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1、第 1 页（共 20 页）2016-2017 学年上海市华师大二附中高二（下）期中数学试卷学年上海市华师大二附中高二（下）期中数学试卷一、填空题一、填空题1向量对应复数3+2i，则向量所对应的复数为 2复数 z=（m2m4）+（m25m6）i（mR） ，如果 z 是纯虚数，那么 m= 3平面 的斜线与 所成的角为 30，那此斜线和 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为 4在长方体 ABCDA1B1C1D1中，如果对角线 AC1与过点 A 的相邻三个面所成的角分别是 ，那么 cos2+cos2+cos2= 5若复数|z3i|=5，求|z+2|的最大值和最小值6异面直线 a 与 b 所成的角为
2、 50，P 为空间一点，则过 P 点且与 a，b 所成的角都是 50的直线有 条7圆锥底面半径为 10，母线长为 30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 8已知集合 A=z|z=i+i2+i3+in，nN*，B=z|z=z1z2，z1A，z2A，则集合B 中的元素共有 个9设 x1，x2是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根，若 x1是虚数，是实数，则 S=1+= 10 （理科）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为 二、选择题（二、选择题（44=16）11下列命题中，错误的
3、是（ ）A过平面 外一点可以作无数条直线与平面 平行第 2 页（共 20 页）B与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C若直线 l 垂直平面 内的两条相交直线，则直线 l 必垂直平面 D垂直于同一个平面的两条直线平行12下列命题中，错误的是（ ）A圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13已知复数 z1，z2满足|z1|=|1z1z2|，则有（ ）A|z1|0 且|z2|1B|z1|1 或|z2|1C|z1|=1 且|z2|=1 D|z1|=1
4、或|z2|=114如图，正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz 上，则在下列命题中，错误的为（ ）AOABC 是正三棱锥B直线 OB平面 ACDC直线 AD 与 OB 所成的角是 45D二面角 DOBA 为 45三、解答题（三、解答题（8+ +10+ +12+ +14）15已知复数 z1满足（1+i）z1=1+5i，z2=a2i，其中 i 为虚数单位，aR，若|z1|，求 a 的取值范围16如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E 为 PD 的中点（1）求直线 CE 与平面 ABCD 所成角的
5、大小；（2）求二面角 EACD 的大小， （结果用反三角函数值表示）第 3 页（共 20 页）17如图，在正三棱锥 ABCD 中，AB=，点 A 到底面 BCD 的距离为 1，E 为棱BC 的中点（1）求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥 ABCD 的表面积18已知 z 是实系数方程 x2+2bx+c=0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为 Pz，（1）若（b，c）在直线 2x+y=0 上，求证：Pz在圆 C1：（x1）2+y2=1 上；（2）给定圆 C：（xm）2+y2=r2（m、rR，r0） ，则存在唯一的线段 s 满足：若 Pz在圆 C
6、 上，则（b，c）在线段 s 上；若（b，c）是线段 s 上一点（非端点） ，则 Pz在圆 C 上、写出线段 s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中 s1是（1）中圆 C1的对应线段） 线段 s 与线段 s1的关系m、r 的取值或表达式 s 所在直线平行于 s1所在直线 s 所在直线平分线段 s1 第 4 页（共 20 页）第 5 页（共 20 页）2016-2017 学年上海市华师大二附中高二（下）期中数学年上海市华师大二附中高二（下）期中数学试卷学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题一、填空题
7、1向量对应复数3+2i，则向量所对应的复数为 32i 【考点】A2：复数的基本概念【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可【解答】解：向量对应复数3+2i，则向量对应向量坐标为（3，2） ，则向量所对应的坐标为（3，2） ，则定义的复数为 32i，故答案为：32i2复数 z=（m2m4）+（m25m6）i（mR） ，如果 z 是纯虚数，那么 m= 【考点】A2：复数的基本概念【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可【解答】解：z 是纯虚数，得得 m=，故答案为：第 6 页（共 20 页）3平面 的斜线与 所成的角为 30，那此斜线和 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为 90 【考点
