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1、专题 14 探究图形之性质，代数运算是利器【题型综述题型综述】探究图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引典例指引】类型一类型一 面积计算面积计算例 1 【2016 高考上海理数】 （本题满分 14） 有一块正方形菜地,EFGH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个
2、区域和，其中EHF1S2S中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到1S2SF1S2SC点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0） ，如图FOEFF（1）求菜地内的分界线的方程C（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上1S2S1S38MC纵坐标为 1 的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判EHMEOMGH断哪一个更接近于面积的经验值1S【解析】类型二类型二 四边形形状探究四边形形状探究例 2. 【2015 高考新课标 2，理 20】已知椭圆,直线 不过原点且不平行
3、于坐222:9(0)Cxym mlO标轴， 与有两个交点，线段的中点为lCABABM()证明：直线的斜率与 的斜率的乘积为定值；OMl（）若 过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时l(,)3mmOMCPOAPB的斜率，若不能，说明理由l【解析】类型三类型三 探究角是否相等探究角是否相等例 3【2015 高考北京，理 19】已知椭圆：的离心率为，点和点C222210xyabab2 20 1P，都在椭圆上，直线交轴于点A mn，0mCPAxM（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示） ；CMmn（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，OBAxPBxNy
4、Q使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由OQMONQ Q【解析】类型四类型四 探究两直线的位置关系探究两直线的位置关系例 4.【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的22yxmx坐标为.当 m 变化时，解答下列问题：(0,1)（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【解析】【扩展链接扩展链接】1.给出给出0MBMA,等于已知等于已知MBMA ,即即AMB是直角是直角,给出给出0mMBMA,等于已知等于已知AMB是钝是钝角角, 给出给出0mMBMA,等于已知等于
5、已知AMB是锐角；是锐角；2.给出给出MP MBMBMAMA ,等于已知等于已知MP是是AMB的平分线；的平分线；3.在平行四边形在平行四边形ABCD中，给出中，给出0)()(ADABADAB，等于已知，等于已知ABCD是菱形是菱形;4.在平行四边形在平行四边形ABCD中，给出中，给出| |ABADABADuuu ruuu ruuu ruuu r ，等于已知，等于已知ABCD是矩形是矩形;5.已知抛物线方程为已知抛物线方程为，定点，定点 M M，直线，直线 过点过点 M M 交抛物线于交抛物线于 A A，B B 两点，两点，22(0)ypx p,00mm l，则有，则有 ；1122( ,)(,
6、)A x yB xy、2 1212,2x xmy ypm 【同步训练同步训练】1已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O 为坐标原点） （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M 的坐标，若不存在，说明理由【思路点拨】 （1）设出 P 的坐标，利用|OP|的值求得 x0和 y0的关系式，同时利用求得 x0和y0的另一关系式，进而求得 c，通过椭圆的离心率求得 a，最后利用 a，b 和 c 的关系求得 b，则椭圆的方
7、程可得（2）设出直线 l 的方程，与椭圆方程联立消去 y，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则可利用韦达定理表示出x1+x2和 x1x2，假设在 y 轴上存在定点 M（0，m） ，满足题设，则可表示出，利用=0 求得 m的值【详细解析】2.已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1（2，0） ，点 B（2，）在椭圆 C 上，直线 y=kx（k0）与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N；（1）求椭圆 C 的方程；（2）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由【思路点拨】 （
8、1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于 a，b，c的方程组，求解方程组得到 a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设 F（x0，y0） ，E（x0，y0） ，写出 AE、AF 所在直线方程，求出 M、N 的坐标，得到以 MN 为直径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 【详细解析】3.已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过 F2作直线 l 交椭圆于A、B 两点，若F1AB 的周长为 8（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 的斜率不为 0，且它的中垂线与 y 轴交于 Q，求 Q 的纵坐标的范围；（3）是否在 x 轴上存在点
