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1、四川大学期末考试试卷（四川大学期末考试试卷（A A）及解答）及解答2016-20172016-2017 年度第一学期年度第一学期 20172017 级理工科本科生级理工科本科生一、单项选择题( () )2 25 51 10 0 = =1对任意的事件，与不等价的是（ ）., ,A A B BA AB BB B = =D D( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )A AB BC CD DA AB BB BA AA AB BA AB B = = = = 2设随机变量的密度函数的图象关于轴对称，为其分布函数，则对X X( ( ) )f f x xy y( ( ) )F F x x任意的
2、，有（）成立.0 0a a B B( ( ) ) ( () )( ( ) )( ( ) ) ( () )( ( ) )( ( ) ) ( () )( ( ) )( ( ) ) ( () )( ( ) )0 00 01 1A A1 1B B2 2C CD D2 21 1a aa a F Fa af f x x d dx xF Fa af f x x d dx xF Fa aF F a aF Fa aF F a a- -= =- - -= =- - -= =- -= =- - 3设有联合分布律，则协方差（）.( () ), ,X X Y Y 1 12 2 0 00 01 1 2 2 1 11 1
3、4 41 1 4 4X XY Y ( () ), ,C Co ov v X X Y Y= =C C( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )1 11 11 11 1A AB BC CD D4 48 88 84 4- - -4设总体是来自总体的样本，令( () )2 2 1 12 29 9, , , , , ,X XN NX XX XX Xmm s s: :L LX X，则（ ）.( () )9 92 22 2 1 11 1i i i iZ ZX XX Xs s= = =- - ( ( ) )D D Z Z= =A A( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )A A
4、1 16 6B B 1 17 7C C 1 18 8D D 1 19 95设为来自总体的样本，记1 12 23 3, , ,X XX XX X( () )2 2, ,X XN N mm s s: :，1 11 12 23 31 11 11 1 2 24 44 4Z ZX XX XX X= =+ + +2 21 12 23 31 11 11 1 3 32 26 6Z ZX XX XX X= =+ + +，则在这三个的无偏估计中， （）最有效.3 31 12 21 12 2 3 33 3Z ZX XX X= =+ +mmA A无法判断( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )1 12
5、 23 3A AB BC CD DZ ZZ ZZ Z二、填空题( () )2 25 51 10 0 = =1从共个数字中有放回地取 7 次，每次取一个数排成一行，则该排列0 0, ,1 1, ,2 2, , ,9 9L L1 10 0中至少有两个数字相同的概率是（） （可只列式，不7 77 7 1 10 01 10 0 7 77 70 0. .9 91 11 11 10 04 41 10 0A AP P- - -= =B B计算）.2已知总体有，为来自总体的样本，X X( ( ) )( ( ) )2 2, ,4 4E E X XD D X X= = =1 12 21 16 6, , , ,X
6、XX XX XL LX X是样本均值，由契比雪夫不等式，（）.1 16 61 11 1 1 16 6i i i iX XX X= = = ( () )2 21 1P PX X- - 3 3 4 43设总体（均匀分布） ，其中未知，为来自( () )2 2 , ,3 34 4X XU Uq qq q+ +: :q q1 12 2, , , ,n nX XX XX XL L总体的样本，则的矩估计量为（）.X Xq q q q= =2 24 4 5 5X X- -4设随机变量序列相互独立，且都服从，记1 12 2, , , , ,n nX XX XX XL LL L( () )3 3, ,2 2G
7、G，由大数定律，应有（）.2 22 21 11 1n ni i i iX XX Xn n= = = 2 2P PX X 3 35设总体，和为来自和( () )( () )1 1, ,4 4 , ,2 2, ,3 3 , ,X XN NY YN N: : :1 12 23 3, , ,X XX XX X1 12 23 34 4, , , ,Y Y Y Y Y Y Y YX X的两个独立的样本，为两个样本方差，则统计量（Y Y2 22 2 1 12 2, ,S S S S2 2 1 1 2 2 2 23 34 4S SZ ZS S= =: :）分布.( () )2 2, ,3 3F F三、解答题1
