《专题3.12-综合求证多变换-几何结合代数算(原卷版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题3.12-综合求证多变换-几何结合代数算(原卷版)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 12 综合求证多变换，几何结合代数算【题型综述题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜 率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求 证目标的取值与变化的量无关当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率 和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转
2、化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引典例指引】类型一类型一 证明分点问题证明分点问题例 1 【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0，）作直线 l 与抛物线 C 交于1 2不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线
3、段 BM 的中点.【解析】类型二类型二 几何证明问题几何证明问题例 2. 【2015 高考湖南，理 20】已知抛物线的焦点也是椭圆的2 1:4CxyF22222:1(0)yxCabab一个焦点，与的公共弦的长为.1C2C2 6（1）求的方程；2C（2）过点的直线 与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向Fl1CAB2CCDACuuu r BDuuu r（）若，求直线 的斜率| |ACBDl（）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线 绕点旋转时，总是钝角三角形1CAxMlFMFD【解析】类型三类型三 等式证明等式证明例 3【2015 高考上海，理 21】已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于
4、、和2221xy1l2lA、，记得到的平行四边形的面积为.CDCDAS（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；11,x yA22C,xyACC1l11212Sx yx y（2）设与的斜率之积为，求面积的值.1l2l1 2S【解析】类型四类型四 长度关系证明长度关系证明例 4.【2016 高考四川】已知椭圆 E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的22221(0)xyabab三个顶点，点在椭圆 E 上.1( 3, )2P()求椭圆 E 的方程；()设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭1 2圆 E 交于 C，
5、D，证明：MAMBMCMD【扩展链接扩展链接】1.1.圆锥曲线以圆锥曲线以 P(x0，y0)(y00)为为中点的弦所在直线的斜率分别是：中点的弦所在直线的斜率分别是：k(椭圆椭圆1)，kb2x0a2y0x2a2y2b2(双曲线双曲线1)，k(抛物线抛物线 y22px)，其中，其中 k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐为弦端点的坐b2x0a2y0x2a2y2b2py0y2y1x2x1标标2.给出给出0MBMA,等于已知等于已知MBMA ,即即AMB是直角是直角,给出给出0mMBMA,等于已知等于已知AMB是钝角是钝角, 给出给出0mMBMA,等于已知等于已知AMB是锐角；是
6、锐角；3.在平行四边形在平行四边形ABCD中，给出中，给出0)()(ADABADAB，等于已知，等于已知ABCD是菱形是菱形;4.在平行四边形在平行四边形ABCD中，给出中，给出| |ABADABADuuu ruuu ruuu ruuu r ，等于已知，等于已知ABCD是矩形是矩形;来源来源:Zxxk.Com来源来源:学科网学科网 ZXXK【同步训练同步训练】1如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T（2，0） ，与 y 轴正半轴相交于两点 M，N（点 M 在点 N 的下方） ，且|MN|=3来源:Zxxk.Com（1）求圆 C 的方程；（2）过点 M 任作一条直线与椭圆相交于两点 A、B，连接
7、AN、BN，求证：ANM=BNM【思路点拨 】 （1）设圆 C 的半径为 r（r0） ，依题意，圆心坐标为（2，r） ，根据|MN|=3，利用弦长公式求得 r 的值，可得圆 C 的方程（2）把 x=0 代入圆 C 的方程，求得 M、N 的坐标，当 ABy 轴时，由椭圆的对称性可知ANM=BNM，当 AB 与 y 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得KAB+KBN=0，可得ANM=BNM【详细解析】2.已知椭圆 C：+=1（ab0）经过（1，1）与（，）两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆 C
8、上一点 M 满足|MA|=|MB|求证：+为定值【思路点拨】 （1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可（2）由|MA|=|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点 A、B 是椭圆的长轴顶点，则点 M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可若点 A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 y=kx（k0） ，则直线 OM 的方程为，设A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可【详细解析】3.在平面直角坐标