9、M（m，0） ，使得 x 轴平分AMB？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）由椭圆的性质可知：4a=8，e=及 b2=a2c2，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）当 k 不存在时，Q 为原点，y0=0，当 k 存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理求得 x1+x2及 x1x2，根据中点坐标公式，求得 P 点坐标，求得直线 PQ 方程，令x=0，yQ=，0）（0，即可求得 Q 的纵坐标的范围；来源:Zxxk.Com（3）假设存在 m，由 x 轴平分AMB 可得，+=0，由（）可知，代入即可求得 m 的值【详细解析
10、】4.已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0） ，P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹 的方程；（2）若直线 y=k（x1）与（1）中的轨迹 交于 R，S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有OTS=OTR？说明理由来源:Z.xx.k.Com【思路点拨】 （1）连结 QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在 T（t，0）满足OTS=OTR设 R（x1，y1） ，S（x2，y2）
11、 ，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，由直线的斜率之和为 0，化简整理，即可得到存在 T（4，0） 【详细解析】5.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆（ab0）的离心率是 e，定义直线 y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y=，长轴长为 4（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 P 在椭圆 C 的“类准线”上（但不在 y 轴上） ，过点 P 作圆 O：x2+y2=3 的切线 l，过点 O 且垂直于OP 的直线 l 交于点 A，问点 A 是否在椭圆 C 上？证明你的结论【思路点拨】 （1）由题意列关于 a，b，c 的方程，联立方程组求得 a2=4，b2=3
12、，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设 P（x0，2） （x00） ，当 x0=时和 x0=时，求出 A 的坐标，代入椭圆方程验证知，A 在椭圆上，当 x0时，求出过点 O 且垂直于 0P 的直线与椭圆的交点，写出该交点与 P 点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点 A 在椭圆 C 上【详细解析】6.已知椭圆 E 过点 A（2，3） ，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率 e=，F1AF2的平分线所在直线为 l（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 l 与 x 轴的交点为 Q，求点 Q 的坐标及直线 l 的方程；（3）在椭圆 E 上是否存在
13、关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【思路点拨】 （1）设出椭圆方程，根据椭圆 E 经过点 A（2，3） ，离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆 E 的方程；（2）求得 AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得F1AF2的平分线所在直线 l 的方程；（3）假设存在 B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线 l 对称，设出直线 BC 方程代入椭圆 E 的方程，求得BC 中点代入直线 2xy1=0 上，即可得到结论【详细解析】7.）如图，已知 F1、F2是椭圆 G：的左、右焦点，直线 l：y=k（x+1）经过左焦点F1，且与椭圆 G 交于 A、B
14、两点，ABF2的周长为（1）求椭圆 G 的标准方程；来源:学科网 ZXXK（2）是否存在直线 l，使得ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）由题意可知：c=1，4a=4，b2=a2c2=31=2即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，假设|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得 x1+x2=6 （与 x1，x2，x1+x226，矛盾） ，将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：=6，矛盾故|AF2|BF2|再证明 AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰由勾股定理得：，此方程无解故不存在这样的等腰直角三角形【详细解析】8.已知椭圆 C：+=1（ab
15、0）经过点（，1） ，过点 A（0，1）的动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N两点，当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时，直线 l 的斜率为（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由来源:学科网【思路点拨】 （1）将点（，1）代入椭圆方程，设左焦点为（c，0） ，再由斜率公式，可得 c 的值，结合 a，b，c 的关系，即可得到椭圆方程；（2）假设存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立当直线 MN 的斜率为 0 时，由对称性可得 B 在 y 轴上，设为 B（0，t） ，设直线 MN 的方程为 x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由假设可得 kBM+kBN=0，化简整理，可得 t+2m=0，故不存在这样的定点 B【详细解析】9.已知椭圆 E 的方程是+=1，左、右焦点分别是 F1、F2，在椭圆 E 上有一动点 A，过 A、F1作一个平行四边形，使顶点 A、B、C、D 都在椭圆 E 上，如图所示（） 判断四边形 ABCD 能否为菱形，并说明理由（） 当四边形 ABCD 的面积取到最大值时，判断四边形 ABCD 的形状，并求出其最大值【思路点拨】 （1） 设直线方程，代入椭圆方程，若四边形 ABCD 能否为菱形，则 OAOB，
