA. B. C. D. 012cos sinDxydxdy12Dxydxdy14(cos sin )Dxyxy dxdy5. 二次积分写成另一种次序的积分是( A ).2200( , )xdxf x y dyA. B. 420( , ) ydyf x y dx400( , )ydyf x y dxC. D. 2420( , ) xdyf x y dx402( , )ydyf x y dx三、 （6 分） 若 确定，求 和 .222exyzz( , )zz x
5、yz x z y 解 因， （3 分）22222exyzzzxzxx22222exyzzzyzyx故， （6 分）2222222 e1 2 exyzxyzzx xz2222222 e1 2 exyzxyzzy yz四、 （6 分）设,其中二阶可导,证明.)(yxu,222uuuu xx yyx 证明： 因为 （3 分）,( ) uuyxy 222( ), uuyx yyxx 故 . （6 分）222( )uuuuyxx yyx 五、 （6 分）求，其中是由直线所围区域.dDxyDxyxy, 2, 1解：先后， （ 3 分）yx 211:xxyD故. （ 6 分）222223 111111111
6、9ddddddd228xxxDxyxy yxx xy yxyxxxx 六、 （6 分）问是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？1( 1)1 cosnna n解 收敛，且绝对收敛. （3 分）事实上，因，而收敛，故由比较判别法知，2 2 2( 1) (1 cos)1 cos2sin22naaaa nnnn 22 12na n收敛. 1( 1)1 cosnna n从而收敛，而且绝对收敛. （6 分）1( 1)1 cosnna n七、 （7 分）求幂级数的收敛域与和函数. nnxnn121解：因为： （5 分）1lim| 1 ,1 (-1,1)nnnaxa 时级数发散，所以收敛域为2 1100111111
7、1xxnnnnnnnnnnnxnxxxnxdxxdxnn （7 分）201ln(1), ( 11)11(1)xxxxdxxxxxx 八、 （6 分）将展开为的幂级数.1( )45f xx) 1( x解： （2 分）11( )651 5(1)f xxx（6 分）00465(1)5 (1) ()55nnnnnxxx九、 （6 分）设是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的闭区域，求三重积分22 0yz xz4z .22()Ixyz dv解： 曲线绕轴旋转一周而成的曲面方程为，故在面上的投影为22 0yz xz222xyzxoy， （2 分）22:8xyDxy所以 （6 分）228422 100
8、2256()()3rIrz rdrd dzddrrz rdz 十、 （6 分) 设 L 是由曲线与直线所围成区域 D 的正向边界，22222,4xyyxyy30,30xyyx求2 2 2(1cos)(sincos)Lyyyyydxxdyxxxxx 解 2 22 cossincos1xxy xy xyQxy xyPxxy xy xy xy xQ2sincos2322（2 分）xy xy xy xy yPsincos2322xyP xQ2由 Green 公式有= 2 2 2(1cos)(sincos)Lyyyyydxxdyxxxxx dyxdxD2= = （6 分）drrdcos2sin4sin2
9、23636333cossin)24(32d 4421 23 41 3112 314十一、 （7 分）计算曲面积分,其中是曲面 3322(61)Ix dydzy dzdxzdxdy221 zxy的下侧. ( 10)z 解: 补充曲面. ，方向为上侧 22 1:0 (1)zxy（3 分）11333322(61)22(61)Ix dydzy dzdxzdxdyx dydzy dzdxzdxdy= （7 分）2 22210222001 1(666)6(1)3 r xyxydVdxdydrdrrdz 十二、 （4 分）利用求条件极值的方法，证明对任何正数成立不等式：, ,a b c3327()3abcabc证明： 设， （2 分）abcD3( , , )()L a b cabcabcD 由 3320030abcLbcLacLabcabcD 解得 此点即为极大值点，故 （4 分）3,55DDabc33327()27()53Dabcabc