8、】LM：异面直线及其所成的角【分析】斜线和 内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角【解答】解：斜线和 内所有不过斜足的直线为异面直线，此斜线和 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为 90故答案为：904在长方体 ABCDA1B1C1D1中，如果对角线 AC1与过点 A 的相邻三个面所成的角分别是 ，那么 cos2+cos2+cos2= 2 【考点】MI：直线与平面所成的角【分析】由已知得 cos=，cos=，cos=，由此能求出cos2+cos2+cos2 的值【解答】解：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，B1C1面 AB1，AC1与
9、面 AB1所成的角为C1AB1=，同理 AC1与面 AD1所成的角为C1AD1=，AC1与面 AC 所成的角为C1AC=，cos=，cos=，cos=，cos2+cos2+cos2=+=+=第 7 页（共 20 页）=2故答案为：25若复数|z3i|=5，求|z+2|的最大值和最小值【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出【解答】解：如图，满足|z3i|=5 的复数 z 所对应的点是以 C（0，3）为圆心，5 为半径的圆|z+2|表示复数 z 所对应的点 Z 和点 A（2，0）的距离，由题设 z 所对应的点在圆
10、周上，而此圆周上的点到点 A 距离的最大值与最小值是过 A 的圆周的直径被A 点所分成的两部分|AC|=|z+2|max=5+，|z+2|min=56异面直线 a 与 b 所成的角为 50，P 为空间一点，则过 P 点且与 a，b 所成的角都是 50的直线有 2 条【考点】LM：异面直线及其所成的角第 8 页（共 20 页）【分析】把异面直线 a，b 平移到相交，使交点为 P，此时APB=50，过 P 点作直线 c 平分APB，直线从 c 向两边转到 d 时与 a，b 所成角单调递增，必有经过 50，由此能求出结果【解答】解：把异面直线 a，b 平移到相交，使交点为 P，此时APB=50，过
11、P 点作直线 c 平分APB，这时 c 与 a，b 所成角为 25，过 P 点作直线 d 垂直 a 和 b，这时 d 与 a，b 所成角为 90，直线从 c 向两边转到 d 时与 a，b 所成角单调递增，必有经过 50，由题意满足条件的直线有 2 条故答案为：27圆锥底面半径为 10，母线长为 30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 30 【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离【解答】解：圆锥的侧面展开图为半径为 30，弧长为 20 的扇形 AOB，最短距离为 AB 的长扇形的圆心角为=，AB=30故答案为：30第
12、 9 页（共 20 页）8已知集合 A=z|z=i+i2+i3+in，nN*，B=z|z=z1z2，z1A，z2A，则集合B 中的元素共有 7 个【考点】15：集合的表示法【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得：集合 A=1，1+i，i，0，进而得到 B=1，1+i，i，2i，1+i，1，0【解答】解：由题意可得：集合 A=z|z=1+i+i2+in，nN*=1，1+i，i，0，所以 B=z|z=z1z2，z1、z2A=1，1+i，i，2i，1+i，1，0，所以集合 B 中共有 7 个元素故答案是：79设 x1，x2是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根，若 x1是虚数，是实数
13、，则 S=1+= 2 【考点】A7：复数代数形式的混合运算【分析】设 x1=s+ti（s，tR，t0） 则 x2=sti则 x1+x2=2s，x1x2=s2+t2利用是实数，可得 3s2=t2于是 x1+x2=2s，x1x2=s2+t2 +1=0，取=，则 2+1=0，3=1代入化简即可得出【解答】解：设 x1=s+ti（s，tR，t0） 则 x2=sti第 10 页（共 20 页）则 x1+x2=2s，x1x2=s2+t2=+i 是实数，3s2tt3=0，3s2=t2x1+x2=2s，x1x2=s2+t24s2=+2x1x2=x1x2，+1=0，取=，则 2+1=0，3=1则 S=1+=1+
14、2+4+8+16+32=0+2+2=2故答案为：210 （理科）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为 【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度【解答】解：由题意，此问题的实质是以 A 为球心、为半径的球在正方体 ABCDA1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面第 11 页（共 20 页）根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1B
15、CC1、D1DCC1为与球心距离为 1 的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为 r=，故各段弧圆心角为这条曲线长度为 3+3=故答案为二、选择题（二、选择题（44=16）11下列命题中，错误的是（ ）A过平面 外一点可以作无数条直线与平面 平行B与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C若直线 l 垂直平面 内的两条相交直线，则直线 l 必垂直平面 D垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断 A；由直线与平面所成的角的概念可判断 B；由直线与平面垂直的判定定理可判断 C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断 D【解答】解：A由直线与平面平行的判定定理可知 A 正确，且它们在同一个平面内；B与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故 B 错；C由