8、设.( ( ) )9 9 ( ( ) )2 2, ,0 0 0 0, ,0 0x xX XA Ax xe ex xX Xf fx xx x- - = = : :（1）求；A A（2）令，求；1 1Y YX X= =( ( ) )E E Y Y（3）令，求的密度函数.3 31 1Y YX X= =+ +Y Y( ( ) )Y Yf fy y（1）因( ( ) )( ( ) )1 1 2 22 20 01 11 12 22 21 1, ,2 22 2 2 22 2 2 24 4 2 2x xA AA AA Ax xe ed dx xp p+ + - - = = =G G+ += = 故2 2; ;
9、4 4A A p p= =（2）( ( ) )2 20 01 14 4 2 21 1x xE E Y YE Ex xe ed dx xX Xx xp p+ + - - = = = ( ( ) )( ( ) )1 1 2 22 20 04 4 2 21 14 41 12 22 2; ;2 24 4 2 2x xx xe ed dx x p pp p+ + - - - = = = =G G= = （3），令，则.( ( ) ) ( () )1 1, ,R R Y Y= =+ + 3 31 1y yx x= =+ +( () )3 31 1x xy y= =- -当时，1 1y y ( ( ) )(
10、 () ) ( () )3 33 31 11 1Y YX Xf fy yf fy yy y = =- - - ( () )( () )( () )3 33 32 22 21 12 24 4 2 21 13 31 1y yy ye ey y p p- - - -= =- - - -综上得( ( ) )( () )( () )3 37 7 2 21 12 21 12 2 2 21 1, ,1 10 0, ,1 1y yY Yy ye ey yf fy y y yp p- - - - - = = 2设在矩形区域上服从二维均匀分布，. ( ( ) )8 8 ( () ), ,X X Y Y0 0, ,
11、2 20 0, ,2 2 U UX XY Y= =- -（1）求的密度函数；（2）计算概率.U U( ( ) )U Uf fu u( () )P P1 1U U 如图显然，联合密度为( ( ) )0 0, ,2 2R R U U = = ( () )( () )1 1 4 4, , ,0 0, ,2 20 0, ,2 2, ,0 0, ,x x y yf f x x y yo ot th he er rs s = = （1）当时， 0 02 2u u 因总体方差未知，故用 检验法. 在成立时2 2s st t0 0H H( ( ) )0 02 2. .5 58 83 3X XX Xt tt t
12、S SS Sn nmm- - -= = =: :对，查表有，则0 0. .0 05 5a a= =( () )( ( ) )1 10 0. .9 95 51 18 81 1. .8 86 6t tn nt ta a- - -= = =，即拒绝域为( () )( () )1 1P P1 10 0. .0 05 5t tt tn na a- - - -= =( () ) 1 11 11 1. .8 86 6WWt tt tn nt ta a- -= = - -= = 因的观察值为0 0X Xt t S Sn nmm- -= =0 02 2. .7 73 33 32 2. .5 51 1. .3 3
13、6 65 51 1. .8 86 6 0 0. .5 51 12 29 9x xt t s sn nmm- - -= = = = 是来自总体的样本值，为的密度函数.1 12 2, , , ,n nx x x xx xL LX X( ( ) )f f x xX X（1）证明：似然方程无解；l ln n0 0d dL L d dq q= =（2）求的极大似然估计量；q q q q（3） （此问 3 分）证明：用估计是有偏的. q qq q显然，( () )( ( ) )2 23 32 2, ,; ;0 0, ,x xx xX Xf f x xF Fx xx xq qq qq qq q- - = = = = =- - -= = 的密度函数为 q q( ( ) ) f fz zq q= =( ( ) )2 22 21 1 2 2, ,0 0, ,n nn nn nz zz zF Fz zz zq qq qq qq q- - - = = 从而有( ( ) ) E E q q= =( ( ) )2 22 21 1 2 22 22 21 1n nn nn nz zf fz z d dz zz z n nz zd dz zn nq q q qq qq qq q+ + + + - - - - = = = - - 所以，以估计是有偏的. q qq q
