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1、东阳中学 2018 年上学期期中考试卷高二数学一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1直线的倾斜角为023yxA B C D6 3 65 322.在的展开式中，项的系数为63()3x x2xA B C D4 272 272 274 27 35 名学生站成一排，其中甲不能站在两端，乙要站在正中间，则不同的排法有 A6 种 B12 种 C24 种 D60 种4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：若，, l m, / /，则；若，则；若，则；ll/ /lm,lm/ /mlm/ /l若，则。其中真命题的个数是/ /llA1 B2 C3 D45若是实数，则“”是“”的 （ ）
2、yx,0xy|yxyx A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件6. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯12视图可以是7.正方体中，E、F 分别是棱 AD、DC 的中点，则异面直线 EF 与所1111DCBAABCD 1BC 成的角是 （ ） A B C Do90o60o45o308. 过双曲线的右焦点 F2作垂直于实轴的弦 PQ, F1是左焦点, 若PF1Q=900, 则12222 by ax双曲线的离心率为A B 1+ C 2+ D 3-22229过 x 轴上一点 P，向圆 C：作切线，切点分别为 A、B，则面积
3、1)2(22 yxABC 的最大值是 A B C D43 2333310.已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若球心O恰好在线段2,2,ABBCACDA 上，且 DC=，则这个球的表面积为2 3A. B. C. D. 25 44168二、填空题（每小题 4 分，共 28 分）11过点且与原点距离最大的直线的方程是_.)2 , 1 (P12已知椭圆的两焦点为，上顶点为 B，则的外接圆方程是1222 yx 21,FFBFF21_.13函数（m 为常数）在上有最大值为 3，那么此函数在mxxxf2362)(2 , 2上的最小值是_.2 , 214.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线
4、交双曲线的右支221691xy1F2F2Fl于、两点，若，则的周长为AB| 5AB 1ABF_15.把这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减，则这1,2,3,4,5,6样的数列共有_个.16.已知三棱锥SABC，满足,SA SB SC两两垂直，且2SASBSC，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为 .17. 设圆 M 的半径为 ，圆心在直线上，若 M 上不存在点 N，使1240xy，其中，则圆心 M 横坐标的取值范围是_.1|2NONA(3,0)A三、解答题（共 72 分）18.在长方体1111ABCDABC D中，,E F分别是1,AD D
5、D的中点，2ABBC，过11ACB、三点的的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体111ABCDAC D，且这个几何体的体积为40 3（1）求证：/ /EF平面11ABC；（2）求1A A的长。19.给定抛物线：，过点斜率为的直线与交于，两点 （1）设线C24yx( 1,0)A kCMN段的中点在直线上，求的值；（2）设，当时，求的长。MN3x kAMANuuu ruu u r 3MN20. 设kR，函数( )lnf xxkx （1）若2k 时，求曲线( )yf x在(1, 2)P处的切线方程；（2）若( )f x无零点，求实数k的取值范围。21. 如图，在四棱锥 PABCD 中，G 为
6、 AC 与 BD 的交点，平面 PAD，为正AB PAD三角形，DC/AB，DA=DC=2AB,（1）若点 E 为棱 PA 上一点，且 GE/平面 PBC，求的AE PE 值；（2）求证：平面 PBC平面 PDC；（3）求平面 PBD 与平面 PCD 所 成角的大小。22.已知椭圆：，椭圆的焦点是椭圆的长轴的顶点，且有相同的离心率，1C2 214xy2C1C（1）求椭圆的方程；（2）若点 M、N 在椭圆上，点 P 在椭圆上，设直线2C1C2C的斜率分别为，当时，求证：直线的斜率的平方为定值；,OM ON12,k k121 4k k MN当时，是否存在常数，使得成立？若是，求出该定值；若不121
7、 4k k OPOMONuuu ruuuu ruuu r是，说明理由。高二数学期中答案高二数学期中答案一、选择题： 1解：C。2. 解：B。因为二项展开式的通项为，令，得，则63 161( )( 3)3rrrr rTCx 32r1r 项的系数为。2x16 11 612( )( 3)327C 3解：B。 4解：B。正确，错误。 5解：A。 6. 解：C。由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为 1。由其体积是可知该几何体的底面积是。由图知 A 的面积是 1，B 的面积是 ，C 的面积是，D 的1 21 241 2面积是，故选 C.47. 解：B。 8. 解：B。 9解：A。10.
