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1、中考数学压轴题解题策略 直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股 定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便来源:学科网在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂
2、线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点） 例题解析例 如图 1-1，在ABC 中，ABAC10，cosBD、E 为线段 BC 上的两个4 5动点，且 DE3（E 在 D 右边） ，运动初始时 D 和 B 重合，当 E 和 C 重合时运动停止过E 作 EF/AC 交 AB 于 F，连结 DF设 BDx，如果BDF 为直角三角形，求 x 的值图 1-1【解析】BDF 中，B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形 BDF 存在两种情况如果把夹B 的两条边用含有 x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了如图 1-2，作 AHBC，垂足为 H，那么 H
3、 是 BC 的中点在 RtABH 中，AB10，cosB，所以 BH8所以 BC164 5由 EF/AC，得，即所以 BFBFBE BABC3 1016BFx5(3)8x图 1-2 图 1-3 图 1-4如图 1-3，当BDF90时，由，得4cos5BDBBF4 5BDBF解方程，得 x345(3)58xx如图 1-4，当BFD90时，由，得4cos5BFBBD4 5BFBD解方程，得5154 885xx75 7x 我们看到，在画示意图时，无须受到ABC 的“限制” ，只需要取其确定的B例 如图 2-1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M
4、，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设 ABx，若ABC 为直角三角形，求 x 的值图 2-1【解析】ABC 的三边长都可以表示出来，AC1，ABx，BC3x如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种 情况：若 AC 为斜边，则，即，此方程无实根22)3(1xx0432 xx若 AB 为斜边，则，解得（如图 2-2） 来源:Z。xx。k.Com1)3(22xx35x若 BC 为斜边，则，解得（如图 2-3） 221)3(xx34x因此当或时，ABC 是直角三角形35x34x图 2-2 图 2-3例 如图 3-1，已知在平面直角坐标系中，点 A 的
5、坐标为（-2, 0） ，点 B 是点 A 关于原点 的 对称点，P 是函数图象上的一点，且ABP 是直角三角形，求点 P 的)0(2xxy坐标图 3-1【解析】A、B 两点是确定的，以线段 AB 为分类标准，分三种情况如果线段 AB 为直角边，那么过点 A 画 AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点 B 画 AB 的垂线，有 1 个交点以 AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可 能是两个交点由题意，得点 B 的坐标为（2，0） ，且BAP 不可能成为直角如图 3-2，当ABP90时，点 P
6、 的坐标为（2，1） 方法一：如图 3-3，当APB90时，OP 是 RtAPB 的斜边上的中线，OP2 设 P，由 OP24，得解得此时 P(,)2( , )xx2 244xx2x 22图 3-2 图 3-3方法二：由勾 股定理，得 PA2PB2AB2解方程，得2222222(2)( )(2)( )4xxxx2x 方法 三：如图 3-4，由AHPPHB，得 PH2AHBH解方程，得22( )(2)(2)xxx2x 图 3-4 图 3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x22)20这个四次方程的解是 x1x2，x3x4，它的几何意义就是以 AB 为直径的圆与双曲线相切22
7、于 P、P两点（如图 3-5） 例 如图 4-1，已知直线 ykx6 经过点 A(1,4)，与 x 轴相交于点 B若点 Q 是 y轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐 标来源:学科网图 4-1【解析】和例题 3 一样，过 A、B 两点分别画 AB 的垂线，各有 1 个点 Q和例题 3 不同，以 AB 为直径画圆，圆与 y 轴有没有交点，一目了然而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的将 A(1,4)代入 ykx6，可得 k2所以 y2x6，B(3,0)设 OQ 的长为 m分三种情况讨论直角三角形 ABQ：如图 4-2，当AQB90时，BOQQHA，所以BOQH OQHA34
8、 1m m解得 m1 或 m3所以 Q(0,1)或(0,3)如图 4-3，当BAQ90时，QHAAGB，所以QHAG HAGB42 14m解得此时7 2m 7(0,)2Q如图 4-4，当ABQ90时，AGBBMQ，所以AGBM GBMQ2 43m解得此时3 2m 3(0, )2Q图 4-2 图 4-3 图 4-4三种情况的直角三角形 ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点， 构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便 已知 A(1,4)、B(3,0)，设 Q(0, n)，那么根据两点间的距离公式可以表示出 AB2，AQ2 和 BQ2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画
9、图进行“盲解”了例 如图 5-1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）233384yxx 若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式图 5-1【解析】有且只有三个直角三角形 ABM 是什么意思呢？过 A、B 两点分别画 AB 的垂线，与直线 l 各有一个交点，那么第三个直角顶点 M 在哪里？以 AB 为直径的G 与直线 l 相切于点 M 啊！由，得 A(4, 0)、B(2, 0)，直径 AB623333(4)(2)848yxxxx 如图 5-2，连结 GM，那么 GMl在 R
10、tEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4因此3tan4GEM设直线 l 与 y 轴交于点 C，那么 OC3所以直线 l（直线 EC）为334yx 根据对称性，直线 l 还可以是334yx图 5-2例 如图 6-1，在 ABC 中，CACB，AB8，点 D 是 AB 边上的一个4cos5A动点，点 E 与点 A 关于直线 CD 对称，连结 CE、DE（1）求底边 AB 上的高；（2）设 CE 与 AB 交于点 F，当ACF 为直角三角形时，求 AD 的长；来源:学&科&网 Z&X&X&K（3）连结 AE，当ADE 是直角三角形时，求 AD 的长图 6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将
11、点 D 看作主动点，那么 CE 就是从动线段反过来画图，点 E 在以 CA 为半径的C 上，如果把点 E 看作主动点，再画ACE 的平分线就产生点 D 了（1）如图 6-2，设 AB 边上的高为 CH，那么 A HBH4在 RtACH 中，AH4，所以 AC5，CH34cos5A（2）如图 6-3，当AFC90时，F 是 AB 的中点，AF4，CF3在 RtDEF 中，EFCECF2，所以此时4cos5E5 2DE 5 2ADDE如图 6-4，当ACF90时，ACD45，那么ACD 的条件符合“角边角” 作 DGAC，垂足为 G设 DGCG3m，那么 AD5m，AG4m由 CA5，得 7m5解得此时5 7m 2557ADm图 6-2 图 6-3 图 6-4（3）因为 DADE，所以只存在ADE90的情况如图 6-5，当 E 在 AB 下方时，根据对称性，知CDACDE135，此时CDH 是等腰直角三角形，DHCH3所以 ADAHDH1如图 6-6，当 E 在 AB 上方时，根据对称性，知CDACDE45，此时CDH是等腰直角三角形，DHCH3所以 ADAHDH7来源:学科网 ZXXK图 6-5 图 6-6
