《一轮复习配套讲义：第8篇-第6讲-双曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一轮复习配套讲义：第8篇-第6讲-双曲线（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 6 讲 双曲线最新考纲1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用3理解数形结合的思想.知 识 梳 理1双曲线的定义平面内动点 P 与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点 P 的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b2范 围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(a,0)，A2(a
2、,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y xbay xab离心率e ，e(1，)，其中 ccaa2b2实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做 双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长性 质a，b，c 的关系c2a2b2(ca0，cb0)辨 析 感 悟1对双曲线定义的认识(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()2对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程1(m
3、n0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()x2my2n(4)(2013新课标全国卷改编)已知双曲线 C：1(a0，b0)的离心率y2a2x2b2为，则 C 的渐近线方程为 y x.()5212(5)(2013陕西卷改编)双曲线1 的离心率为 ，则 m 等于 9.()x216y2m54(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()感悟提升1一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差” ，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线2二个防范 一是双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为 y x，而x2a2y2b2ba双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为
4、 y x，应注意其区y2a2x2b2ab(即x bay)别与联系，如(4)；二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)考点一 双曲线的定义及应用【例 1】 (1)若双曲线1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8，则点 Px24y212到它的左焦点的距离是 ( )A4 B12 C4 或 12 D6(2)已知 F 为双曲线 C：1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点若 PQ 的长等x29y216于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为
5、_解析 (1)由题意知 c4，设双曲线的左焦点为 F1(4,0)，右焦点为412F2(4,0)，且|PF2|8.当 P 点在双曲线右支上时，|PF1|PF2|4，解得|PF1|12；当 P 点在双曲线左支上时，|PF2|PF1|4，解得|PF1|4，所以|PF1|4 或 12，即 P 到它的左焦点的距离为 4 或 12.(2)由1 得 a3，b4，c5.x29y216|PQ|4b162a.又A(5,0)在线段 PQ 上，P，Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知Error!|PF|QF|28.PQF 的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案 (1)C (
6、2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上【训练 1】 (1)(2014大连模拟)设 P 是双曲线1 上一点，F1，F2分别是x216y220双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|( )A1 B17 C1 或 17 D以上答案均不对(2)已知 F 是双曲线1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的x24y212动点，则|PF|PA|的最小值为 ( )A5 B54 C7 D93解析 (1
7、)由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1 或 17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 ca6421，|PF2|17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得，当 A，P、E 三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为 9.答案 (1)B (2)D考点二 求双曲线的标准方程【例 2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1 有相同的焦点，x2a2y2b2x216y29且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与
8、双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)的双曲线方程为_解析 (1)椭圆1 的焦点坐标为 F1(，0)，F2(，0)，离心率为 ex216y2977.由于双曲线1 与椭圆1 有相同的焦点，因此 a2b27.74x2a2y2b2x216y29又双曲线的离心率 e，所以，所以a2b2a7a7a2 74a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.x24y23(2)设与双曲线y21 有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)x22x22代入得 k(2)22.222双曲线的标准方程为1.y22x24答案 (1)1 (2)1x24y23y22x24规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法
9、是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出 的x2a2y2b2值即可.【训练 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为 ；54(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)(3)经过两点 P(3,2)和 Q(6，7)72解 (1)设双曲线的标准方程为1 或1(a0，b0)x2a2y2b2y2a2x2b2由题意知，2b12，e .b6，c10，a8.ca54双曲线的标准方程为1 或
10、1.x264y236y264x236(2)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为1.y2144x225(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)Error!解得Error!双曲线的标准方程为1.y225x275考点三 双曲线的几何性质【例 3】 (1)(2013湖南卷)设 F1，F2是双曲线 C：1(a0，b0)的两个x2a2y2b2焦点若在 C 上存在一点 P，使 PF1PF2，且PF1F230，则 C 的离心率为_(2)设 F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦
11、点若在x2a2y2b2双曲线右支上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0解析 (1)因为 PF1PF2，PF1F230，所以|PF2| |F1F2|c，|PF1|F1F2|c.12323由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以离心率 e 1.3ca3(2)设 PF1的中点为 M，由|PF2|F1F2|，故 F2MPF1，即|F2M|2a，在直角三角形 F1F2M 中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义2c22a24b2c2a，即 2
12、bac，即(2ba)2a2b2，即 3b24ab0，即 3b4a，故双曲线的渐近线方程是 y x，即 y x，即 4x3y0.ba43答案 (1)1 (2)C3规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立 e 的关系式求 e或 e 的范围；另一种是建立 a，b，c 的齐次关系式，将 b 用 a，e 表示，令两边同除以 a 或 a2化为 e 的关系式，进而求解(2)求曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近x2a2y2b2x2a2y2b2线方程 0.xayb【训练 3】 (1)设点 P 在双曲线1(a，b0)
13、的右支上，双曲线的左、右x2a2y2b2焦点分别为 F1，F2，若|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_(2)已知双曲线的渐近线方程为 2x3y0，则该双曲线的离心率为_解析 (1)由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以 4|PF2|PF2|2a，所以|PF2| a，|PF1| a，2383所以Error!整理得 ac，所以 ，即 e ，53ca5353又 e1，所以 1e .53(2)当焦点在 x 轴上时， ，即 ，ba23c2a2a249所以 e2，解得 e；139133当焦点在 y 轴上时， ，即 ，ba32c2a2a294所以 e2，解得
14、e，134132即双曲线的离心率为或.132133答案 (1) (2)或(1，531321331双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系2双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程如果已知渐近线方程为 axby0 时，可设双曲线方程为 a2x2b2y2(0)，再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法3双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)， “四线”(两条对称轴、两近线)， “两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系 教你审题 8运用双曲线的标准方程及其性质【典例】 如图，F1，F2分别是双曲线 C：1(a，b0)的左，右焦点，Bx2a2y2b2是虚轴的端点，直线 F1B与C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|F1F2|，则 C 的离心率是( )A. B. C.