8、解：C.由可知。取 AC 中点 M，则 OM 为的中位线。又点 M 2,2,ABBCACDC为外接圆圆心，球心 O 到面 ABC 的距离为，球半径为ABC132dDC，故球表面积为.22221( 3)2Rrd2416SR二、填空题：11解：052yx12解：122 yx13解：37 14. 解：2615. 解：30 个。从中选出一个数排在 6 的右侧，其余排在 6 的左侧，得到先增后1,2,3,4,5减的数列有个；从中选出两个数排在 6 的右侧，其余排在 6 的左侧，得到先增1 5C1,2,3,4,5后减的数列有个，因此满足条件的数列总个数为个。2 5C1234 555530CCCC另解：先确
9、定 6，有 1 种方法；然后排 5，可在 6 的左侧，也可在 6 的右侧，有 2 种方 法；再排 4，可在以上排列的左侧，也可在以上排列的右侧，有 2 种方法；，因此有种。这样数列中有一个全排在 6 的左侧的，有一个全排在 6 的右侧，因此符合条51 232件的数列有个。3223016. 解：由已知，可将三棱锥SABC放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC距离最大的点应该在过球心且和面ABC垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则22 3r . 则到面ABC距离的最大值为224 32 )(2 3)333r （ .17. 解：或。设，则，问题转化为两圆没有公共点，2
10、a 4 5a ( , )N x y()2214xy所以或，即()()221249aa()()221241aa或，解得或。251480aa2514160aa2a 4 5a 三、解答题： 18.解：（1）在长方体1111ABCDABC D中，可知1111/ /,ABDC ABDC，由四边形11ABC D是平行四边形，所以11/ /ADBC.因为,E F分别是1,AD DD的中点，所以1/ /ADEF，则1/ /EFBC，又EF 面111,ABC BC 面11ABC，则/ /EF平面11ABC （2） 1 111 1 111 1 11111110402 22 23233ABCD AC DABCD A
11、 B C DB A B CVVVAAAAAA ，所以14AA 19.解：（1）直线 MN 的方程为，代入，化简整理得() 1yk x24yx，因为，解得()2222240k xkxk2122426kxxk2 2k （2）因为，得，又因为，且，解得3AMANuuu ruu u r ()12131xx 1 21x x 212242kxxk，从而得，从而有。,21133xx3 2k |4 7 3MN 20.解：（1）函数的定义域为(0,)，11( )kxfxkxx， 当2k 时，(1)1 21f ，则切线方程为( 2)(1)yx ，即10xy （2）若0k 时，则( )0fx ，( )f x是区间(
12、0,)上的增函数，(1)0fk ，所以(1)()0kff e，函数( )f x在区间(0,)有唯一零()()10kkkf ekkeke 点； 若0k ，( )lnf xx有唯一零点1x ；若0k ，令( )0fx ，得1xk，在区间1(0,)k上，( )0fx ，函数( )f x是增函数；在区间1(,)k上，( )0fx ，函数( )f x是减函数；故在区间(0,)上，( )f x的最大值为11( )ln1ln1fkkk 。由于( )f x无零点，须使1( )ln10fkk ，解得1ke。综上可知，所求实数k的取值范围是1( ,)e21. 解：（1）因为 GE/平面 PBC，所以 GE/PC，
13、故有 AG：GCAE：EP。又因为DC/AB，DC2AB，所以 AG：GCAB：DC1：2，故有1 2AE PE（2）分别取 PD、PC 的中点 M、F，连结 AM、FB、MF，则 MF/DC，MF/DC。又因 为 DC/AB，2ABDC，所以 MF/AB，MFAB，即四边形 ABFM 为平行四边形，所以 AM/BF。 在正三角形 PAD 中，M 为 PD 的中点，所以 AMPD。因为平面 PAD，所以AB ABAM。又因为 DC/AB,所以 DCAM。因为 BF/AM，所以 BFPD，BFCD，所以 BF平面 PCD，故有平面 PBC平面 PDC。 （3）由上易得是平面 PBD 与平BMF面
14、 PCD 的平面角。不妨设，则2CD 3BFAM，。在中，1MF Rt BMFtan3BFBMFMF，即平面 PBD 与平面 PCD 所060BMF成角的大小是。60o 另解：（1）同上解法。 （2）取 AD 中点 O，连 PO，因为平面 PAD，得。又因为为正AB BAPOPAD 三角形，有，从而有平面 ABCD。POADPO 以 DA 为 x 轴、AD 的中垂线为 y 轴、PG 为 z 轴建立坐标系，不妨设，得2AD ，可得平面 PBC 的法向量为(1,0,0),(1,1,0),( 1,2,0),( 1,0,0),(0,0, 3)ABCDP，平面 PCD 的法向量为。因为，得，即平面(1,2, 3)m u r(3,0,1)n r0m nu r rmnu rrPBC平面 PDC。（3）可求平面 PBD 的法向量为，所以平面 PBD 与平面 PCD