9、系 xOy 中，动点 p（x，y） （x0）满足：点 p 到定点 F（，0）与到 y 轴的距离之差为记动点 p 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的轨迹方程；（2）过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点，过点 A 和原点 O 的直线交直线 x=于点 D，求证：直线 DB平行于 x 轴【思路点拨】 （1）利用动点 p（x，y） （x0）满足：点 p 到定点 F（，0）与到 y 轴的距离之差为列出关系式，即可求曲线 C 的轨迹方程；（2）过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点，过点 A 和原点 O 的直线交直线 x=于点 D，设 A 的坐标为（） ，求出 OM 的方程为 y=x（y00
10、） ，推出点 D 的纵坐标然后求出直线 AF 的方程，求出点B 的纵坐标，判断直线 DB 平行于 x 轴即可得到结果【详细解析】4.在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P（2，1）在椭圆 C：上且离心率为（1）求椭圆 C 的方程；（2）不经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（不与点 P 重合） ，且线段 AB 的中为 D，直线OD 的斜率为 1，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值【思路点拨】 （1）根据椭圆的离心率公式，将 P 代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得 x1+x2
11、=y1+y2，利用点差法求得直线 l 的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得 k1k2为定值【详细解析】5.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x=1，点 T（3，0） ，动点 P 满足 PSl，垂足为 S，且=0，设动点 P 的轨迹为曲线 C（1）求 曲线 C 的方程；（2）设 Q 是曲线 C 上异于点 P 的另一点，且直线 PQ 过点（1，0） ，线段 PQ 的中点为 M，直线 l 与 x 轴的交点为 N求证：向量与共线【思路点拨】 （1）设 P（x0，y0） ，则 S（1，y0） ，由此利用向量的数量积能求出曲线 C 的方程（2）设 Q（x1，y1）
12、，则，从而 y2=4x，p=2，焦点 F（1，0） ，N（1，0） ，由 PQ 过 F，得，进而=（） ，=（） ，由此能证明向量与共线【详细解析】6.已知动点 A，B 在椭圆+=1 上，且线段 AB 的垂直平分线始终过点 P（1，0） （1）证明线段 AB 的中点 M 在定直线上；来源:学科网（2）求线段 AB 长度的最大值【思路点拨】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 M（x0，y0） ，当 AB 与 x 轴垂直时，线段AB 的中点 M（2，0） ，在直线 y=0，当 AB 与 x 轴不垂直时，利用平方差法推出，说明M 在直线 x=2 上来源:学科网 Z
13、XXK（2）当 AB 与 x 轴垂直时，当 AB 与 x 轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可【详细解析】 7.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上，长轴长为 2，离心率为；抛物线 G：y2=2px（p0）的焦点 F 与椭圆 E 的右焦点重合，若斜率为 k 的直线 l 过抛物线 G 的焦点 F 与椭圆 E 交于 A，B 两点，与抛物线 G 相交于 C，D 两点（1）求椭圆 E 及抛物线 G 的方程；（2）证明：存在实数 ，使得+为常数，并求 的值【思路点拨】 （1）由 2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得 c 的值，代入，b2=a2c2=1，求得椭圆方程，由=c，求得c 的值，
14、求得抛物线方程；（2）设直线 l 的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨 AB 丨及丨 CD 丨，由+=为常数，则须有 20+=4，即可求得 的值【详细解析】8.已知定点 Q（，0） ，P 为圆 N：上任意一点，线段 QP 的垂直平分线交 NP 于点M（1）当 P 点在圆周上运动时，求点 M （x，y） 的轨迹 C 的方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且，求证：直线 l 与某个定圆 E 相切，并求出定圆 E的方程【思路点拨】 （1）求出圆 N 的圆心坐标为 N（，0） ，半径为，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=|NQ|，
15、利用椭圆的定义，求解点 M 的轨迹 C 的方程（2）当直线的斜率存在时，设直线 l 为 y=kx+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与椭圆的方程，得消去 y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为 x=m，验证求解即可【详细解析】9.已知椭圆 C：+=1（ab0）的两焦点分别为 F1，F2，离心率为设过点 F2的直线 l 被椭圆 C截得的线段为 RS，当 lx 轴时，|RS|=3（）求椭圆 C 的标准方程；（）已知点 T（4，0） ，证明：当直线 l 变化时，直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值【思路点拨】 （1）由题意可知：a=2c，=3，且 a2=b2+c2，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线 l 不垂直与 x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得 kTR+kTS=0，即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值【详细解析】10.已知椭圆 E：中，a=b，且椭圆 E 上任一点到点的最小距离为（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）如图 4，过点 Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线 l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆 E 于点A，C，B，D，求证：|QA|QC|=
